EXISTENS OCH UNIK TEOREM: BEVIS, EXEMPEL OCH ÖVNINGAR - MATTE - 2026

Den existens och entydighetssats fastställs de nödvändiga och tillräckliga villkor för en första ordningens differentialekvation, med ett givet initialtillstånd, för att ha en lösning och för att denna lösning vara den enda.

Satsen ger emellertid ingen teknik eller indikation på hur man hittar en sådan lösning. Existens och unika teoremet utvidgas också till differentieringsekvationer med högre ordning med initiala förhållanden, som kallas Cauchy-problemet.

Figur 1. En differentiell ekvation med initialtillstånd och dess lösning visas. Existens och unika teorem garanterar att det är den enda möjliga lösningen.

Det formella uttalandet om existens- och unikhetssatsen är som följer:

”För en differentiell ekvation y '(x) = f (x, y) med initialtillståndet y (a) = b finns det åtminstone en lösning i ett rektangulärt område i XY-planet som innehåller punkten (a, b), om f (x, y) är kontinuerligt i det området. Och om det partiella derivatet av f med avseende på y: g = ∂f / ∂y är kontinuerligt i samma rektangulära region, så är lösningen unik i ett kvarter av punkten (a, b) som finns i kontinuitetsområdet för fy g. "

Nyttan av detta teorem ligger först i att veta vilka områden i XY-planet där en lösning kan existera, och också att veta om lösningen som hittas är den enda möjliga eller om det finns andra.

Observera att om det unika villkoret inte är uppfyllt, kan inte teorem förutsäga hur många lösningar totalt Cauchy-problemet har: kanske det är en, två eller mer.

Bevis på existens och unika teorem

Bild 2. Charles Émile Picard (1856-1941) krediteras ett av de första bevisen för existens- och unikhetsteoremet. Källa: Wikimedia Commons.

För detta teorem är två möjliga bevis kända, ett av dem är beviset för Charles Émile Picard (1856-1941) och det andra beror på Giuseppe Peano (1858-1932) baserat på verk av Augustin Louis Cauchy (1789-1857) .

Det är anmärkningsvärt att de mest lysande matematiska sinnena under 1800-talet deltog i beviset på denna teorem, så det kan antydas att ingen av de två är enkla.

För att formellt bevisa teoremet är det nödvändigt att först upprätta en serie mer avancerade matematiska begrepp, såsom funktioner av Lipschitz-typ, Banach-utrymmen, Carathéodorys existenssteorem och flera andra, som ligger utanför artikelns omfattning.

En stor del av de differentiella ekvationer som hanteras i fysik handlar om kontinuerliga funktioner i de intressanta regionerna, därför begränsar vi oss till att visa hur teoremet tillämpas i enkla ekvationer.

exempel

- Exempel 1

Låt oss överväga följande differentiella ekvation med ett initialt villkor:

y '(x) = - y; med y (1) = 3

Finns det en lösning på det här problemet? Är det den enda möjliga lösningen?

svar

För det första utvärderas förekomsten av lösningen av den differentiella ekvationen och att den också uppfyller det ursprungliga villkoret.

I detta exempel är f (x, y) = - och existensvillkoret behöver veta om f (x, y) är kontinuerligt i ett område i XY-planet som innehåller punkten för koordinaterna x = 1, y = 3.

Men f (x, y) = - y är affinfunktionen, som är kontinuerlig inom domänen för verkliga siffror och som finns i hela det verkliga antalet.

Därför dras slutsatsen att f (x, y) är kontinuerligt i R ² , så att teoremet garanterar att det finns minst en lösning.

Genom att veta detta är det nödvändigt att utvärdera om lösningen är unik eller om det tvärtom finns fler än en. För detta är det nödvändigt att beräkna det partiella derivatet av f med avseende på variabeln y:

Då g (x, y) = -1, som är en konstant funktion, som också är definierad för alla R ² och är också kontinuerliga där. Av detta följer att existens- och unikhetssatsen säkerställer att detta initialvärde-problem har en unik lösning, även om det inte säger vad det är.

- Exempel 2

Tänk på följande första ordningens ordinarie differentiella ekvation med det initiala villkoret:

y '(x) = 2√y; och (0) = 0.

Finns det en lösning y (x) på det här problemet? Om så är fallet, avgör om det finns en eller flera än en.

Svar

Vi betraktar funktionen f (x, y) = 2√y. Funktionen f definieras endast för y≥0, eftersom vi vet att ett negativt tal saknar en verklig rot. Vidare är f (x, y) kontinuerlig i den övre halvplanet av R ² fattande X-axeln, så att det föreligger och unika sats garantier åtminstone en lösning i den regionen.

Nu är det initiala villkoret x = 0, y = 0 på kanten av lösningsområdet. Sedan tar vi det partiella derivatet av f (x, y) med avseende på y:

∂f / ∂y = 1 / √y

I detta fall är funktionen inte definierad för y = 0, exakt där det initiala villkoret är.

Vad säger teoremet oss? Det säger att även om vi vet att det finns åtminstone en lösning i det övre halvplanet på X-axeln, inklusive X-axeln, eftersom det unika villkoret inte uppfylls, finns det ingen garanti för att det kommer att finnas en unik lösning.

Detta innebär att det kan finnas en eller flera än en lösning i kontinuitetsområdet för f (x, y). Och som alltid berättar inte teoremet vad de kan vara.

Lösta övningar

- Övning 1

Lös Cauchy-problemet i exempel 1:

y '(x) = - y; med y (1) = 3.

Hitta funktionen y (x) som uppfyller differensekvationen och initialtillståndet.

Lösning

I exempel 1 fastställdes att detta problem har en lösning och också är unikt. För att hitta lösningen är det första att notera att det är en första grads skillnadsekvation för separerbara variabler, som skrivs enligt följande:

Dela mellan och i båda medlemmarna för att skilja de variabler vi har:

Den obestämda integralen tillämpas i båda medlemmarna:

Lösa de obestämda integralerna vi har:

där C är en konstant för integration som bestäms av det ursprungliga villkoret:

Att ersätta C-värdet och omarrangera det återstår:

Tillämpa följande egenskap av logaritmer:

Ovanstående uttryck kan skrivas om så här:

Den exponentiella funktionen med bas e i båda medlemmarna tillämpas för att erhålla:

y / 3 = e ^{(1 - x)}

Vilket motsvarar:

y = 3e e ^-x

Detta är den unika lösningen av ekvationen y '= -y med y (1) = 3. Graden av denna lösning visas i figur 1.

- Övning 2

Hitta två lösningar för problemet i exempel 2:

y '(x) = 2√ (y); och (0) = 0.

Lösning

Det är också en ekvation av separerbara variabler, som, skrivna i differentiell form, ser ut så här:

dy / √ (y) = 2 dx

Att ta den obestämda integralen i båda medlemmarna återstår:

2 √ (y) = 2 x + C

Eftersom vi vet att y≥0 i lösningsregionen har vi:

y = (x + C) ²

Men eftersom det initiala villkoret x = 0, y = 0 måste uppfyllas, är konstanten C noll och följande lösning kvarstår:

y (x) = x ² .

Men denna lösning är inte unik, funktionen y (x) = 0 är också en lösning på det problem som uppstår. Existens- och unikhetssatsen som tillämpades på detta problem i exempel 2 hade redan förutspått att det kunde finnas mer än en lösning.

referenser

1. Coddington, Earl A .; Levinson, Norman (1955), Theory of Ordinary Differential Equations, New York: McGraw-Hill.
2. Encyclopedia of Mathematics. Cauchy-Lipschitz teorem. Återställd från: encyclopediaofmath.org
3. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Kommer rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Vol. 116, 1894, sid. 454-457. Återställd från: gallica.bnf.fr.
4. Wikipedia. Picards successiva approximationsmetod. Återställd från: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Picard-Lindelöfs teorem. Återställd från: es.wikipedia.com.
6. Zill, D. 1986. Elementära differentiella ekvationer med applikationer Prentice Hall.