SCALEN TRIANGEL: EGENSKAPER, FORMEL OCH OMRÅDEN, BERÄKNING - MATTE - 2026

En skalen triangel är en polygon med tre sidor, som alla har olika mått eller längder; av den anledningen ges det namnet scalen, som på latin betyder klättring.

Trianglar är polygoner som anses vara de enklaste i geometri, eftersom de består av tre sidor, tre vinklar och tre toppar. När det gäller den skala triangeln, genom att ha alla sidor olika, innebär det att dess tre vinklar kommer att vara för.

Egenskaper hos skala trianglar

Vågen trianglar är enkla polygoner eftersom ingen av deras sidor eller vinklar har samma mått, till skillnad från likben och liksidiga trianglar.

Eftersom alla deras sidor och vinklar har olika mått, betraktas dessa trianglar som oregelbundna konvexa polygoner.

Baserat på amplituden hos de inre vinklarna klassificeras skalade trianglar som:

• Skalens högra triangel : alla sidor är olika. En av dess vinklar är rätt (90 ^eller ) och de andra är skarpa och med olika mått.
• Stump skalad triangel : alla sidor är olika och en av dess vinklar är stöt (> 90 ^eller ).
• Scalene akut triangel : alla sidor är olika. Alla vinklar är akuta (<90 ^eller ) med olika mått.

Ett annat kännetecken för skalade trianglar är att de på grund av inkongruiteten i deras sidor och vinklar inte har en symmetriaxel.

Komponenter

Median : det är en linje som startar från mittpunkten på en sida och når motsatt topp. De tre medianerna möts vid en punkt som kallas barycenter eller centroid.

Halvpartiet : det är en stråle som delar varje vinkel i två lika stora mått. Halvdelarna i en triangel möts vid en punkt som kallas incenteren.

Halvpartiet : det är ett segment vinkelrätt mot triangelns sida, som har sitt ursprung i mitten av den. Det finns tre halvledar i en triangel och de möts vid en punkt som kallas circumcenter.

Höjden : det är linjen som går från toppunktet till den sida som är motsatt och även denna linje är vinkelrätt mot den sidan. Alla trianglar har tre höjder som sammanfaller i en punkt som kallas ortocentret.

Egenskaper

Scalen trianglar definieras eller identifieras eftersom de har flera egenskaper som representerar dem, härrörande från de teorier som föreslagits av stora matematiker. Dom är:

Inre vinklar

Summan av de invändiga vinklarna är alltid lika med 180 ^° .

Summan av sidorna

Summan av måtten på två sidor måste alltid vara större än måtten på den tredje sidan, a + b> c.

Incongruous sidor

Alla sidor av vågen trianglar har olika mått eller längder; det vill säga de är inkongruösa.

Incongruous vinklar

Eftersom alla sidorna på den skaliga triangeln är olika kommer dess vinklar att vara alltför. Summan av de inre vinklarna kommer emellertid alltid att vara lika med 180º, och i vissa fall kan en av dess vinklar vara stöt eller rätt, medan i andra alla dess vinklar är akuta.

Höjd, median, bisector och bisector är inte sammanfallande

Liksom vilken triangel som helst, har scalen olika linjesegment som komponerar den, såsom: höjd, median, bisector och bisector.

På grund av dess sidor är ingen av dessa linjer i denna typ av triangel sammanfallande i en.

Ortocenter, barycenter, incenter och circumcenter är inte en slump

Eftersom höjden, median, bisector och bisector representeras av olika linjesegment, i en skalen triangel kommer mötesplatserna - ortocentret, incenteret och circumcenter - att hittas på olika punkter (de sammanfaller inte).

Beroende på om triangeln är akut, höger eller skalen, har ortocentret olika platser:

till. Om triangeln är akut är ortocentret inne i triangeln.

b. Om triangeln är rätt kommer ortocentret att sammanfalla med höger sida.

c. Om triangeln är stöt, kommer ortocentret att vara på triangelns utsida.

Relativa höjder

Höjderna är relativt sidorna.

När det gäller den scalena triangeln kommer dessa höjder att ha olika mått. Varje triangel har tre relativa höjder och Herons formel används för att beräkna dem.

Hur beräknar man omkretsen?

Polygons omkrets beräknas genom att lägga till sidorna.

Eftersom i det här fallet den skalande triangeln har alla sina sidor med olika mått, är dess omkrets:

P = sida a + sida b + sida c.

Hur beräknar man ytan?

Trianglarnas area beräknas alltid med samma formel, multiplicerar bastidens höjd och delar med två:

Area = (bas _* h) ÷ 2

I vissa fall är höjden på den skala triangeln inte känd, men det finns en formel som föreslogs av matematikern Herón för att beräkna arean som känner till måttet på de tre sidorna av en triangel.

Var:

• a, b och c, representerar triangelns sidor.
• sp, motsvarar triangelns semiperimeter, det vill säga halva omkretsen:

sp = (a + b + c) ÷ 2

I det fall att vi bara har måttet på två av triangelns sidor och vinkeln mellan dem kan området beräknas genom att använda de trigonometriska förhållandena. Så du måste:

Area = (sida _* h) ÷ 2

Där höjden (h) är produkten från en sida och sinus med motsatt vinkel. Till exempel är området för varje sida:

• Area = (b _* c _* sin A) ÷ 2
• Area = (a _* c _* sin B) ÷ 2.
• Area = (a _* b _* sin C) ÷ 2

Hur beräknar man höjden?

Eftersom alla sidor av den skaliga triangeln är olika är det inte möjligt att beräkna höjden med Pythagoras teorem.

Från Herons formel, som är baserad på mätningarna av de tre sidorna av en triangel, kan området beräknas.

Höjden kan rensas från den allmänna formeln för området:

Sidan ersätts av måttet på sidan a, b eller c.

Ett annat sätt att beräkna höjden när värdet på en av vinklarna är känt är att använda de trigonometriska förhållandena, där höjden kommer att representera ett ben i triangeln.

Till exempel, när vinkeln motsatt höjden är känd, kommer den att bestämmas av sinus:

Hur beräknar du sidorna?

När du har måttet på två sidor och vinkeln mittemot dem, är det möjligt att bestämma den tredje sidan genom att tillämpa kosinusteoremet.

Till exempel, i en triangel AB, planeras höjden relativt segment AC. På detta sätt är triangeln uppdelad i två högra trianglar.

För att beräkna sida c (segment AB), applicera Pythagorean teorem för varje triangel:

• För den blå triangeln har vi:

c ² = h ² + m ²

Eftersom m = b - n ersätter vi:

c ² = h ² + b ² (b - n) ²

c ² = h ² + b ² - 2bn + n ² .

• För den rosa triangeln måste du:

h ² = a ² - n ²

Det är ersatt i den föregående ekvationen:

c ² = en ² - n ² + b ² - 2bn + n ²

c ² = a ² + b ² - 2bn.

Vetande om att n = a _* cos C ersätts den i den föregående ekvationen och värdet på sidan c erhålls:

c ² = a ² + b ² - 2b _* en _* cos C.

Genom lagen om kosmetik kan sidorna beräknas som:

• a ² = b ² + c ² - 2b _* c _* cos A.
• b ² = en ² + c ² - 2a _* c _* cos B.
• c ² = a ² + b ² - 2b _* en _* cos C.

Det finns fall där måtten på triangelns sidor inte är kända, utan snarare deras höjd och vinklar som bildas vid topparna. För att bestämma området i dessa fall är det nödvändigt att tillämpa de trigonometriska förhållandena.

Genom att känna till vinkeln på en av dess toppar identifieras benen och motsvarande trigonometriska förhållande används:

Till exempel kommer benet AB att vara motsatt för vinkel C, men intill vinkel A. Beroende på den sida eller det ben som motsvarar höjden rensas den andra sidan för att erhålla värdet på detta.

övningar

Första övningen

Beräkna ytan och en höjd på den skaliga triangeln ABC, medveten om att dess sidor är:

a = 8 cm.

b = 12 cm.

c = 16 cm.

Lösning

Som data anges mätningarna av de tre sidorna av den scalen triangeln.

Eftersom höjdvärdet inte är tillgängligt kan området bestämmas genom att använda Herons formel.

Först beräknas semiperimeter:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) ÷ 2

sp = 36 cm ÷ 2

sp = 18 cm.

Nu ersätts värdena i Herons formel:

Genom att känna till området kan höjden relativt sidan b beräknas. Från den allmänna formeln, rensa den, har vi:

Area = (sida _* h) ÷ 2

46, 47 cm ² = (12 cm _* h) ÷ 2

h = (2 _* 46,47 cm ² ) ÷ 12 cm

h = 92,94 cm ² ÷ 12 cm

h = 7,75 cm.

Andra övningen

Med tanke på den skaliga triangeln ABC, vars mått är:

• Segment AB = 25 m.
• Segment BC = 15 m.

Vid toppunkt B bildas en vinkel på 50º. Beräkna höjden relativt sidan c, omkretsen och ytan för den triangeln.

Lösning

I detta fall har vi mätningarna av två sidor. För att bestämma höjden är det nödvändigt att beräkna mätningen av den tredje sidan.

Eftersom vinkeln motsatt till de givna sidorna ges är det möjligt att tillämpa kosinuslagen för att bestämma måttet på sidan AC (b):

b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B

Var:

a = BC = 15 m.

c = AB = 25 m.

b = AC.

B = 50 ^o .

Uppgifterna ersätts:

b ² = (15) ² + (25) ² - 2 _* (15) _* (25) _* cos 50

b ² = (225) + (625) - (750) _* 0,6427

b ² = (225) + (625) - (482,025)

b ² = 367,985

b = √367,985

b = 19,18 m.

Eftersom vi redan har värdet på de tre sidorna, beräknas triangelns omkrets:

P = sida a + sida b + sida c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59,18 m

Nu är det möjligt att bestämma området genom att använda Herons formel, men först måste halvmätaren beräknas:

sp = P ÷ 2

sp = 59,18 m ÷ 2

sp = 29,59 m.

Mätningarna på sidorna och semiperimeteren ersätts med Herons formel:

Slutligen känner till området, kan höjden relativt sidan c beräknas. Från den allmänna formeln måste du:

Area = (sida _* h) ÷ 2

143,63 m ² = (25 m _* h) ÷ 2

h = (2 _* 143,63 m ² ) ÷ 25 m

h = 287,3 m ² ÷ 25 m

h = 11,5 m.

Tredje övningen

I den skaliga triangeln är ABC-sidan 40 cm, sidan c 22 cm och spetsen A, en vinkel 90 bildas ^eller . Beräkna arean för den triangeln.

Lösning

I detta fall anges måtten på två sidor av den skala triangeln ABC såväl som vinkeln som bildas vid toppunktet A.

För att bestämma området är det inte nödvändigt att beräkna måttet på sida a, eftersom vinkeln genom de trigonometriska förhållandena används för att hitta den.

Eftersom vinkeln motsatt höjden är känd, kommer den att bestämmas av produkten från en sida och vinkelens sinus.

Att ersätta i områdesformeln har vi:

• Area = (sida _* h) ÷ 2
• h = c _* sin A

Area = (b _* c _* sin A) ÷ 2

Yta = (40 cm _* 22 cm _* sin 90) ÷ 2

Yta = (40 cm _* 22 cm _* 1) ÷ 2

Yta = 880 cm ² ÷ 2

Yta = 440 cm ² .

referenser

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Teknisk ritning: aktivitetsanteckningsbok.
2. Ángel Ruiz, HB (2006). Geometrier. CR-teknik ,.
3. Angel, AR (2007). Elementär algebra. Pearson Education,.
4. Baldor, A. (1941). Algebra. Havanna: Kultur.
5. Barbosa, JL (2006). Plan euklidisk geometri. Rio de Janeiro ,.
6. Coxeter, H. (1971). Grundläggande av geometri. Mexiko: Limusa-Wiley.
7. Daniel C. Alexander, GM (2014). Elementargeometri för studenter. Cengage Learning.
8. Harpe, P. d. (2000). Ämnen i geometrisk gruppteori. University of Chicago Press.