LAPLACE TRANSFORM: DEFINITION, HISTORIA OCH VAD DEN ÄR TILL FÖR - MATTE - 2026

Den Laplacetransformen har varit under de senaste åren av stor betydelse i ingenjörsstudier, matematik, fysik, bland andra vetenskapliga områden, samt är av stort intresse i teorin, ger ett enkelt sätt att lösa problem som kommer från vetenskap och teknik.

Ursprungligen presenterades Laplace-transformen av Pierre-Simón Laplace i sin studie om sannolikhetsteori och behandlades ursprungligen som ett matematiskt objekt av rent teoretiskt intresse.

Aktuella tillämpningar uppstår när olika matematiker försökte ge en formell motivering till de "operativa reglerna" som används av Heaviside i studien av ekvationer av elektromagnetisk teori.

Definition

Låt f vara en funktion definierad för t ≥ 0. Laplace-transformeringen definieras enligt följande:

Laplace-transformen sägs existera om den tidigare integralen konvergerar, annars sägs Laplace-transformen inte existera.

I allmänhet används små bokstäver för att beteckna den funktion som ska transformeras, och versalerna motsvarar dess transform. På detta sätt kommer vi att ha:

exempel

Tänk på konstantfunktionen f (t) = 1. Vi har dess omvandling är:

Närhelst integralen konvergerar, det är när s> 0. I annat fall s <0, avviker integralen.

Låt g (t) = t. Dess Laplace-transformering ges av

Genom att integrera genom delar och veta att te ^-st tenderar till 0 när t tenderar till oändlighet och s> 0, tillsammans med föregående exempel har vi:

Transformationen kan eller inte kan existera, till exempel för funktionen f (t) = 1 / t integralen som definierar dess Laplace-transformering konvergerar inte och därför finns dess transformation inte.

Tillräckliga förhållanden för att garantera att Laplace-transformationen av en funktion f existerar är att f är bitvis kontinuerlig för t ≥ 0 och är av exponentiell ordning.

En funktion sägs vara delvis kontinuerlig för t ≥ 0, när det för något intervall med a> 0 finns ett begränsat antal punkter _tk, där f har diskontinuiteter och är kontinuerligt i varje delintervall.

Å andra sidan sägs en funktion vara av exponentiell ordning c om det finns verkliga konstanter M> 0, c och T> 0 så att:

Som exempel har vi att f (t) = t ² är av exponentiell ordning, eftersom -t ² - <e ^3t för alla t> 0.

På ett formellt sätt har vi följande teorem

Sats (tillräckliga förutsättningar för existens)

Om f är en delkontinuerlig funktion för t> 0 och exponentiell ordning c, existerar Laplace-transformen för s> c.

Det är viktigt att betona att detta är ett tillräckligt villkor, det vill säga att det kan vara fallet att det finns en funktion som inte uppfyller dessa villkor och även då dess Laplace-transformering existerar.

Ett exempel på detta är funktionen f (t) = t ^-1/2 som inte är ^bitvis kontinuerlig för t ≥ 0 men dess Laplace-transformering existerar.

Laplace-transformation av några grundläggande funktioner

Följande tabell visar Laplace-omvandlingen av de vanligaste funktionerna.

Historia

Laplace-transformen är skyldig Pierre-Simon Laplace, en fransk matematiker och teoretisk astronom som föddes 1749 och dog 1827. Hans berömmelse var sådan att han var känd som Newton of France.

1744 ägnade Leonard Euler sina studier till integraler med formen

som lösningar på vanliga differentiella ekvationer, men han övergav snabbt denna undersökning. Senare undersökte Joseph Louis Lagrange, som i hög grad beundrade Euler, även dessa typer av integraler och relaterade dem till sannolikhetsteori.

1782, Laplace

1782 började Laplace studera sådana integraler som lösningar på differentiella ekvationer och enligt historiker beslutade han 1785 att omformulera problemet, vilket senare gav upphov till Laplace-omvandlingen som de förstås idag.

Efter att ha införts i fältet med sannolikhetsteori, var det av litet intresse för forskare vid den tiden och sågs bara som ett matematiskt objekt av endast teoretiskt intresse.

Oliver Heaviside

Det var i mitten av nittonhundratalet då den engelska ingenjören Oliver Heaviside upptäckte att differentiella operatörer kan behandlas som algebraiska variabler och därmed ge Laplace omvandlar sin moderna tillämpning.

Oliver Heaviside var en engelsk fysiker, elektrotekniker och matematiker som föddes i London 1850 och dog 1925. Medan han försökte lösa problem med ekvivalenta ekvationer tillämpade på teorin om vibrationer och använda Laplaces studier började han forma Moderna applikationer av Laplace transforms.

Resultaten som presenterades av Heaviside spridde sig snabbt över tidens vetenskapliga gemenskap, men eftersom hans arbete inte var rigoröst kritiserades han snabbt av de mer traditionella matematikerna.

Emellertid användbarheten av Heavisides arbete för att lösa ekvationer i fysik gjorde hans metoder populära bland fysiker och ingenjörer.

Trots dessa bakslag och efter några decennier av misslyckade försök, i början av 1900-talet kunde en rigorös motivering ges till de operativa regler som ges av Heaviside.

Dessa försök bar frukt tack vare ansträngningarna från olika matematiker som Bromwich, Carson, van der Pol, bland andra.

Egenskaper

Bland egenskaperna hos Laplace-transformen skiljer sig följande ut:

linjäritet

Låt c1 och c2 vara konstanter och f (t) och g (t) -funktioner vars Laplace-transformationer är F (s) respektive G (s), då har vi:

På grund av denna egenskap sägs Laplace-transformen vara en linjär operatör.

Exempel

Första översättningsteorem

Om det händer att:

Och 'a' är vilket som helst reellt tal, så:

Exempel

Eftersom Laplace-transformationen av cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) då:

Andra översättningssatsen

Ja

Så

Exempel

Om f (t) = t ^ 3, då F (s) = 6 / s ^ 4. Och därför förvandlingen av

är G (s) = 6e ^-2s / s ^ 4

Skala förändring

Ja

Och 'a' är en icke-noll verklig, vi måste

Exempel

Eftersom transformationen av f (t) = sin (t) är F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1) har vi det

Laplaces transformering av derivat

Om f, f ', f' ', …, f ⁽ⁿ⁾ är kontinuerliga för t ≥ 0 och är av exponentiell ordning och f ⁽ⁿ⁾ (t) är bitvis kontinuerlig för t ≥ 0, då

Laplace-transformation av integraler

Ja

Så

Multiplikation med t

Om vi ​​måste

Så

Uppdelning av t

Om vi ​​måste

Så

Periodiska funktioner

Låt f vara en periodisk funktion med period T> 0, det vill säga f (t + T) = f (t), då

F (s) beteende som s tenderar till oändlighet

Om f är kontinuerligt i delar och exponentiell ordning och

Så

Omvända omvandlingar

När vi tillämpar Laplace-transformen på en funktion f (t) får vi F (er), som representerar denna transform. På samma sätt kan vi säga att f (t) är den omvända Laplace-transformationen av F (s) och är skriven som

Vi vet att Laplace-transformationerna av f (t) = 1 och g (t) = t är F (s) = 1 / s respektive G (s) = 1 / s ² , därför har vi det

Några vanliga inversa Laplace-transformationer är följande

Vidare är den omvända Laplace-transformen linjär, det vill säga det är sant det

Träning

Hitta

För att lösa denna övning måste vi matcha funktionen F (er) med en av föregående tabell. Om vi ​​i detta fall tar + 1 = 5 och använder linjärhetsegenskapen för den omvända transformationen multiplicerar vi och delar med 4! Komma

För den andra omvända transformationen tillämpar vi partiella fraktioner för att skriva om funktionen F (er) och sedan egenskapen linearitet, för att erhålla

Som vi ser av dessa exempel är det vanligt att funktionen F (er) som utvärderas inte exakt matchar någon av funktionerna i tabellen. För dessa fall är det, som kan ses, nog att skriva om funktionen tills den når rätt form.

Applikationer av Laplace-transformen

Differentialekvationer

Den huvudsakliga tillämpningen av Laplace transforms är att lösa differentiella ekvationer.

Med hjälp av egenskapen för omvandlingen av ett derivat är det tydligt att

Y av n-1-derivat utvärderade vid t = 0.

Denna egenskap gör transformen mycket användbar för att lösa initialvärdesproblem där differentiella ekvationer med konstant koefficienter är involverade.

Följande exempel visar hur man använder Laplace-transformen för att lösa differentiella ekvationer.

Exempel 1

Med tanke på följande initialvärde problem

Använd Laplace-transformen för att hitta lösningen.

Vi tillämpar Laplace-transformen på varje medlem i den differentiella ekvationen

Genom egenskapen av omvandlingen av ett derivat vi har

Genom att utveckla allt uttryck och rensa Y (er) vi har

Med hjälp av partiella fraktioner för att skriva om den högra sidan av ekvationen vi får

Slutligen är vårt mål att hitta en funktion y (t) som uppfyller differensekvationen. Att använda den omvända Laplace-transformen ger oss resultatet

Exempel 2

Lösa

Liksom i föregående fall tillämpar vi transformationen på båda sidor av ekvationen och separata term för term.

På detta sätt har vi som resultat

Ersätta med de givna initialvärdena och lösa för Y (er)

Med enkla bråk kan vi skriva om ekvationen enligt följande

Och att tillämpa den omvända Laplace-transformen ger oss resultatet

I dessa exempel kan man felaktigt dra slutsatsen att denna metod inte är mycket bättre än traditionella metoder för att lösa differentiella ekvationer.

Fördelarna med Laplace-transformen är att du inte behöver använda parametervariation eller oroa dig för de olika fallen av den obestämda koefficientmetoden.

Dessutom, när vi löser initialvärdesproblem med denna metod, använder vi från början de initiala villkoren, så det är inte nödvändigt att utföra andra beräkningar för att hitta den specifika lösningen.

System med differentiella ekvationer

Laplace-transformen kan också användas för att hitta lösningar på samtidiga ordinarie differentiella ekvationer, som följande exempel visar.

Exempel

Lösa

Med de initiala villkoren är x (0) = 8 och y (0) = 3.

Om vi ​​måste

Så

Lösning ger oss som ett resultat

Och tillämpa den omvända Laplace-transformen vi har

Mekanik och elektriska kretsar

Laplace-transformen är av stor betydelse inom fysik, den har främst applikationer för mekanik och elektriska kretsar.

En enkel elektrisk krets består av följande element

En omkopplare, ett batteri eller källa, en induktor, ett motstånd och en kondensator. När omkopplaren stängs produceras en elektrisk ström som betecknas med i (t). Laddningen på kondensatorn betecknas med q (t).

Enligt Kirchhoffs andra lag måste spänningen som produceras av källa E i den slutna kretsen vara lika med summan av var och en av spänningsfallen.

Den elektriska strömmen i (t) är relaterad till laddningen q (t) på kondensatorn med i = dq / dt. Å andra sidan definieras spänningsfallet i vart och ett av elementen enligt följande:

Spänningsfallet över ett motstånd är iR = R (dq / dt)

Spänningsfallet över en induktor är L (di / dt) = L (d ² q / dt ² )

Spänningsfallet över en kondensator är q / C

Med dessa data och tillämpning av Kirchhoffs andra lag på den enkla stängda kretsen erhålls en andra ordningsdifferensekvation som beskriver systemet och gör att vi kan bestämma värdet på q (t).

Exempel

En induktor, en kondensator och ett motstånd är anslutna till ett batteri E, som visas på figuren. Induktorn är 2 henry, kondensatorn är 0,02 farad och motståndet är 16 ohm. Vid tiden t = 0 är kretsen stängd. Hitta laddningen och strömmen när som helst t> 0 om E = 300 volt.

Vi har att den differentiella ekvationen som beskriver denna krets är följande

Där de initiala villkoren är q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

Tillämpa Laplace-transformen får vi det

Och lösning för Q (t)

Sedan använder vi den omvända Laplace-transformen vi har

referenser

1. G. Holbrook, J. (1987). Laplace transform för elektronikingenjörer. Limusa.
2. Ruiz, LM, & Hernandez, MP (2006). Differentialekvationer och Laplace-transformation med applikationer. Redaktionell UPV.
3. Simmons, GF (1993). Differentialekvationer med tillämpningar och historiska noter. McGraw-Hill.
4. Spiegel, MR (1991). Laplace förvandlas. McGraw-Hill.
5. Zill, DG, & Cullen, MR (2008). Differentialekvationer med problem med gränsvärden. Cengage Learning Editores, SA