AKUT TRIANGEL: EGENSKAPER OCH TYPER - MATTE - 2026

De akuta trianglarna är de vars tre inre vinklar är akuta vinklar; det vill säga måttet på var och en av dessa vinklar är mindre än 90 ° grader. Genom att inte ha någon rätt vinkel, har vi att Pythagoras teorem inte rymmer för denna geometriska figur.

Därför, om vi vill ha någon typ av information om någon av dess sidor eller vinklar, är det nödvändigt att använda andra teorem som tillåter oss att ha tillgång till nämnda data. De vi kan använda är sinusteoremet och kosinussteoremet.

egenskaper

Bland de egenskaper som denna geometriska figur har, kan vi lyfta fram de som ges av det enkla faktum att vara en triangel. Bland dessa har vi:

- En triangel är en polygon som har tre sidor och tre vinklar.

- Summan av dess tre inre vinklar är lika med 180 °.

- Summan av två av dess sidor är alltid större än den tredje.

Låt oss som exempel titta på följande triangel ABC. På ett allmänt sätt identifierar vi dess sidor med en liten bokstav och dess vinklar med en stor bokstav, på ett sådant sätt att en sida och dess motsatta vinkel har samma bokstav.

Från de redan angivna egenskaperna vet vi att:

A + B + C = 180 °

a + b> c, a + c> b och b + c> a

Huvudfunktionen som skiljer denna typ av triangel från resten är att, som vi redan nämnt, dess inre vinklar är akuta; det vill säga måttet på var och en av dess vinklar är mindre än 90 °.

Akuta trianglar, tillsammans med stötiga trianglar (de där en av deras vinklar har ett mått större än 90 °), är en del av uppsättningen av sneda trianglar. Denna uppsättning består av trianglarna som inte är rätt vinklar.

Eftersom de sneda trianglarna ingår, måste vi kunna lösa problem som involverar akuta trianglar, vi måste använda sinusteoremet och kosinussteoremet.

Sintring

Sinusteoremet berättar att förhållandet mellan en sida och sinus i dess motsatta vinkel är lika med två gånger radien för cirkeln som bildas av de tre topparna i nämnda triangel. Det vill säga:

2r = a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C)

Kosmetisk teorem

Å andra sidan ger kosinussteoremet oss dessa tre jämlikheter för varje triangel ABC:

a ² = b ² + c ² -2bc * cos (A)

b ² = en ² + c ² -2ac * cos (B)

c ² = a ² + b ² -2ab * cos (C)

Dessa teorem är också kända som sinuslagen och kosinuslagen.

En annan egenskap som vi kan ge för de akuta trianglarna är att två av dessa är lika om de uppfyller något av följande kriterier:

- Om de har samma tre sidor.

- Om de har en sida och två lika vinklar mot varandra.

- Om de har två lika sidor och en vinkel.

typer

Akuta trianglar kan klassificeras efter deras sidor. Dessa kan vara:

Liksidiga akuta trianglar

De är de akuta trianglarna som har alla sina sidor lika och därför har alla deras inre vinklar samma värde, vilket är A = B = C = 60 ° grader.

Låt oss som exempel ta följande triangel, vars sidor a, b och c har ett värde på 4.

Isosceles akuta trianglar

Dessa trianglar har, förutom att ha akuta inre vinklar, kännetecknande av att ha två av sina lika sidor och den tredje, som vanligtvis tas som bas, olika.

Ett exempel på denna typ av trianglar kan vara en vars bas är 3 och dess andra två sidor har ett värde av 5. Med dessa mätningar skulle den ha motsatta vinklar mot lika sidor med värdet 72,55 ° och motsatt vinkel på basen skulle vara 34,9 °.

Vågen akuta trianglar

Dessa är trianglarna som alla har olika sidor två för två. Därför skiljer sig alla dess vinklar, förutom att de är mindre än 90 °, från två till två.

Triangeln DEF (vars mått är d = 4, e = 5 och f = 6 och dess vinklar är D = 41,41 °, E = 55,79 ° och F = 82,8 °) är ett bra exempel på en akut triangel oliksidig.

Upplösning av akuta trianglar

Som vi sa tidigare, för att lösa problem med akuta trianglar är det nödvändigt att använda sinus- och kosinus-teorema.

Exempel 1

Med tanke på en triangel ABC med vinklarna A = 30 °, B = 70 ° och sidan a = 5cm, vill vi veta värdet på vinkel C och sidorna b och c.

Det första vi gör är att använda det faktum att summan av de inre vinklarna i en triangel är 180 ° för att få värdet på vinkel C.

180 ° = A + B + C = 30 ° + 70 ° + C = 100 ° + C

Vi rensar C och vi har:

C = 180 ° - 100 ° = 80 °

Eftersom vi redan känner till de tre vinklarna och den ena sidan, kan vi använda sinusteoremet för att bestämma värdet på de återstående sidorna. Genom teoremet har vi:

a / sin (A) = b / sin (B) och a / sin (A) = c / (sin (C)

Vi isolerar b från ekvationen och vi sitter kvar med:

b = (a * sin (B)) / sin (A) ≈ (5 * 0,940) / (0,5) ≈ 9,4

Nu behöver vi bara beräkna värdet på c. Vi fortsätter på samma sätt som i föregående fall:

c = (a * sin (C)) / sin (A) ≈ (5 * 0,998) / (0,5) ≈ 9,84

Således får vi alla data i triangeln. Som vi kan se, faller denna triangel i kategorin av scalen akut triangel.

Exempel 2

Med tanke på en triangel DEF med sidorna d = 4cm, e = 5cm och f = 6cm, vill vi veta värdet på vinklarna på nämnda triangel.

För detta fall kommer vi att använda kosinuslagen, som säger att:

d ² = e ² + f ² - 2efcos (D)

Från denna ekvation kan vi lösa för cos (D), vilket ger oss som resultat:

Cos (D) = ((4) ² - (5) ² - (6) ² ) / (- 2 * 5 * 6) = 0,75

Därför har vi D≈ 41,41 °

Genom att använda senomteoremet har vi följande ekvation:

d / (sin (D) = e / (sin (E)

Lösande för synd (E) har vi:

sin (E) = e * sin (D) / d = (5 * 0,66) / 4 - 0,827

Därför har vi E≈55,79 °

Slutligen, med att summan av de inre vinklarna i en triangel är 180 °, har vi F≈82,8 °.

1. Landaverde, F. d. (1997). Geometri (omtryckt red.). Framsteg.
2. Leake, D. (2006). Trianglar (illustrerad red.). Heinemann-Raintree.
3. Leal G. Juan Manuel. (2003). Planmetrisk geometri CODEPRE
4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometrier. CR-teknik.
5. Sullivan, M. (1997). Trigonometri och analytisk geometri. Pearson Education.