KVADRATISKA SEKVENSER: EXEMPEL, REGEL OCH LÖSTA ÖVNINGAR - MATTE - 2026

De kvadratiska följderna består i matematiska termer av sekvenser med siffror som följer en viss aritmetisk regel. Det är intressant att veta denna regel för att bestämma någon av villkoren i en sekvens.

Ett sätt att göra detta är att bestämma skillnaden mellan två på varandra följande termer och se om det erhållna värdet alltid upprepas. När detta är fallet sägs det vara en vanlig sekvens.

Talssekvenser är ett sätt att organisera nummersekvenser. Källa: pixabay.com

Men om det inte upprepar sig, kan du försöka undersöka skillnaden mellan skillnaderna och se om detta värde är konstant. I så fall är det en kvadratisk sekvens .

Exempel på vanliga sekvenser och kvadratiska sekvenser

Följande exempel hjälper till att klargöra vad som hittills har förklarats:

Exempel på regelbunden följd

Låt sekvensen S = {4, 7, 10, 13, 16, ……}

Denna sekvens, betecknad med S, är en oändlig taluppsättning, i detta fall med heltal.

Det kan ses att det är en regelbunden sekvens, eftersom varje term erhålls genom att lägga till 3 till den föregående termen eller elementet:

4

4 + 3 = 7

7+ 3 = 10

10+ 3 = 13

13+ 3 = 16

Med andra ord: denna sekvens är regelbunden eftersom skillnaden mellan nästa term och den föregående ger ett fast värde. I exemplet som ges är detta värde 3.

De regelbundna sekvenserna som erhålls genom att lägga till en fast kvantitet till föregående term kallas också aritmetiska framsteg. Och skillnaden - konstant - mellan på varandra följande termer kallas förhållandet och betecknas som R.

Exempel på icke-regelbunden och kvadratisk sekvens

Se nu följande sekvens:

S = {2, 6, 12, 20, 30, ….}

När successiva skillnader beräknas erhålls följande värden:

6-2 = 4

12-6 = 6

20-12 = 8

30-20 = 10

Deras skillnader är inte konstant, så det kan sägas att det är en INTE regelbunden sekvens.

Men om vi överväger uppsättningen skillnader, har vi en annan sekvens, som kommer att betecknas S _diff :

S _dif = {4, 6, 8, 10, ….}

Denna nya sekvens är verkligen en regelbunden sekvens, eftersom varje term erhålls genom att lägga till det fasta värdet R = 2 till den föregående. Därför kan vi bekräfta att S är en kvadratisk sekvens.

Allmän regel för konstruktion av en kvadratisk sekvens

Det finns en allmän formel för att konstruera en kvadratisk sekvens:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C

I denna formel, T _n är den term i position n av sekvensen. A, B och C är fasta värden, medan n varierar en efter en, det vill säga 1, 2, 3, 4, …

I sekvensen S i föregående exempel A = 1, B = 1 och C = 0. Därifrån följer att formeln som genererar alla termer är: T _n = n ² + n

Det vill säga:

T ₁ = 1 ² + 1 = 2

T ₂ = 2 ² + 2 = 6

T ₃ = 3 ² + 3 = 12

T ₅ = 5 ² + 5 = 30

T _n = n ² + n

Skillnad mellan två på varandra följande termer i en kvadratisk sekvens

T _{n + 1} - T _n = -

Att utveckla uttrycket genom anmärkningsvärda produkter återstår:

T _{n + 1} - T _n = A ∙ n ² + A ∙ 2 ∙ n + A + B ∙ n + B + C - A ∙ n ² - B ∙ n - C

Genom att förenkla det får du:

T _{n + 1} - T _n = 2 ∙ A ∙ n + A + B

Detta är formeln som ger sekvensen för skillnaderna S _Dif som kan skrivas så här:

Dif _n = A ∙ (2n + 1) + B

Där klart är nästa term 2 ∙ Ibland den föregående. Det vill säga förhållandet mellan sekvensen av skillnader S _diff är: R = 2 ∙ A.

Löst problem med kvadratiska sekvenser

Övning 1

Låt sekvensen S = {1, 3, 7, 13, 21, … …}. Bestäm om:

i) Är det regelbundet eller inte

ii) Är det kvadratisk eller inte

iii) Det var kvadratisk, sekvensen av skillnader och deras förhållande

svar

i) Låt oss beräkna skillnaden mellan följande och föregående termer:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21-13 = 8

Vi kan bekräfta att sekvensen S inte är regelbunden, eftersom skillnaden mellan på varandra följande termer inte är konstant.

ii) Skillnadssekvensen är regelbunden, eftersom skillnaden mellan dess termer är det konstanta värdet 2. Därför är den ursprungliga sekvensen S kvadratisk.

iii) Vi har redan fastställt att S är kvadratisk, sekvensen av skillnaderna är:

S _dif = {2, 4, 6, 8, …} och dess förhållande är R = 2.

Övning 2

Låt sekvensen S = {1, 3, 7, 13, 21, … …} från föregående exempel, där det bekräftades att den är kvadratisk. Bestämma:

i) Formeln som bestämmer den allmänna termen Tn _.

ii) Kontrollera det tredje och femte ordet.

iii) Värdet på den tionde terminen.

svar

i) Den allmänna formeln för T _n är A ∙ n ² + B ∙ n + C. Då återstår det att känna till värdena för A, B och C.

Skillnaderna har skillnad 2. För varje kvadratisk sekvens är förhållandet R 2 A som visas i de föregående avsnitten.

R = 2 ∙ A = 2 vilket leder oss till slutsatsen att A = 1.

Den första termen i sekvensen av skillnader S _Dif är 2 och måste tillfredsställa A ∙ (2n + 1) + B, med n = 1 och A = 1, det vill säga:

2 = 1 '(2' 1 + 1) + B

lösning för B får vi: B = -1

Då är den första termen S (n = 1) värd 1, det vill säga: 1 = A ∙ 1 ² + B ∙ 1 + C. Som vi redan vet att A = 1 och B = -1, ersätter vi:

1 = 1 ∙ 1 ² + (-1) ∙ 1 + C

Lösning för C får vi dess värde: C = 1.

Sammanfattningsvis:

A = 1, B = -1 och C = 1

Då blir den nionde termen T _n = n ² - n + 1

ii) Den tredje termen T ₃ = 3 ² - 3 + 1 = 7 och den är verifierad. Den femte T ₅ = 5 ² - 5 + 1 = 21 som också verifieras.

iii) Den tionde termen kommer att vara T ₁₀ = 10 ² - 10 + 1 = 91.

Övning 3

Sekvens av områden för övning 3. Källa: egen utarbetande.

Figuren visar en sekvens av fem figurer. Gitteret representerar längdenheten.

i) Bestäm sekvensen för området för figurerna.

ii) Visa att det är en kvadratisk sekvens.

iii) Hitta området i figur # 10 (visas inte).

svar

i) Sekvensen S som motsvarar området för figursekvensen är:

S = {0, 2, 6, 12, 20 ,. . . . . }

ii) Sekvensen som motsvarar de på varandra följande skillnaderna i termerna för S är:

S _diff = {2, 4, 6, 8 ,. . . . . }

Eftersom skillnaden mellan på varandra följande termer inte är konstant är S inte en vanlig sekvens. Det återstår att veta om det är kvadratiskt, för vilket vi återigen gör sekvensen av skillnaderna, och erhåller:

{2, 2, 2, … ….}

Eftersom alla termerna i sekvensen upprepas bekräftas att S är en kvadratisk sekvens.

iii) Sekvensen S _dif är regelbunden och dess förhållande R är 2. Med ekvationen som visas ovan R = 2 ∙ A förblir den:

2 = 2 ∙ A, vilket innebär att A = 1.

Den andra termen i sekvensen av skillnader S _Dif är 4 och den nionde termen för S _Dif är

A ∙ (2n + 1) + B.

Den andra termen har n = 2. Dessutom har det redan fastställts att A = 1, så genom att använda den tidigare ekvationen och ersätta, har vi:

4 = 1 '(2' 2 + 1) + B

Lösning för B, vi får: B = -1.

Det är känt att den andra termen i S är värd 2 och att den måste uppfylla formeln för den allmänna termen med n = 2:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C; n = 2; A = 1; B = -1; T ₂ = 2

Det vill säga

2 = 1 ∙ 2 ² - 1 ∙ 2 + C

Det dras slutsatsen att C = 0, det vill säga att formeln som ger den allmänna termen för sekvensen S är:

T _n = 1 ∙ n ² - 1 ∙ n +0 = n ² - n

Nu är den femte terminen verifierad:

T ₅ = 5 ² - 5 = 20

iii) Fig. 10, som inte har ritats här, kommer att ha det område som motsvarar den tionde termen i sekvensen S:

T ₁₀ = 10 ² - 10 = 90

referenser

1. https://www.geogebra.org