Den summa teleskop är en kontorsrörelsen numerisk serie. Det handlar om summering av element från ett initialvärde till "n" av uttryck vars argument följer något av följande mönster:
(F x - F x + 1 ); (F x + 1 - F x )
Som också:
Källa: Pixabay.com
De representerar en sammanfattning av element som när de utvecklas utsätts för annullering av motsatta termer. Gör det möjligt att definiera följande jämlikhet för teleskopsammanfattningar:
Namnet kommer från förhållandet till utseendet på ett klassiskt teleskop, som kunde vikas och veckas, vilket särskilt ändrar dess dimension. På samma sätt kan teleskopiska summeringar, som är oändliga till sin natur, sammanfattas i det förenklade uttrycket:
F 1 - F n + 1
Demonstration
När man utvecklar sammanfattningen av termer är eliminering av faktorer ganska uppenbar. Var för varje fall kommer motsatta element att visas i nästa iteration.
Det första fallet, (F x - F x + 1 ), kommer att tas som ett exempel , eftersom processen fungerar på ett homologt sätt för (F x + 1 –F x ).
Utvecklingen av de tre första värdena {1, 2, 3} observeras förenklingen
X 1 (F 1 - F 1 + 1 ) = F 1 - F 2
X 2 (F 2 - F 2 + 1 ) = F 2 - F 3
X 3 (F 3 - F 3 + 1 ) = F 3 - F 4
Var när man uttrycker summan av de beskrivna elementen:
X 1 + X 2 + X 3 = F 1 - F 2 + F 2 - F 3 + F 3 - F 4
Det observeras att termerna F 2 och F 3 beskrivs tillsammans med deras motsatser, vilket gör deras förenkling oundviklig. På samma sätt, observeras det att uttrycken F 1 och F 4 bibehålls.
Om summan gjordes från x = 1 till x = 3, betyder det att element F 4 motsvarar den generiska termen F n + 1.
Således demonstrerar jämställdhet:
Hur löses det?
Syftet med de teleskopiska sammanfattningarna är att underlätta arbetet, så att det inte är nödvändigt att utveckla ett oändligt antal termer eller förenkla en kedja av tillägg som är för lång.
För sin upplösning kommer det bara att behöva utvärderas termerna F 1 och F n + 1 . Dessa enkla ersättningar utgör det slutliga resultatet av summeringen.
Totalen av villkoren kommer inte att uttryckas, eftersom de endast är nödvändiga för att visa resultatet, men inte för den normala beräkningsprocessen.
Det viktiga är att märka konvergensen i nummerserien. Ibland kommer sammanfattningsargumentet inte att uttryckas teleskopiskt. I dessa fall är implementeringen av alternativa faktoreringsmetoder mycket vanligt.
Den karakteristiska faktoriseringsmetoden i teleskopiska tillägg är den för enkla fraktioner. Detta inträffar när en originalfraktion sönderdelas till en summa av flera fraktioner, där det teleskopiska mönstret (F x - F x + 1 ) eller (F x + 1 - F x ) kan observeras .
Nedbrytning i enkla fraktioner
För att verifiera konvergensen i numeriska serier är det mycket vanligt att transformera rationella uttryck med den enkla fraktionsmetoden. Målet är att modellera tomten i form av en teleskopisk summering.
Till exempel representerar följande jämställdhet en nedbrytning till enkla fraktioner:
När man utvecklar nummerserien och använder motsvarande egenskaper tar uttrycket följande form:
Där den teleskopiska formen uppskattas (F x - F x + 1 ).
Förfarandet är ganska intuitivt och består av att hitta värdena på telleren som, utan att bryta jämlikheten, tillåter oss att skilja produkterna som finns i nämnaren. Ekvationerna som uppstår vid bestämningen av dessa värden höjs enligt jämförelser mellan båda sidor av jämställdheten.
Denna procedur observeras steg för steg i utvecklingen av övning 2.
Historia
Det är ganska osäkert att kunna definiera det historiska ögonblick då de teleskopiska sammanläggningarna presenterades. Implementeringen börjar dock ses på sjuttonhundratalet i studier av numeriska serier utförda av Leibniz och Huygens.
Båda matematikerna, som utforskar sammanfattningarna av triangulära tal, börjar märka trender i konvergensen av vissa serier av successiva element. Men ännu mer intressant är början på modelleringen av dessa uttryck, i element som inte nödvändigtvis följer varandra.
Faktum är att uttrycket som tidigare använts för att hänvisa till enkla bråk:
Det introducerades av Huygens och fångade omedelbart Leibniz uppmärksamhet. Som med tiden kunde observera konvergensen till värdet 2. Utan att veta det implementerade han det teleskopiska summeringsformatet.
övningar
Övning 1
Definiera till vilken term följande summa konvergerar:
Vid manuell utveckling av summan observeras följande mönster:
(2 3 - 2 4 ) + (2 4 - 2 5 ) + (2 5 - 2 6 ). . . . (2 10 - 2 11 )
Där faktorerna från 2 4 till 2 10 presenterar positiva och negativa delar, vilket gör deras avbokning uppenbar. Då är de enda faktorerna som inte förenklas de första "2 3 " och de sista "2 11 ".
På detta sätt erhålls följande vid implementering av det teleskopiska sammanfattningskriteriet:
Övning 2
Förvandla argumentet till en sammanfattning av teleskopisk typ och definiera seriens konvergens:
Som anges i uttalandet, är det första att göra att bryta ned i enkla bråk för att göra om argumentet och uttrycka det på ett teleskopiskt sätt.
Du måste hitta 2 fraktioner vars nämnare är respektive "n" och "n + 1", där metoden som används nedan måste erhålla värdena på telleren som uppfyller jämlikheten.
Vi fortsätter med att definiera värdena för A och B. Lägg först till fraktionerna.
Sedan förenklas nämnarna och en linjär ekvation upprättas.
I nästa steg används uttrycket till höger tills ett mönster som är jämförbart med ”3” till vänster uppnås.
För att definiera de ekvationer som ska användas måste resultaten från båda sidor av jämställdheten jämföras. Med andra ord observeras inga värden på variabeln n på vänster sida, på detta sätt måste A + B vara lika med noll.
A + B = 0; A = -B
Å andra sidan måste konstantvärdet A vara lika med konstantvärdet 3.
A = 3
Således.
A = 3 och B = -3
När räknarvärdena för de enkla fraktionerna redan är definierade ändras summeringen.
Där den generiska formen av teleskopisk summering redan har uppnåtts. Den teleskopiska serien är utvecklad.
Där när resultatet delas med ett mycket stort antal kommer resultatet att komma närmare och närmare noll, iakttagande av seriens konvergens till värdet 3.
Denna typ av serier kunde inte lösas på något annat sätt på grund av det oändliga antalet iterationer som definierar problemet. Emellertid inramar denna metod, tillsammans med många andra, grenen för studier av numeriska serier, vars mål är att bestämma konvergensvärden eller definiera divergensen i nämnda serie.
referenser
- Infinitesimal kalkylundervisning. Manuel Franco, Manuel Franco Nicolás, Francisco Martínez González, Roque Molina Legaz. EDITUM, 1994.
- Integrerad kalkyl: sekvenser och serier av funktioner. Antonio Rivera Figueroa. Grupo Redaktion Patria, 21 oktober. 2014.
- En kurs i kalkyl och verklig analys. Sudhir R. Ghorpade, Balmohan V. Limaye. Springer Science & Business Media, 5 juni. 2006.
- Oändlig serie. Tomlinson Fort. The Clarendon Press, 1930.
- Element i teorin om oändliga processer. Lloyd Leroy Smail. McGraw-Hill Book Company, Incorporated, 1923.