STÄLL IN TEORI: EGENSKAPER, ELEMENT, EXEMPEL, ÖVNINGAR - MATTE - 2026

Den inställda Teorin är en gren av matematisk logik-som är ansvarig för att studera sambanden mellan enheter som kallas set. Uppsättningarna kännetecknas av att vara samlingar av föremål av samma natur. Nämnda objekt är elementen i uppsättningen och kan vara: siffror, bokstäver, geometriska figurer, ord som representerar objekt, själva objekten och andra.

Det var Georg Cantor, mot slutet av 1800-talet, som föreslog setteori. Medan andra kända matematiker under 1900-talet gjorde sin formalisering: Gottlob Frege, Ernst Zermelo, Bertrand Russell, Adolf Fraenkel bland andra.

Figur 1. Venn-diagram över uppsättningarna A, B och deras skärningspunkt A⋂ B. (Egen utarbetning).

Venn-diagram är det grafiska sättet att representera en uppsättning, och den består av en stängd planfigur inom vilken är elementen i uppsättningen.

Till exempel visas i figur 1 två uppsättningar A och B, som har element gemensamt, elementen som är gemensamma för A och B. Dessa bildar en ny uppsättning som kallas skärningssatsen A och B, som är skriven i formen symboliskt enligt följande:

A ∩ B

egenskaper

Uppsättningen är ett primitivt koncept som det är i geometri begreppet punkt, linje eller plan. Det finns inget bättre sätt att uttrycka konceptet än genom att påpeka exempel:

Set E bildat av färgerna på Spaniens flagga. Detta sätt att uttrycka uppsättningen kallas av förståelse. Samma uppsättning E skrivet med tillägg är:

E = {röd, gul}

I detta fall är rött och gult element i set E. Det bör noteras att elementen är listade i hängslen och inte upprepas. När det gäller den spanska flaggan finns det tre färgade ränder (röd, gul, röd), varav två upprepas, men elementen upprepas inte när helheten uttrycks.

Anta att uppsättningen V bildas av de tre första vokalbokstäverna:

V = {a, e, i}

Kraftsatsen V, betecknad med P (V) är uppsättningen av alla uppsättningar som kan bildas med elementen i V:

P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}}

Typer uppsättningar

Finite set

Det är en uppsättning där dess element är räknbara. Exempel på ändliga uppsättningar är bokstäverna i det spanska alfabetet, de spanska vokalerna, planeterna i solsystemet, bland andra. Antalet element i en ändlig uppsättning kallas dess kardinalitet.

Oändlig uppsättning

En oändlig uppsättning förstås som allt att antalet element är obestämbart, eftersom oavsett hur stort antalet element det kan vara, är det alltid möjligt att hitta fler element.

Ett exempel på en oändlig uppsättning är uppsättningen med naturliga nummer N, som i omfattande form uttrycks enligt följande:

N = {1, 2, 3, 4, 5, ….} Är helt klart en oändlig uppsättning, eftersom oavsett hur stort ett naturligt antal kan vara, kan det näst största alltid hittas i en oändlig process. Det är tydligt att en oändlig uppsättning är kardinalitet ∞.

Tom uppsättning

Det är uppsättningen som inte innehåller något element. Den tomma uppsättningen V betecknas med Ø eller av ett par tangenter utan element inuti:

V = {} = Ø.

Den tomma uppsättningen är unik, därför måste det vara felaktigt att säga "en tom uppsättning", rätt form är att säga "den tomma uppsättningen".

Bland egenskaperna för den tomma uppsättningen har vi att det är en delmängd av alla uppsättningar:

Ø ⊂ A

Vidare, om en uppsättning är en delmängd av den tomma uppsättningen, är nödvändigtvis nämnda uppsättning vakuumet:

A ⊂ Ø ⇔ A = Ø

Unitary set

En enhetsuppsättning är vilken uppsättning som innehåller ett enda element. Exempelvis är uppsättningen av naturliga satelliter på jorden en enhetsuppsättning, vars enda element är månen. Uppsättningen B med heltal mindre än 2 och större än noll har bara element 1, därför är det en enhetsuppsättning.

Binäruppsättning

En uppsättning är binär om den bara har två element. Till exempel uppsättningen X, så att x är en verklig tallösning av x ^ 2 = 2. Den här uppsättningen av förlängningen är skriven så här:

X = {-√2, + √2}

Universal set

Den universella uppsättningen är en uppsättning som innehåller andra uppsättningar av samma typ eller natur. Till exempel är den universella uppsättningen av naturliga siffror uppsättningen med verkliga siffror. Men de verkliga siffrorna är en universell uppsättning också av hela siffrorna och de rationella siffrorna.

Kärnämnen

- Relationer mellan uppsättningar

I församlingar kan olika typer av förhållanden upprättas mellan dem och deras element. Om två uppsättningar A och B har exakt samma element mellan dem, upprättas ett jämställdhetsförhållande, betecknat enligt följande:

A = B

Om alla element i en uppsättning A tillhör en uppsättning B, men inte alla delar av B tillhör A, så finns det mellan dessa uppsättningar en inkluderingsrelation som betecknas så här:

A ⊂ B, men B ⊄ A

Ovanstående uttryck lyder: A är en delmängd av B, men B är inte en delmängd av A.

För att indikera att vissa element eller element tillhör en uppsättning används medlemssymbolen ∈, till exempel för att säga att x element eller element tillhör uppsättningen A skrivs symboliskt så här:

x ∈ A

Om ett element inte tillhör uppsättningen A skrivs denna relation så här:

och ∉ A

Medlemskapsförhållandet existerar mellan elementen i en uppsättning och uppsättningen, med det enda undantaget av strömuppsättningen, varvid kraftuppsättningen är samlingen eller uppsättningen av alla möjliga uppsättningar som kan bildas med elementen i nämnda uppsättning.

Anta att V = {a, e, i}, dess kraftuppsättning är P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i} , {a, e, i}}, i så fall blir uppsättningen V ett element i uppsättningen P (V) och kan skrivas:

V ∈ P (V)

- Egenskaper för inkludering

Den första egenskapen av inkludering fastställer att varje uppsättning är innehållande i sig självt, eller med andra ord, att det är en delmängd av sig själv:

A ⊂ A

Den andra egenskapen för inkludering är transitivitet: om A är en delmängd av B och B i sin tur är en delmängd av C, då är A en delmängd av C. I symbolisk form skrivs transitivitetsrelationen på följande sätt:

(A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

Nedan är Venn-diagrammet som motsvarar transitiviteten för inkludering:

Figur 2. (A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

- Funktioner mellan uppsättningar

Genomskärning

Korsningen är en operation mellan två uppsättningar som ger upphov till en ny uppsättning som tillhör samma universella uppsättning som de första två. I den meningen är det en stängd operation.

Korsningsoperationen är symboliskt formulerad på följande sätt:

A⋂B = {x / x∈A ^ x∈B}

Ett exempel är följande: uppsättningen A för bokstäverna i ordet "element" och uppsättningen B för bokstäverna i ordet "upprepade", skärningspunkten mellan A och B är skriven så här:

A⋂B = {e, l, m, n, t, s} ⋂ {r, e, p, t, i, d, o, s} = {e, t, s}. Den universella uppsättningen U för A, av B och även av A⋂B är uppsättningen med bokstäverna i det spanska alfabetet.

Union

Föreningen mellan två uppsättningar är den uppsättning som bildas av elementen som är gemensamma för de två uppsättningarna och de icke-gemensamma elementen i de två uppsättningarna. Fackföreningen mellan uppsättningar uttrycks symboliskt så här:

A∪B = {x / x∈A vx∈B}

Skillnad

Differensoperationen för uppsättning A minus uppsättning B betecknas av AB. AB är en ny uppsättning som bildas av alla element som finns i A och som inte tillhör B. Symboliskt är det skrivet så här:

A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

Bild 3. A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

Symmetrisk skillnad

Den symmetriska skillnaden är en operation mellan två uppsättningar där den resulterande uppsättningen består av elementen som inte är gemensamma för de två uppsättningarna. Den symmetriska skillnaden representeras symboliskt så här:

A⊕B = {x / x∈ (AB) ^ x∈ (BA)}

exempel

Exempel 1

Venn-diagrammet är ett grafiskt sätt att representera uppsättningar. Till exempel representeras uppsättningen C för bokstäverna i orduppsättningen så här:

Exempel 2

Nedan visas av Venn-diagram att vokaluppsättningen i ordet "uppsättning" är en underuppsättning av uppsättningen bokstäver i ordet "uppsättning".

Exempel 3

Uppsättningen Ñ för bokstäverna i det spanska alfabetet är en ändlig uppsättning, denna uppsättning av förlängningen är skriven så här:

Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w , x, y, z} och dess kardinalitet är 27.

Exempel 4

Uppsättningen V för vokalerna på spanska är en delmängd av uppsättningen Ñ:

V ⊂ Ñ ​​är därför en ändlig uppsättning.

Den ändliga uppsättningen V i omfattande form är skriven så här: V = {a, e, i, o, u} och dess kardinalitet är 5.

Exempel 5

Med tanke på uppsättningarna A = {2, 4, 6, 8} och B = {1, 2, 4, 7, 9}, bestäm AB och BA.

A - B är elementen i A som inte finns i B:

A - B = {6, 8}

B - A är elementen i B som inte finns i A:

B - A = {1, 7, 9}

Lösta övningar

Övning 1

Skriv i symbolisk form och även i förlängningen uppsättningen P med jämna naturliga siffror mindre än 10.

Lösning: P = {x∈ N / x <10 ^ x mod 2 = 0}

P = {2, 4, 6, 8}

Övning 2

Anta att uppsättningen A som bildas av de naturliga siffrorna som är faktorer på 210, och den uppsättning B som bildas av de primära naturliga siffrorna mindre än 9. Bestäm i förlängning båda uppsättningarna och fastställ vilken relation det finns mellan de två uppsättningarna.

Lösning: För att bestämma elementen i uppsättning A måste vi börja med att hitta faktorerna för det naturliga numret 210:

210 = 2 * 3 * 5 * 7

Sedan skrivs uppsättningen A:

A = {2, 3, 5, 7}

Vi betraktar nu uppsättningen B, som är primorna som är mindre än 9. 1 är inte prim eftersom det inte uppfyller definitionen av prim: "ett tal är prim om och bara om det exakt har två delare, 1 och numret i sig." 2 är jämn och samtidigt är den primär eftersom den uppfyller definitionen av en prim, de andra primerna mindre än 9 är 3, 5 och 7. Så uppsättningen B är:

B = {2, 3, 5, 7}

Därför är de två uppsättningarna lika: A = B.

Övning 3

Bestäm den uppsättning vars element x skiljer sig från x.

Lösning: C = {x / x ≠ x}

Eftersom varje element, nummer eller objekt är lika med sig själv, kan uppsättningen C inte vara en annan än den tomma uppsättningen:

C = Ø

Övning 4

Låt uppsättningen av N med naturliga siffror och Z vara uppsättningen heltal. Bestäm N ⋂ Z och N ∪ Z.

Lösning:

N ⋂ Z = {x ∈ Z / x ≤ 0} = (-∞, 0]

N ∪ Z = Z eftersom N ⊂ Z.

referenser

1. Garo, M. (2014). Matematik: kvadratiska ekvationer: Hur löser en kvadratisk ekvation. Marilù Garo.
2. Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Matematik för ledning och ekonomi. Pearson Education.
3. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matematik 1 SEP. Tröskel.
4. Preciado, CT (2005). Matematikskurs 3: e. Redaktörsprogreso.
5. Matematik 10 (2018). "Exempel på ändliga uppsättningar". Återställd från: matematicas10.net
6. Wikipedia. Ställ in teori. Återställd från: es.wikipedia.com