FOURIER TRANSFORM: EGENSKAPER, APPLIKATIONER, EXEMPEL - MATTE - 2025

Den Fouriertransformen är ett analytiskt adekvat metod inriktad på integrerbara funktioner som tillhör den familj av integraltransformer. Den består av en omdefinition av funktioner f (t) i termer av Cos (t) och Sen (t).

De trigonometriska identiteterna hos dessa funktioner, tillsammans med deras härlednings- och antideriveringsegenskaper, tjänar till att definiera Fourier-transformen genom följande komplexa funktion:

Vilket är sant så länge uttrycket är meningsfullt, det vill säga när den felaktiga integralen är konvergent. Algebraiskt sägs Fourier-transformen vara en linjär homeomorfism.

Varje funktion som kan arbetas med en Fourier-transform måste presentera noll utanför en definierad parameter.

Egenskaper

Källa: pexels

Fourier-transformen uppfyller följande egenskaper:

Existens

För att verifiera förekomsten av Fourier-transformen i en funktion f (t) definierad i realerna R , måste följande 2 axiomer uppfyllas:

1. f (t) är bitvis kontinuerligt för alla R
2. f (t) är integrerbar i R

Fourier transformation linearitet

Låt M (t) och N (t) vara två funktioner med bestämda Fourier-transformer, med alla konstanter a och b.

F (z) = a F (z) + b F (z)

Vilket också stöds av linjäriteten i integralen med samma namn.

Fourieromvandling av ett derivat

Det finns en funktion f som är kontinuerlig och integrerbar i alla riktigheter, där:

Och derivatet av f (f ') är kontinuerligt och delvis definierat i hela R

Fourier-transformationen av ett derivat definieras av integration av delar, av följande uttryck:

F (z) = iz F (z)

I härledningarna av högre ordning kommer det att tillämpas på ett homologt sätt, där vi för alla n 1 har:

F (z) = (iz) ⁿ F (z)

Fourier transformationsdifferentiering

Det finns en funktion f som är kontinuerlig och integrerbar i alla riktigheter, där:

Fourier omvandling av en översättning

För varje θ som tillhör en uppsättning S och T som tillhör uppsättningen S ', har vi:

F = e ^-iay FF = e ^-iax F

Med τ _a fungerar som översättningsoperatör på vektorn a.

Översättning av Fourier-transformen

För varje θ som tillhör en uppsättning S och T som tillhör uppsättningen S ', har vi:

τ _a F = F τ _a F = F

För alla av vilka tillhör R

Fourier transform av en skalgrupp

För alla θ som tillhör en uppsättning S. T som tillhör uppsättningen S '

λ som tillhör R - {0} har vi:

F = (1 / -λ-) F ( y / λ )

F = (1 / -λ-) F (y / λ )

Om f är en kontinuerlig och tydligt integrerbar funktion, där en> 0. Sedan:

F (z) = (1 / a) F (z / a)

För att visa detta resultat kan vi fortsätta med ändringen av variabeln.

När T → + sedan s = vid → + ∞

När T → - då s = vid → - ∞

Symmetri

För att studera symmetrin för Fourier-transformen måste Parsevals identitet och Plancherel-formeln verifieras.

Vi har θ och δ som tillhör S. Därifrån kan man dra slutsatsen att:

Komma

1 / (2π) ^d { F, F } Parseval identitet

1 / (2π) ^{d / 2} - F - _L ² _R ^d Plancherels formeln

Fourier transformation av en upplösningsprodukt

Genom att sträva efter liknande mål som i Laplace-transformen hänvisar konvolveringen av funktioner till produkten mellan deras Fourier-transformer.

Vi har f och g som 2 begränsade, definierade och helt integrerbara funktioner:

F (f * g) = F (f). F (g)

F (f). F (g) = F (f. G)

Kontinuitet och faller i oändligheten

Vad är Fourier-transformen för?

Det tjänar främst till att förenkla ekvationer kraftigt, samtidigt som de härledda uttryck omvandlas till maktelement och betecknar differentiella uttryck i form av integrerade polynomier.

Vid optimering, modulering och modellering av resultat fungerar det som ett standardiserat uttryck och är en frekvent resurs för teknik efter flera generationer.

Fourier-serien

De är serier definierade i termer av Cosines and Sines; De tjänar till att underlätta arbete med allmänna periodiska funktioner. När de används är de en del av teknikerna för att lösa vanliga och partiella differentiella ekvationer.

Fourier-serier är ännu mer allmänna än Taylor-serier, eftersom de utvecklar periodiska diskontinuerliga funktioner som inte har Taylor-serierepresentation.

Andra former av Fourier-serien

För att förstå Fourier-transformen analytiskt är det viktigt att granska de andra sätten på vilka Fourier-serien kan hittas, tills Fourier-serien kan definieras i dess komplexa notation.

-Fourier-serien om en funktion av period 2L

Många gånger är det nödvändigt att anpassa strukturen i en Fourier-serie till periodiska funktioner vars period är p = 2L> 0 i intervallet.

-Fourier-serier i udda och jämna funktioner

Intervallet beaktas, vilket ger fördelar när man utnyttjar funktionernas symmetriska egenskaper.

Om f är jämnt etableras Fourier-serien som en serie av Cosines.

Om f är udda etableras Fourier-serien som en serie med Sines.

-Komplex notation av Fourier-serien

Om vi ​​har en funktion f (t), som uppfyller alla krav på utvecklingsbarhet i Fourier-serien, är det möjligt att beteckna den i intervallet med dess komplexa notation:

tillämpningar

Källa: pexels

Beräkning av den grundläggande lösningen

Fourier-transformen är ett kraftfullt verktyg för att studera partiella differentiella ekvationer av den linjära typen med konstanta koefficienter. De ansöker om funktioner med obegränsade domäner lika.

Precis som Laplace-transformen omvandlar Fourier-transformen en partiell derivatfunktion till en vanlig differentiell ekvation mycket enklare att använda.

Cauchy-problemet för värmeekvationen presenterar ett fält med frekvent applicering av Fourier-transformen där värmekärnan eller Dirichlets kärnfunktion genereras.

När det gäller beräkningen av den grundläggande lösningen presenteras följande fall där det är vanligt att hitta Fourier-transformen:

Signal teori

Det allmänna skälet för tillämpningen av Fourier-transformen i denna gren beror huvudsakligen på den karakteristiska sönderdelningen av en signal som en oändlig superposition av lättare kan spåras signaler.

Det kan vara en ljudvåg eller en elektromagnetisk våg, Fourier-transformen uttrycker den i en superposition av enkla vågor. Denna representation är ganska ofta inom elektroteknik.

Å andra sidan är exempel på tillämpning av Fourier-transformen inom området signalteori:

exempel

Exempel 1

Definiera Fourier-transformen för följande uttryck:

Vi kan också representera det på följande sätt:

F (t) = Sen (t)

Den rektangulära pulsen definieras:

p (t) = H _{(t + k)} - H _{(t - k)}

Fourier-transformen appliceras på följande uttryck som liknar moduleringssatsen.

f (t) = p (t) Sen (t)

Var: F = (1/2) i

Och Fourier-transformen definieras av:

F = (1/2) i

Exempel 2

Definiera Fourier-transformen för uttrycket:

Eftersom f (h) är en jämn funktion kan det anges att

Integrering av delar tillämpas genom att välja variabler och deras skillnader enligt följande

u = sin (zh) du = z cos (zh) dh

dv = h (e ^-h ) ² v = (e ^-h ) ² /2

Ersätta du har

Efter utvärdering under den grundläggande teorem om kalkyl

Med tillämpning av förkunskaper beträffande första ordningens differentiella ekvationer betecknas uttrycket som

För att få K utvärderar vi

Slutligen definieras uttrycket Fourier av uttrycket som

Föreslagna övningar

• 

• 

• Få transformen av uttrycket W / (1 + w ² )

referenser

1. Duoandikoetxea Zuazo, J., Fourier-analys. Addison– Wesley Iberoamericana, Autonomous Madrid, 1995.
2. Lions, JL, Matematisk analys och numeriska metoder för vetenskap och teknik. Springer - Verlag, 1990.
3. Lieb, EH, gaussiska kärnor har endast gaussiska maximizers. Uppfinna. Matematik. 102 , 179-208, 1990.
4. Dym, H., McKean, HP, Fourier-serien och integraler. Academic Press, New York, 1972.
5. Schwartz, L., Théorie des Distributions. Ed Hermann, Paris, 1966.