EUCLIDS TEOREM: BEVIS, TILLÄMPNING OCH ÖVNINGAR - MATTE - 2026

Den Euklides sats visar egenskaperna hos en triangel till rita en linje som delar sig det i två nya trianglar som liknar och i sin tur liknar den ursprungliga triangeln; då finns det ett proportionalitetsförhållande.

Euclid var en av de största matematikerna och geometrikerna från forntiden som utförde flera bevis på viktiga teorem. En av de viktigaste är den som bär hans namn, som har haft en bred tillämpning.

Detta har varit fallet eftersom det genom detta ställe på ett enkelt sätt förklarar de geometriska förhållandena som finns i den högra triangeln, där benen på detta är relaterade till deras utsprång i hypotenusen.

Formler och demonstration

Euclids teorem föreslår att i varje högra triangeln, när en linje dras - som representerar höjden som motsvarar den högra vinkelns topp i förhållande till hypotenusen - bildas två högra trianglar från originalet.

Dessa trianglar kommer att likna varandra och kommer också att likna den ursprungliga triangeln, vilket innebär att deras liknande sidor är proportionella mot varandra:

De tre trianglarnas vinklar är kongruenta; det vill säga, när de roteras 180 grader runt deras topp, sammanfaller en vinkel med den andra. Detta innebär att de alla kommer att vara desamma.

På detta sätt kan likheten mellan de tre trianglarna också verifieras genom deras vinklar. Från likheten mellan trianglar fastställer Euclid proportionerna av dessa från två teorem:

- Höjdsteorem.

- Benställe.

Denna sats har en bred tillämpning. I forntiden användes det för att beräkna höjder eller avstånd, vilket representerade ett stort framsteg för trigonometri.

Det används för närvarande inom olika områden som är baserade på matematik, såsom teknik, fysik, kemi och astronomi, bland många andra områden.

Höjdsats

I detta teorem fastställs att i en rätt triangel är höjden som dras från den rätta vinkeln med avseende på hypotenusen det geometriska proportionella medelvärdet (kvadratet på höjden) mellan utsprången på benen som det bestämmer på hypotenusen.

Det vill säga höjdkvadratet kommer att vara lika med multiplikationen av de projicerade benen som bildar hypotenusen:

h _c ² = m _* n

Demonstration

Med tanke på en triangel ABC, som är rätt vid topppunkt C, genererar plottning av höjden två liknande högra trianglar, ADC och BCD; därför är deras motsvarande sidor proportionella:

På ett sådant sätt att höjden h _c som motsvarar segmentet CD motsvarar hypotenusen AB = c, så har vi:

I sin tur motsvarar detta:

Lösning för hypotenusen (h _c ), för att multiplicera de två jämställdhetsmedlemmarna, har vi:

h _{c *} h _{c =} m _* n

h _c ² = m _* n

Således ges värdet på hypotenusen av:

Benetning

I detta teorem fastställs det att i varje höger triangel kommer måtten för varje ben att vara det geometriska proportionella medelvärdet (kvadratet för varje ben) mellan måtten på hypotenusen (fullständig) och projektionen för varje en på det:

b ² = c _* m

a ² = c _* n

Demonstration

Med tanke på en triangel ABC, som är rätt vid topppunkten C, på ett sådant sätt att dess hypotenus är c, när man planerar höjden (h) bestäms utsprången på benen a och b, vilka är segmenten m respektive n och vilka ligger på hypotenusen.

Således har vi att höjden som dras på den högra triangeln ABC genererar två liknande högra trianglar, ADC och BCD, så att motsvarande sidor är proportionella, så här:

DB = n, vilket är projiceringen av ben CB på hypotenusen.

AD = m, vilket är projiceringen av benet AC på hypotenusen.

Därefter bestäms hypotenusen c av summan av benen på dess utsprång:

c = m + n

På grund av likheten mellan trianglarna ADC och BCD har vi:

Ovanstående är samma som:

Att lösa för benet "a" för att multiplicera de två medlemmarna i jämställdheten har vi:

a _* a = c _* n

a ² = c _* n

Således ges värdet på benet "a" av:

På samma sätt, på grund av likheten mellan trianglarna ACB och ADC, har vi:

Ovanstående är lika med:

Lösning för benet "b" för att multiplicera de två jämställdhetsmedlemmarna har vi:

b _* b = c _* m

b ² = c _* m

Således ges värdet på benet "b" av:

Förhållandet mellan Euclids satsningar

Teoremen med hänvisning till höjden och benen är relaterade till varandra eftersom måtten på båda är gjorda med avseende på hypotenusen i den högra triangeln.

Genom förhållandet mellan Euclids teorem kan höjdvärdet också hittas; detta är möjligt genom att lösa värdena på m och n från benstämningen och de ersätts i höjningssatsen. På detta sätt uppfylls det att höjden är lika med multiplikationen av benen, dividerad med hypotenusen:

b ² = c _* m

m = b ² ÷ c

a ² = c _* n

n = a ² ÷ c

I höjningssatsen ersätter vi m och n:

h _c ² = m _* n

h _c ² = (b ² ÷ c) _* (a ² ÷ c)

h _c = (b ² _* a ² ) ÷ c

Lösta övningar

Exempel 1

Med tanke på triangeln ABC, rätt vid A, bestäm mått på AC och AD, om AB = 30 cm och BD = 18 cm

Lösning

I detta fall har vi mätningarna av ett av de projicerade benen (BD) och av ett av benen i den ursprungliga triangeln (AB). På detta sätt kan benstämningen tillämpas för att hitta värdet på benet BC.

AB ² = BD _* BC

(30) ² = 18 _* f.Kr.

900 = 18 _* f.Kr.

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

Värdet på ben-CD kan man veta att BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 cm

Nu är det möjligt att bestämma värdet på ben AC, tillämpa benstämningen igen:

AC ² = CD _* BD

AC ² = 32 _* 50

AC ² = 160

AC = √1600 = 40 cm

För att bestämma värdet på höjden (AD) tillämpas höjdssatsen, eftersom värdena på de projicerade benen CD och BD är kända:

AD ² = 32 _* 18

AD ² = 576

AD = √576

AD = 24 cm

Exempel 2

Bestäm värdet på höjden (h) på en triangel MNL, rätt i N, med kännedom om segmentens mått:

NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

Lösning

Vi har måttet på ett av benen som projiceras på hypotenusen (PM), liksom måtten på benen i den ursprungliga triangeln. På detta sätt kan benställningen tillämpas för att hitta värdet på det andra projicerade benet (LN):

NL ² = PM _* LM

(10) ² = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

Eftersom värdet på benen och hypotenusen redan är känd kan värdet på höjden bestämmas genom förhållandet mellan höjden och benen:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b ² _* a ² ) ÷ c.

h = (10 ² _* 5 ² ) ÷ (20)

h = (100 _* 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 cm.

referenser

1. Braun, E. (2011). Kaos, fraktaler och konstiga saker. Fund of Economic Culture.
2. Cabrera, VM (1974). Modern matematik, bind 3.
3. Daniel Hernandez, DP (2014). 3: e års matematik. Caracas: Santillana.
4. Encyclopaedia Britannica, i. (nittonhundranittiofem). Hispanic Encyclopedia: Macropedia. Encyclopedia Britannica Publisher.
5. Euclid, RP (1886). Euclids element av geometri.
6. Guardeño, AJ (2000). Arvet från matematik: från Euclid till Newton, genierna genom sina böcker. Sevilla universitet.