BINOMIAL TEOREM: BEVIS OCH EXEMPEL - MATTE

Den binomiala teoremet är en ekvation som berättar för oss hur man utvecklar ett uttryck av formen (a + b) ⁿ för ett naturligt tal n. En binomial är inget annat än summan av två element, som (a + b). Det tillåter oss också att veta för en term som ges av en ^k b ^n-k vad som är koefficienten som följer med den.

Denna sats tillskrivs vanligtvis den engelska uppfinnaren, fysikern och matematikern Sir Isaac Newton; Emellertid har olika poster hittats som indikerar att dess existens redan var känd i Mellanöstern, omkring år 1000.

Kombinatoriska nummer

Binomialteoremet berättar matematiskt följande:

I detta uttryck är a och b verkliga siffror och n är ett naturligt tal.

Innan vi ger demo, låt oss titta på några grundläggande begrepp som är nödvändiga.

Kombinationsnumret eller kombinationerna av n i k uttrycks enligt följande:

Denna form uttrycker värdet på hur många delmängder med k-element som kan väljas från en uppsättning av n-element. Dess algebraiska uttryck ges av:

Låt oss se ett exempel: anta att vi har en grupp med sju bollar, varav två är röda och resten är blå.

Vi vill veta hur många sätt vi kan ordna dem i rad. Ett sätt kan vara att placera de två röda i första och andra position, och resten av bollarna i de återstående positionerna.

I likhet med föregående fall kunde vi ge de röda bollarna den första respektive den sista positionen och ockupera de andra med blå bollar.

Nu är ett effektivt sätt att räkna hur många sätt vi kan ordna bollarna i rad med hjälp av kombinatoriska nummer. Vi kan se varje position som ett element i följande uppsättning:

Då återstår det bara att välja en delmängd av två element, där var och en av dessa element representerar den position som de röda bollarna kommer att uppta. Vi kan göra detta val enligt förhållandet som ges av:

På det här sättet har vi att det finns 21 sätt att beställa dessa bollar.

Den allmänna idén med detta exempel kommer att vara mycket användbar för att bevisa binomialsatsen. Låt oss titta på ett visst fall: om n = 4 har vi (a + b) ⁴ , vilket är inget annat än:

När vi utvecklar denna produkt står vi kvar med summan av de termer som erhålls genom att multiplicera ett element av var och en av de fyra faktorerna (a + b). Således kommer vi att ha termer som kommer att vara av formen:

Om vi ville få termen i formen ⁴ måste vi bara multiplicera enligt följande:

Observera att det bara finns ett sätt att få detta element; men vad händer om vi nu letar efter termen för formen a ² b ² ? Eftersom "a" och "b" är verkliga siffror, och därför gäller den kommutativa lagen, har vi att ett sätt att få denna term är att multiplicera med medlemmarna som indikeras av pilarna.

Att utföra alla dessa operationer är vanligtvis något tråkigt, men om vi ser termen "a" som en kombination där vi vill veta hur många sätt vi kan välja två "a" från en uppsättning av fyra faktorer, kan vi använda idén från föregående exempel. Så vi har följande:

Sålunda vet vi att i den slutliga expansionen av uttrycket (a + b) ⁴ kommer vi att ha exakt 6a ² b ² . Med samma idé för de andra elementen måste du:

Sedan lägger vi till de uttryck som erhållits tidigare och vi har det:

Detta är ett formellt bevis för det allmänna fallet där "n" är vilket naturligt nummer som helst.

Demonstration

Observera att termerna som lämnas genom att expandera (a + b) ⁿ är av formen a ^k b ^n-k , där k = 0,1, …, n. Med hjälp av idén till föregående exempel har vi sättet att välja «k» -variabler «a» för «n» -faktorerna är:

Genom att välja på detta sätt väljer vi automatiskt nk-variabler "b". Av detta följer att:

exempel

Med tanke på (a + b) ⁵ , vad skulle dess utveckling vara?

Genom den binomiala teorem har vi:

Den binomiala teoremet är mycket användbart om vi har ett uttryck där vi vill veta vad koefficienten för en specifik term är utan att behöva göra den fulla utvidgningen. Som exempel kan vi ta följande okända: vad är koefficienten för x ⁷ och ⁹ i utvidgningen av (x + y) ¹⁶ ?

Genom den binomiella teorem har vi att koefficienten är:

Ett annat exempel skulle vara: vad är koefficienten x ⁵ och ⁸ i utvidgningen av (3x-7y) ¹³ ?

Först skriver vi om uttrycket på ett bekvämt sätt; detta är:

Sedan använder vi den binomiska teoremet att den sökta koefficienten är när vi har k = 5

Ett annat exempel på användningen av detta teorem är att bevisa vissa vanliga identiteter, till exempel de som vi kommer att nämna nästa.

Identitet 1

Om «n» är ett naturligt tal, har vi:

För beviset använder vi den binomiska teoremet, där både «a» och «b» tar värdet 1. Sedan har vi:

På detta sätt har vi bevisat den första identiteten.

Identitet 2

Om "n" är ett naturligt tal, då

Genom den binomiala teorem har vi:

En annan demonstration

Vi kan göra ett annat bevis för den binomiella teorem med hjälp av den induktiva metoden och Pascal identitet, som säger att om «n» och «k» är positiva heltal som tillfredsställer n ≥ k, då:

Induktionssäker

Låt oss först se att den induktiva basen rymmer. Om n = 1 har vi:

Vi ser faktiskt att det uppfylls. Låt nu n = j så att:

Vi vill se att för n = j + 1 är det sant att:

Så vi måste:

Genom hypotes vet vi att:

Sedan använder du den distribuerande egenskapen:

Därefter utvecklar vi vart och ett av sammanfattningarna, vi har:

Nu, om vi grupperar på ett bekvämt sätt, har vi det:

Med hjälp av pascalens identitet har vi:

Slutligen, notera att:

Därför ser vi att den binomiala teoremet gäller för alla "n" som tillhör de naturliga siffrorna, och med detta slutar beviset.

kuriosa

Kombinationsnumret (nk) kallas också binomialkoefficienten eftersom det är just koefficienten som visas i utvecklingen av binomialen (a + b) ⁿ .

Isaac Newton gav en generalisering av detta teorem för det fall där exponenten är ett verkligt tal; Denna sats är känd som Newtons binomiala teorem.

Redan i forntiden var detta resultat känt för det specifika fallet där n = 2. Detta fall nämns i Euclids element.

referenser

Johnsonbaugh Richard. Diskret matematik. PHH
Kenneth.H. Rosen, diskret matematik och dess tillämpningar. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
Seymour Lipschutz Ph.D & Marc Lipson. Diskret matematik. McGraw-Hill.
Ralph P. Grimaldi. Diskret och kombinatorisk matematik. Addison-Wesley Iberoamericana
Green Star Luis. . Diskret och kombinatorisk matematik Anthropos

BINOMIAL TEOREM: BEVIS OCH EXEMPEL - MATTE - 2026