De första och andra teorema från Thales of Miletus är baserade på att bestämma trianglar från liknande (första sats) eller från cirklar (andra teorem). De har varit mycket användbara inom olika områden. Den första teoremet var till exempel mycket användbart för att mäta stora strukturer när det inte fanns några sofistikerade mätinstrument.
Thales of Miletus var en grekisk matematiker som gav stora bidrag till geometri, av vilka dessa två teorem sticker ut (i vissa texter är han också skriven som Thales) och deras användbara tillämpningar. Dessa resultat har använts genom historien och har gjort det möjligt att lösa en mängd olika geometriska problem.
Thales of Miletus
Thales första sats
Thales första sats är ett mycket användbart verktyg som bland annat tillåter konstruktion av en triangel som liknar en annan, tidigare känd. Härifrån härleds olika versioner av teorem som kan tillämpas i flera sammanhang.
Innan vi lämnar ditt uttalande, låt oss komma ihåg några uppfattningar om likheter mellan trianglar. I huvudsak är två trianglar lika om deras vinklar är kongruenta (de har samma mått). Detta resulterar i det faktum att om två trianglar är lika är deras motsvarande (eller homologa) sidor proportionella.
Thales första sats säger att om en linje dras parallellt med någon av dess sidor i en given triangel, kommer den nya triangeln att likna den initiala triangeln.
En relation uppnås också mellan de bildade vinklarna, som visas i följande figur.
Ansökan
Bland de många tillämpningarna skiljer sig ett särskilt intresse ut och har att göra med ett av de sätt på vilka mätningar gjordes av stora strukturer i Antiken, en tid då Thales bodde och där det inte fanns några moderna mätanordningar som de finns nu.
Det sägs att det är så Thales lyckades mäta den högsta pyramiden i Egypten, Cheops. För detta antog Thales att reflektionerna från solstrålarna rörde marken och bildade parallella linjer. Under detta antagande spikade han en pinne eller käpp vertikalt i marken.
Han använde sedan likheten mellan de två resulterande trianglarna, en bildad av längden på skuggan av pyramiden (som lätt kan beräknas) och höjden på pyramiden (den okända) och den andra bildad av skuggans längder och höjden på stången (som också lätt kan beräknas).
Med användning av proportionaliteten mellan dessa längder kan pyramidens höjd lösas och kännas.
Även om denna mätmetod kan ge ett betydande approximationsfel med avseende på höjdens noggrannhet och beror på parallelliteten hos solstrålarna (som i sin tur beror på en exakt tid), måste det inses att det är en mycket genial idé och att det gav ett bra mätalternativ för tiden.
exempel
Hitta värdet på x i båda fallen:
Thales andra teorem
Den andra teoremet om Thales bestämmer en höger triangel som är inskriven i en cirkel vid varje punkt av samma.
En triangel som är inskriven på en omkrets är en triangel vars hörn är på omkretsen och därmed kvar i den.
Specifikt anger Thales andra teorem följande: med en cirkel med centrum O och diameter AC bestämmer varje punkt B på omkretsen (annan än A och C) en höger triangel ABC med rätt vinkel
Motivering, låt oss notera att både OA och OB och OC motsvarar omkretsens radie; därför är deras mätningar desamma. Av detta följer att trianglarna OAB och OCB är likställt, var
Det är känt att summan av vinklarna i en triangel är lika med 180º. Med detta med triangel ABC har vi:
2b + 2a = 180º.
På motsvarande sätt har vi att b + a = 90º och b + a =
Observera att den högra triangeln som tillhandahålls av Thales andra sats är exakt den vars hypotenus är lika med omkretsens diameter. Därför bestäms den helt av halvcirkeln som innehåller punkterna i triangeln; i detta fall den övre halvcirkeln.
Låt oss också observera att i den högra triangeln erhållen med hjälp av Thales andra teorem är hypotenusen uppdelad i två lika delar med OA och OC (radien). I sin tur är detta mått lika med segmentet OB (även radien), vilket motsvarar medianen för triangeln ABC med B.
Med andra ord bestäms längden på medianen för den högra triangeln ABC motsvarande toppunkt B helt av halva hypotenusen. Kom ihåg att medianen för en triangel är segmentet från en av topparna till mittpunkten på motsatt sida; i detta fall BO-segmentet.
Omskriven omkrets
Ett annat sätt att titta på Thales andra teorem är genom en periferi omkretsad till en rätt triangel.
I allmänhet består en omkrets som är omskriven till en polygon av omkretsen som passerar genom var och en av dess toppar, närhelst det är möjligt att rita den.
Med hjälp av Thales andra teorem, med en rätt triangel, kan vi alltid konstruera en omkrets som omkretsas med en radie som är lika med halva hypotenusen och en circumcenter (centrum av omkretsen) lika med mittpunkten på hypotenusen.
Ansökan
En mycket viktig tillämpning av Thales andra teorem, och kanske den mest använda, är att hitta tangentlinjerna till en given cirkel, genom en punkt P utanför den (känd).
Observera att med tanke på en cirkel (ritad med blått i figuren nedan) och en yttre punkt P, finns det två linjer som tangenterar cirkeln som passerar genom P. Låt T och T 'vara punkterna för tangens, r cirkelns radie och Eller centrum.
Det är känt att segmentet som går från mitten av en cirkel till en tangentpunkt av samma, är vinkelrätt mot denna tangentlinje. Så OTP-vinkeln är rätt.
Från vad vi såg tidigare i Thales första teorem och dess olika versioner, ser vi att det är möjligt att skriva in OTP-triangeln i en annan cirkel (i rött).
På liknande sätt erhålls att triangeln OT'P kan vara inskriven inom samma tidigare omkrets.
Genom Thales andra teorem erhåller vi också att diametern för denna nya omkrets är exakt hypotenusen för triangeln OTP (som är lika med hypotenusen för triangeln OT'P), och mitten är mittpunkten för denna hypotenuse.
För att beräkna mitten av den nya omkretsen är det tillräckligt att beräkna mittpunkten mellan centrum - säg M - för den initiala omkretsen (som vi redan vet) och punkten P (som vi också känner till). Då blir radien avståndet mellan denna punkt M och P.
Med radien och mitten av den röda cirkeln kan vi hitta dess kartesiska ekvation, som vi kommer ihåg att ges av (xh) 2 + (yk) 2 = c 2 , där c är radien och punkten (h, k) är centrum av omkretsen.
Genom att känna till ekvationerna i båda cirklarna kan vi korsa dem genom att lösa systemet med ekvationer som bildas av dem, och därmed få poäng Tangency T och T '. Slutligen, för att känna de önskade tangentlinjerna, räcker det att hitta ekvationen för linjerna som passerar genom T och P, och genom T 'och P.
Exempel
Tänk på en omkrets med diameter AC, mitt O och radie 1 cm. Låt B vara en punkt på omkretsen så att AB = AC. Hur lång är AB?
Lösning
Enligt Thales andra teorem har vi att triangeln ABC är rätt och hypotenusen motsvarar diametern, som i detta fall mäter 2 cm (radien är 1 cm). Sedan har vi genom den Pythagorese teorem:
referenser
- Ana Lira, PJ (2006). Geometri och trigonometri. Zapopan, Jalisco: Ediciones Umbral.
- Goodman, A., & Hirsch, L. (1996). Algebra och trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
- Gutiérrez, Á. TILL. (2004). Metodik och tillämpningar av matematik i ESO: s utbildningsministerium.
- IGER. (2014). Matematik andra termin Zaculeu. Guatemala: IGER.
- José Jiménez, LJ (2006). Matematik 2. Zapopan, Jalisco: Ediciones Umbral.
- M., S. (1997). Trigonometri och analytisk geometri. Pearson Education.
- Pérez, MA (2009). En historia av matematik: utmaningar och erövringar genom dess karaktärer. Redaktionella visioner
- Viloria, N., & Leal, J. (2005). Plan analytisk geometri. Redaktör Venezolana CA