Den Bolzano teoremet säger att om en funktion är kontinuerlig vid varje punkt av en sluten intervall och är övertygad om att bilden av "a" och "b" (under funktion) har motsatta tecken, då kommer det att finnas åtminstone en punkt " c "i det öppna intervallet (a, b), på ett sådant sätt att funktionen utvärderad i" c "kommer att vara lika med 0.
Denna teorem förklarades av filosofen, teologen och matematikern Bernard Bolzano 1850. Denna forskare, född i dagens Tjeckien, var en av de första matematikerna i historien som gjorde ett formellt bevis på egenskaperna för kontinuerliga funktioner.
Förklaring
Bolzanos teorem är också känt som mellanvärdensteoremet, vilket hjälper till att bestämma specifika värden, särskilt nollor, för vissa verkliga funktioner hos en verklig variabel.
I en given funktion fortsätter f (x) - det är att f (a) och f (b) är anslutna med en kurva-, där f (a) är under x-axeln (den är negativ), och f (b) med ovanför x-axeln (det är positivt), eller vice versa, grafiskt kommer det att finnas en avstängningspunkt på x-axeln som kommer att representera ett mellanvärde «c», som kommer att vara mellan «a» och «b», och värdet på f (c) kommer att vara lika med 0.
Vid grafisk analys av Bolzanos teorem kan man se att för varje kontinuerlig funktion f definierad på ett intervall, där f (a) * f (b) är mindre än 0, kommer det att finnas minst en rot «c» för den funktionen inom av intervallet (a, b).
Denna sats fastställer inte antalet punkter i det öppna intervallet, det anger bara att det finns minst 1 poäng.
Demonstration
För att bevisa Bolzanos teorem antas det utan förlust av allmänhet att f (a) <0 och f (b)> 0; sålunda kan det finnas många värden mellan "a" och "b" för vilka f (x) = 0, men endast en behöver visas.
Vi börjar med att utvärdera f vid mittpunkten (a + b) / 2. Om f ((a + b) / 2) = 0 slutar beviset här; annars är f ((a + b) / 2) positiv eller negativ.
En av halvorna av intervallet väljs så att tecknen på funktionen som utvärderas vid ytterligheterna är olika. Det nya intervallet kommer att bli.
Om f utvärderas vid mittpunkten för inte är noll, utförs samma operation som tidigare; det vill säga en hälft av detta intervall väljs som uppfyller skyltens villkor. Låt detta vara det nya intervallet.
Om du fortsätter med den här processen har du två sekvenser {an} och {bn}, så att:
{an} ökar och {bn} minskar:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤ … ≤ an ≤ …. ≤ …. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
Om du beräknar längden på varje intervall måste du:
bl-a1 = (ba) / 2.
b2-a2 = (ba) / 2².
….
bn-an = (ba) / 2 ^ n.
Därför är gränsen när n närmar sig oändlighet av (bn-an) lika med 0.
Att använda att {an} ökar och begränsas och {bn} minskar och begränsas, vi har att det finns ett värde «c» så att:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤… .≤ c ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
Gränsen för en är "c" och gränsen för {bn} är också "c". Därför, med tanke på vilket som helst ö> 0, finns det alltid ett "n" så att intervallet är innehållande inom intervallet (c-5, c + 5).
Nu måste det visas att f (c) = 0.
Om f (c)> 0, då f är kontinuerligt, finns det en e> 0 så att f är positiv över hela intervallet (c - ε, c + ε). Som nämnts ovan finns emellertid ett värde "n" så att f-förändringar loggar in och dessutom ingår i (c - ε, c + ε), vilket är en motsägelse.
Om f (c) <0, då f är kontinuerligt, finns det ett e> 0 så att f är negativt under hela intervallet (c - ε, c + ε); men det finns ett värde "n" så att f ändrar inloggning. Det visar sig att det finns i (c - ε, c + ε), vilket också är en motsägelse.
Därför är f (c) = 0 och det är detta vi ville bevisa.
Vad är det för?
Från sin grafiska tolkning används Bolzanos teorem för att hitta rötter eller nollor i en kontinuerlig funktion, genom halvering (approximation), som är en inkrementell sökmetod som alltid delar intervallerna med 2.
Sedan tas ett intervall eller där teckenförändringen inträffar, och processen upprepas tills intervallet är mindre och mindre för att kunna närma sig det önskade värdet; det vill säga till det värde som funktionen gör 0.
Sammanfattningsvis utförs följande steg för att tillämpa Bolzanos teorem och därmed hitta rötter, begränsa nollorna i en funktion eller ge en lösning på en ekvation:
- Det verifieras om f är en kontinuerlig funktion på intervallet.
- Om intervallet inte anges måste man hitta var funktionen är kontinuerlig.
- Det verifieras om ytterligheterna i intervallet ger motsatta tecken när de utvärderas i f.
- Om motsatta tecken inte erhålls, måste intervallet delas upp i två delintervaller med mittpunkten.
- Utvärdera funktionen i mittpunkten och kontrollera att Bolzano-hypotesen är uppfylld, där f (a) * f (b) <0.
- Beroende på tecknet (positivt eller negativt) för det hittade värdet upprepas processen med ett nytt delintervall tills den ovannämnda hypotesen är uppfylld.
Lösta övningar
Övning 1
Bestäm om funktionen f (x) = x 2 - 2, har minst en verklig lösning i intervallet.
Lösning
Vi har funktionen f (x) = x 2 - 2. Eftersom den är polynom, betyder det att den är kontinuerlig i vilket intervall som helst.
Det uppmanas att bestämma om det har en verklig lösning i intervallet, så nu är det bara nödvändigt att ersätta extremerna i intervallet i funktionen för att känna tecknet på dessa och veta om de uppfyller villkoret att vara annorlunda:
f (x) = x 2 - 2
f (1) = 1 2 - 2 = -1 (negativ)
f (2) = 2 2 - 2 = 2 (positiv)
Därför tecken på f (1) ≠ tecken f (2).
Detta säkerställer att det finns åtminstone en punkt "c" som tillhör intervallet, i vilket f (c) = 0.
I detta fall kan värdet på "c" enkelt beräknas enligt följande:
x 2 - 2 = 0
x = ± √2.
Således tillhör √2 ≈ 1,4 intervallet och uppfyller att f (√2) = 0.
Övning 2
Visa att ekvationen x 5 + x + 1 = 0 har minst en verklig lösning.
Lösning
Låt oss först notera att f (x) = x 5 + x + 1 är en polynomfunktion, vilket betyder att den är kontinuerlig på alla verkliga siffror.
I detta fall ges inget intervall, så värden måste väljas intuitivt, helst nära 0, för att utvärdera funktionen och hitta teckenförändringarna:
Om du använder intervallet måste du:
f (x) = x 5 + x + 1.
f (0) = 0 5 + 0 + 1 = 1> 0.
f (1) = 1 5 + 1 + 1 = 3> 0.
Eftersom det inte finns någon teckenändring upprepas processen med ytterligare ett intervall.
Om du använder intervallet måste du:
f (x) = x 5 + x + 1.
f (-1) = (-1) 5 + (-1) + 1 = -1 <0.
f (0) = 0 5 + 0 + 1 = 1> 0.
I detta intervall finns det en teckenändring: tecken på f (-1) ≠ tecken på f (0), vilket innebär att funktionen f (x) = x 5 + x + 1 har minst en verklig rot «c» i intervallet, så att f (c) = 0. Med andra ord är det sant att x 5 + x + 1 = 0 har en verklig lösning i intervallet.
referenser
- Bronshtein I, SK (1988). Manual för matematik för ingenjörer och studenter. . Redaktion MIR.
- George, A. (1994). Matematik och sinne. Oxford University Press.
- Ilín V, PE (1991). Matematisk analys. I tre volymer. .
- Jesús Gómez, FG (2003). Lärare i gymnasieutbildning. Volym II. GALEN.
- Mateos, ML (2013). Grundläggande egenskaper för analys i R. Editores, 20 dec.
- Piskunov, N. (1980). Differential- och integralkalkyl. .
- Sydsaeter K, HP (2005). Matematik för ekonomisk analys. Felix Varela.
- William H. Barker, RH (nd). Kontinuerlig symmetri: Från Euklid till Klein. American Mathematical Soc.