TRIANGLAR: HISTORIA, ELEMENT, KLASSIFICERING, EGENSKAPER - VETENSKAP - 2025

De trianglar är platta och slutna geometriska figurer, som består av tre sidor. En triangel bestäms av tre linjer som korsar två och två och bildar tre vinklar med varandra. Den triangulära formen, full av symbolik, finns i otaliga föremål och som ett konstruktionselement.

Triangelns ursprung går förlorat i historien. Från de arkeologiska bevisen är det känt att den primitiva mänskligheten visste det väl, eftersom de arkeologiska resterna bekräftar att det användes i verktyg och vapen.

Figur 1. Trianglar. Källa: Publicdomainpictures.

Det är också uppenbart att de forntida egypterna hade en gedigen kunskap om geometri och i synnerhet den triangulära formen. De återspeglades i de arkitektoniska elementen i dess monumentala byggnader.

I Rhind papyrus hittar du formler för att beräkna områdena av trianglar och trapezoider, samt vissa volymer och andra begrepp för rudimentär trigonometri.

För deras del är det känt att babylonierna kunde beräkna triangelns yta och andra geometriska figurer, som de använde för praktiska ändamål, såsom landets uppdelningar. De var också kunniga om många egenskaper hos trianglar.

Det var emellertid de forntida grekerna som systematiserade många av de geometriska begreppen som rådde idag, även om mycket av denna kunskap inte var exklusiv, eftersom den säkert delades med dessa andra forntida civilisationer.

Triangelelement

Elementen i vilken triangel som helst anges i följande figur. Det finns tre: hörn, sidor och vinklar.

Bild 2. Notering av trianglar och deras element. Källa: Wikimedia Commons, modifierad av F. Zapata

-Vertices : är skärningspunkten mellan linjer vars segment bestämmer triangeln. I figuren ovan skär till exempel linjen L _AC som innehåller segmentet AC skärningslinjen L _AB som innehåller segmentet exakt vid punkt A.

- Sidor : mellan varje par vertikaler dras ett linjesegment som utgör en sida av triangeln. Detta segment kan betecknas med slutbokstäverna eller genom att använda en specifik bokstav för att kalla det. I exemplet i figur 2 kallas sidan AB också "c".

- Vinklar : Mellan varje sida med ett gemensamt toppstycke kommer en vinkel, vars topp är sammanfallande med triangelns. Generellt betecknas vinkeln med en grekisk bokstav, som anges i början.

För att bygga en viss triangel med en viss form och storlek, bara ha en av följande datauppsättningar:

-De tre sidorna, ganska uppenbara när det gäller en triangel.

-Två sidor och vinkeln mellan dem, och omedelbart dras återstående sida.

-Två (inre) vinklar och sidan mellan dem. Som förlängning dras de två saknade sidorna och triangeln är klar.

Notation

I triangelnotation används vanligtvis följande konventioner: vertikaler indikeras med stora bokstäver, sidor med små bokstäver med små bokstäver och vinklar med grekiska bokstäver (se figur 2).

På detta sätt namnges triangeln enligt dess vertikaler. Till exempel är triangeln till vänster i figur 2 triangel ABC, och den till höger är triangel A'B'C.

Det är också möjligt att använda andra notationer; till exempel betecknas vinkeln a i figur 2 som BAC. Observera att toppens bokstav går i mitten och bokstäverna skrivs moturs.

Andra gånger används en caret för att beteckna vinkeln:

a = ∠A

Typer av trianglar

Det finns flera kriterier för klassificering av trianglar. Det vanligaste är att klassificera dem efter måtten på deras sidor eller efter måtten på deras vinklar. Beroende på mått på deras sidor, kan trianglarna vara: skalor, likben eller raka sidor:

-Scaleno : dess tre sidor är olika.

-Isósceles : det har två lika sidor och en annan sida.

-Equilátero : de tre sidorna är lika.

Bild 3. Klassificering av trianglar vid deras sidor. Källa: F. Zapata

Enligt måtten på deras vinklar heter trianglarna så här:

- Hinder , om en av de inre vinklarna är större än 90º.

- Akut vinkel , när triangelns tre inre vinklar är akuta, det vill säga mindre än 90º

- Rektangel , om en av dess inre vinklar är värd 90º. Sidorna som bildar 90º kallas ben och sidan motsatt rätt vinkel är hypotenusen.

Figur 4. Klassificering av trianglar efter deras inre vinklar. Källa: F. Zapata.

Kongruens av trianglar

När två trianglar har samma form och har samma storlek sägs de vara kongruenta. Naturligtvis är kongruens relaterad till jämlikhet, så varför talar geometri om "två kongruenta trianglar" istället för "två lika trianglar"?

Tja, det är föredraget att använda termen "kongruens" för att hålla sig till sanningen, eftersom två trianglar kan ha samma form och storlek, men vara orienterade annorlunda i planet (se figur 3). Med tanke på geometri skulle de inte längre vara desamma.

Bild 5. Congruent trianglar, men inte nödvändigtvis lika, eftersom deras orientering i planet är annorlunda. Källa: F. Zapata.

Kongruens kriterier

Två trianglar är kongruenta om något av följande inträffar:

-De tre sidorna mäter samma (igen är detta det mest uppenbara).

-De har två identiska sidor och med samma vinkel mellan dem.

-Båda har två identiska inre vinklar och sidan mellan dessa vinklar mäter samma.

Som framgår handlar det om att de två trianglarna uppfyller de nödvändiga villkoren så att när de är byggda är deras form och storlek exakt densamma.

Kongruenskriterierna är mycket användbara eftersom i praktiken måste otaliga delar och mekaniska delar tillverkas i serie, så att deras mått och form är exakt desamma.

Likheter mellan trianglar

En triangel liknar en annan om de har samma form, även om de har olika storlekar. För att säkerställa att formen är densamma krävs det att de inre vinklarna har samma värde och att sidorna är proportionella.

Bild 6. Två liknande trianglar: deras storlekar skiljer sig men deras proportioner är desamma. Källa: F. Zapata.

Trianglarna i figur 2 är också lika, liksom de i figur 6. På detta sätt:

När det gäller sidorna har följande likhetsförhållanden:

Egenskaper

De grundläggande egenskaperna för trianglar är följande:

-Summan av de inre vinklarna i en triangel är alltid 180º.

-För en triangel är summan av dess yttre vinklar lika med 360 °.

- En yttervinkel på en triangel är lika med summan av de två inre vinklarna som inte gränsar till nämnda vinkel.

satser

Thales första sats

De tillskrivs den grekiska filosofen och matematikern Thales of Miletus, som utvecklade flera teorem relaterade till geometri. Den första av dem säger följande:

Bild 7. Thales 'teorem. Källa: F. Zapata.

Med andra ord:

a / a´ = b / b´ = c / c´

Thales första teorem är tillämpligt på en triangel, till exempel har vi den blå triangeln ABC till vänster, som skärs av de röda parallellerna till höger:

Bild 8. Thales 'teorem och liknande trianglar.

Den violetta triangeln AB'C 'liknar den blå triangeln ABC, enligt Thales' teorem kan därför följande skrivas:

AB´ / AC´ = AB / AC

Och det är i överensstämmelse med vad som förklarades tidigare i segmentet för likheten mellan trianglar. Förresten, parallella linjer kan också vara vertikala eller parallella med hypotenusen och liknande trianglar erhålls på samma sätt.

Thales andra teorem

Denna sats hänvisar också till en triangel och en cirkel med mitt O, såsom de som visas nedan. I denna figur är AC en diameter på omkretsen och B är en punkt på den, där B skiljer sig från A och B.

Thales andra teorem säger att:

Bild 9. Thales andra teorem. Källa: Wikimedia Commons. Inductiveload.

Pythagoras teorem

Detta är en av de mest kända teoremen i historien. Det beror på den grekiska matematikern Pythagoras i Samos (569 - 475 f.Kr.) och är tillämplig på en rätt triangel. Säger så:

Om vi ​​tar ett exempel på den blå triangeln i figur 8, eller den lila triangeln, eftersom båda är rektanglar, kan det sägas att:

AC ² = AB ² + BC ² (blå triangel)

AC´ ² = AB´ ² + BC´ ² (lila triangel)

Arealet av en triangel

Triangelns area anges av produkten från basen a och höjden h, dividerad med 2. Och med trigonometri kan denna höjd skrivas som h = b sinθ.

Bild 10. Triangelns area. Källa: Wikimedia Commons.

Exempel på trianglar

Exempel 1

Det sägs att med hjälp av hans första teorem lyckades Thales mäta höjden på den stora pyramiden i Egypten, ett av de 7 underverken i den antika världen, genom att mäta skuggan som den projicerade på marken och skuggan projicerad av en stav som drevs i marken.

Detta är en översikt av förfarandet följt av Tales:

Figur 11. Schema för att mäta höjden på den stora pyramiden genom likheter mellan trianglar. Källa: Wikimedia Commons. Dake

Thales antog korrekt att solens strålar slår parallellt. Med detta i åtanke, föreställde han sig den stora högra triangeln till höger.

D är pyramidens höjd och C är avståndet ovanför marken uppmätt från centrum till skuggan som pyramiden kastade på ökenbotten. Det kan vara svårt att mäta C, men det är säkert lättare än att mäta pyramidens höjd.

Till vänster är den lilla triangeln, med benen A och B, där A är höjden på staven som drivs vertikalt i marken och B är skuggan som den kastar. Båda längderna är mätbara, liksom C (C är lika med skuggans längd + halva pyramidens längd).

Så, enligt likheter mellan trianglar:

A / B = D / C

Och höjden på den stora pyramiden visar sig vara: D = C. (A / B)

Exempel 2

Fackverk i civil konstruktion är strukturer tillverkade av tunna raka stänger av trä eller metall korsade, som används som stöd i många byggnader. De är också kända som fackverk, fackverk eller fackverk.

I dem är trianglarna alltid närvarande, eftersom staplarna är sammankopplade vid punkter som kallas noder, som kan fixeras eller ledas.

Bild 12. Triangeln finns i ramen för denna bro. Källa: PxHere.

Exempel 3

Metoden känd som triangulering gör det möjligt att erhålla platsen för otillgängliga punkter med kännedom om andra avstånd som är lättare att mäta, förutsatt att en triangel bildas som inkluderar den önskade platsen mellan dess hörn.

I följande figur vill vi till exempel veta var fartyget befinner sig i havet, betecknat B.

Bild 13. Trianguleringsschema för att lokalisera fartyget. Källa: Wikimedia Commons. Colette

Först mäts avståndet mellan två punkter vid kusten, som i figuren är A och C. Därefter måste vinklarna a och β bestämmas med hjälp av en teodolit, en anordning som används för att mäta vertikala och horisontella vinklar.

Med all denna information är en triangel inbyggd vars övre toppunkt är fartyget. Det återstår att beräkna vinkeln y, med hjälp av egenskaperna för trianglarna och avstånden AB och CB med hjälp av trigonometri, för att bestämma fartygets position i havet.

övningar

Övning 1

I den bild som visas är solens strålar parallella. På detta sätt kastar det 5 meter höga trädet en 6 meter lång skugga på marken. Samtidigt är byggnadens skugga 40 meter. Efter Thales första sats, hitta byggnadens höjd.

Bild 14. Schema för den lösta övningen 1. Källa: F. Zapata.

Lösning

Den röda triangeln har sidor om respektive 6 meter, medan den blå har höjden H - byggnadens höjd - och basen 40 meter. Båda trianglarna liknar därför:

Övning 2

Du måste känna till det horisontella avståndet mellan två punkter A och B, men de är belägna på mycket ojämn mark.

Ungefär vid mittpunkten (P _m ) hos nämnda terräng, ett framträdande av 1,75 meter står högt ut. Om måttbandet indikerar 26 meter i längd mätt från A till framträdande och 27 meter från B till samma punkt, hitta avståndet AB.

Bild 15. Schema för den lösta övningen 2. Källa: Jiménez, R. Mathematics II. Geometri och trigonometri.

Lösning

Pythagoras teorem appliceras på en av de två högra trianglarna i figuren. Börjar med den till vänster:

Hypotenus = c = 26 meter

Höjd = a = 1,75 meter

AP _m = (26 ² - 1,75 ² ) ^1/2 = 25,94 m

Applicera nu Pythagoras på triangeln till höger, denna gång c = 27 meter, a = 1,75 meter. Med dessa värden:

BP _m = (27 ² - 1,75 ² ) ^1/2 = 26,94 m

Avståndet AB hittas genom att lägga till dessa resultat:

AB = 25,94 m + 26,94 m = 52,88 m.

referenser

1. Baldor, JA 1973. Plane and Space Geometry. Centralamerikanska kulturella.
2. Barredo, D. Geometrin för triangeln. Återställd från: ficus.pntic.mec.es.
3. Jiménez, R. 2010. Matematik II. Geometri och trigonometri. Andra upplagan. Pearson.
4. Wentworth, G. Plane Geometry. Återställd från: gutenberg.org.
5. Wikipedia. Triangel. Återställd från: es. wikipedia.org.