Sc (f, n) = * Δx

Figur 4. Riemann summan. Källa: Wikimedia Commons. 09glasgow09

Beroende på var led t _k ligger i intervallet, kan riemannsumma överskatta eller underskatta det exakta värdet av arean under kurvan för funktionen y = f (x). Med andra ord kan rektanglarna antingen sticka ut från kurvan eller vara något under den.

Området under kurvan

Huvudegenskapen för Riemann-summan och från vilken dess betydelse härrör, är att om antalet underindelningar tenderar till oändlighet, konvergerar resultatet av summan till den definitiva integralen av funktionen:

Lösta övningar

- Övning 1

Beräkna värdet på den definitive integralen mellan a = -2 till b = +2 för funktionen:

f (x) = x ²

Använd ett Riemann-belopp. För att göra detta, hitta först summan för n regelbundna partitioner i intervallet och ta sedan den matematiska gränsen för det fall att antalet partitioner tenderar till oändlighet.

Lösning

Så här följer du:

-Först definieras partitionsintervallet som:

Δx = (b - a) / n.

-Då ser Riemann-summan till höger motsvarande funktionen f (x) så här ut:

-Och sedan ersätts det noggrant i sammanfattningen:

- Nästa steg är att separera summeringarna och ta de konstanta mängderna som en gemensam faktor för varje summa. Det är nödvändigt att ta hänsyn till att indexet är i, därför betraktas siffrorna och termerna med n som konstant:

-Varje summa utvärderas, eftersom det finns lämpliga uttryck för var och en av dem. Till exempel ger den första av summan n:

-Slutligen är integralen som ska beräknas:

Läsaren kan kontrollera att detta är det exakta resultatet, som kan erhållas genom att lösa den obestämda integralen och utvärdera integrationens gränser enligt Barrows regel.

- Övning 2

Bestäm ungefär området under funktionen:

f (x) = (1 / √ (2π)) e ^{(-x 2 /2)}

Ange x = -1 och x = + 1 med hjälp av en central Riemann-summa med 10 partitioner. Jämför med det exakta resultatet och uppskatta procentuell skillnad.

Lösning

Steget eller steget mellan två på varandra följande diskreta värden är:

Δx = (1 - (-1) / 10 = 0,2

Så partitionen P på vilken rektanglarna definieras ser ut så här:

P = {-1,0; -0,8; -0,6; -0,4; -0,2; 0,0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1,0}

Men eftersom det som önskas är den centrala summan, kommer funktionen f (x) att utvärderas vid mittpunkter för delintervallen, det vill säga i uppsättningen:

T = {-0,9; -0,7; -0,5; -0,3; -0,1; 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9}.

Den (centrala) Riemann-summan ser ut så här:

S = f (-0,9) * 0,2 + f (-0,7) * 0,2 + f (-0,5) * 0,2 + … + f (0,7) * 0,2 + f (0,9) * 0,2

Eftersom funktionen f är symmetrisk är det möjligt att reducera summan till endast 5 termer och resultatet multipliceras med två:

S = 2 * 0,2 * {f (0,1) + f (0,3) + f (0,5) + f (0,7) + f (0,9)}

S = 2 * 0.2 * {0.397+ 0.381+ 0.352+ 0.312+ 0.266} = 0.683

Funktionen som ges i detta exempel är ingen annan än den välkända gaussiska klockan (normaliserad, med medelvärde lika med noll och standardavvikelse). Området under kurvan i intervallet för denna funktion är känt för att vara 0,6827.

Figur 5. Område under en gaussisk klocka ungefärligt med en Riemann-summa. Källa: F. Zapata.

Detta innebär att den ungefärliga lösningen med bara 10 termer matchar den exakta lösningen till tre decimaler. Procentandelfelet mellan ungefärligt och exakt integral är 0,07%.

referenser

1. Casteleiro, JM, & Gómez-Álvarez, RP (2002). Integrerad kalkyl (illustrerad red.). Madrid: ESIC-redaktion.
2. Unican. Historik om begreppet integral. Återställd från: repositorio.unican.es
3. UIS. Riemann summerar. Återställd från: matematicas.uis.edu.co
4. Wikipedia. Riemann summan. Återställd från: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Riemann integration. Återställd från: es.wikipedia.com