CHEBYSHOVS SATS: VAD DET ÄR, APPLIKATIONER OCH EXEMPEL - MATTE - 2025

Den sats Chebyshev (Chebyshev eller olikhet) är en av de mest viktiga klassiska resultaten av teorin om sannolikhet. Det möjliggör uppskattning av sannolikheten för en händelse som beskrivs i termer av en slumpmässig variabel X genom att förse oss med en gräns som inte beror på fördelningen av den slumpmässiga variabeln utan på variansen av X.

Satsen är uppkallad efter den ryska matematikern Pafnuty Chebyshov (även skriven som Chebychev eller Tchebycheff), som, trots att han inte var den första att säga teorem, var den första som gav ett bevis 1867.

Denna ojämlikhet, eller de som på grund av deras egenskaper kallas Chebyshovs ojämlikhet, används främst för att ungefärliga sannolikheter genom att beräkna höjder.

Vad består det av?

I studien av sannolikhetsteori förekommer det att om fördelningsfunktionen för en slumpmässig variabel X är känd, kan dess förväntade värde eller matematiska förväntningar E (X) - och dess varians Var (X) beräknas, så länge som sådana belopp finns. Det konverserade är dock inte nödvändigtvis sant.

Det vill säga att veta E (X) och Var (X) är det inte nödvändigtvis möjligt att erhålla fördelningsfunktionen för X, därför är mängder som P (-X-> k) för vissa k> 0 mycket svåra att få. Men tack vare Chebyshovs ojämlikhet är det möjligt att uppskatta sannolikheten för den slumpmässiga variabeln.

Chebyshovs sats säger att om vi har en slumpmässig variabel X över ett sampelrum S med en sannolikhetsfunktion p, och om k> 0, då:

Applikationer och exempel

Bland de många tillämpningarna av Chebyshovs teorem kan följande nämnas:

Begränsande sannolikheter

Detta är den vanligaste applikationen och används för att ge en övre gräns för P (-XE (X) -≥k) där k> 0, endast med variansen och förväntningen av den slumpmässiga variabeln X, utan att veta sannolikhetsfunktionen .

Exempel 1

Anta att antalet produkter som tillverkas i ett företag under en vecka är en slumpmässig variabel med i genomsnitt 50.

Om det är känt att variationen i en veckas produktion är lika med 25, vad kan vi säga om sannolikheten för att denna vecka kommer produktionen att skilja sig mer än 10 från medelvärdet?

Lösning

Tillämpa Chebyshovs ojämlikhet har vi:

Av detta kan vi erhålla att sannolikheten att antalet artiklar under produktionsveckan överstiger genomsnittet med mer än 10 är högst 1/4.

Bevis för begränsningar

Chebyshovs ojämlikhet spelar en viktig roll för att bevisa de viktigaste gränssatserna. Som exempel har vi följande:

Svagt lag av stort antal

Denna lag säger att med tanke på en sekvens X1, X2, …, Xn, … av oberoende slumpmässiga variabler med samma genomsnittliga fördelning E (Xi) = μ och varians Var (X) = σ ² , och ett känt medelprov av:

Sedan för k> 0 har vi:

Eller, likvärdigt:

Demonstration

Låt oss först märka följande:

Eftersom X1, X2, …, Xn är oberoende följer det att:

Därför är det möjligt att ange följande:

Sedan använder vi Chebyshovs teorem:

Slutligen beror teoremet från det faktum att gränsen till höger är noll när n närmar sig oändlighet.

Det bör noteras att detta test endast gjordes för det fall där Xi-variansen existerar; det vill säga, det skiljer sig inte. Således observerar vi att teoremet alltid är sant om E (Xi) finns.

Chebyshov begränsar teorem

Om X1, X2, …, Xn, … är en sekvens av oberoende slumpmässiga variabler så att det finns någon C <oändlighet, så att Var (Xn) ≤ C för alla naturliga n, då för alla k> 0:

Demonstration

Eftersom varianssekvensen är enhetligt begränsad har vi den Var (Sn) ≤ C / n, för alla naturliga n. Men vi vet att:

Att göra n tenderar mot oändlighet, följande resultat:

Eftersom en sannolikhet inte kan överstiga värdet 1, erhålls det önskade resultatet. Som en följd av denna sats kan vi nämna det specifika fallet med Bernoulli.

Om ett experiment upprepas n gånger oberoende med två möjliga resultat (misslyckande och framgång), där p är sannolikheten för framgång i varje experiment och X är den slumpmässiga variabeln som representerar antalet framgångar, då för varje k> 0 du måste:

Provstorlek

När det gäller varians, tillåter Chebyshov-ojämlikheten oss att hitta en provstorlek n som är tillräcklig för att garantera att sannolikheten för att -Sn-μ -> = k inträffar är så liten som önskas, vilket möjliggör en ungefärlig till genomsnittet.

Låt X1, X2, … Xn specifikt vara ett prov av oberoende slumpmässiga variabler av storlek n och anta att E (Xi) = μ och dess varians σ ² . Sedan av Chebyshovs ojämlikhet har vi:

Exempel

Anta att X1, X2, … Xn är ett urval av oberoende slumpmässiga variabler med Bernoulli-fördelning, så att de tar värdet 1 med sannolikhet p = 0,5.

Vad måste vara storleken på provet för att kunna garantera att sannolikheten för att skillnaden mellan det aritmetiska medelvärdet Sn och dess förväntade värde (överstiger mer än 0,1) är mindre än eller lika med 0,01?

Lösning

Vi har att E (X) = μ = p = 0,5 och att Var (X) = σ ² = p (1-p) = 0,25. Genom Chebyshovs ojämlikhet har vi för alla k> 0:

Nu med k = 0,1 och 5 = 0,01 har vi:

På detta sätt dras slutsatsen att en provstorlek på minst 2500 behövs för att garantera att sannolikheten för händelsen -Sn - 0,5 -> = 0,1 är mindre än 0,01.

Ojämlikheter av typen Chebyshov

Det finns flera ojämlikheter relaterade till Chebyshovs ojämlikhet. En av de mest kända är Markov-ojämlikheten:

I detta uttryck är X en icke-negativ slumpvariabel med k, r> 0.

Markov-ojämlikheten kan ta olika former. Låt till exempel Y vara en icke-negativ slumpvariabel (så P (Y> = 0) = 1) och anta att E (Y) = μ finns. Anta också att (E (Y)) ^r = μ _r finns för vissa heltal r> 1. Så:

En annan ojämlikhet är Gaussian, som säger att med tanke på en oändlig slumpvariabel X med läget vid noll, sedan för k> 0

referenser

1. Kai Lai Chung. Elementarförmågansteori med stokastiska processer. Springer-Verlag New York Inc
2. Kenneth.H. Rosen, diskret matematik och dess tillämpningar. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Sannolikhet och statistiska tillämpningar. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 löste problem med diskret matematik. McGraw-Hill.
5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teori- och sannolikhetsproblem. McGraw-Hill.