TRINOMIAL MED FORMEN X ^ 2 + BX + C (MED EXEMPEL) - MATTE - 2026

Innan man lär sig att lösa trinomialet med formen x ^ 2 + bx + c , och till och med innan man känner till begreppet trinomial, är det viktigt att känna till två väsentliga uppfattningar; nämligen begreppen monomial och polynom. Ett monomial är ett uttryck av typen a * x ⁿ , där a är ett rationellt tal, n är ett naturligt tal och x är en variabel.

Ett polynom är en linjär kombination av monomier av formen a _n * x ⁿ + a _n-1 * x ^n-1 + … + a ₂ * x ² + a ₁ * x + a ₀ , där var och en _i , med i = 0, …, n, är ett rationellt tal, n är ett naturligt tal och a_n är icke-noll. I detta fall sägs graden av polynomet vara n.

Ett polynom bildat av summan av endast två termer (två monomialer) i olika grader kallas binomial.

Trinomials

Ett polynom bildat av summan av endast tre termer (tre monomialer) i olika grader är känt som en trinomial. Följande är exempel på trinomialer:

• x ³ + x ² + 5x
• 2x ^4- x ³ +5
• x ² + 6x + 3

Det finns flera typer av trinomialer. Av dessa sticker den perfekta fyrkantiga trinomialen ut.

Perfekt fyrkantig trinomial

En perfekt fyrkantig trinom är resultatet av att kvadratera en binomial. Till exempel:

• (3x-2) ² = 9x ² -12x + 4
• (2x ³ + y) ² = 4x ⁶ + 4x ³ y + y ²
• (4x ² -2y ⁴ ) ² = 16x ⁴ -16x ² y ⁴ + 4y ⁸
• 1 / 16x ² y ⁸ -1 / 2xy ⁴ z + z ² = (1 / 4xy ⁴ ) ² -2 (1 / 4xy ⁴ ) z + z ² = (1 / 4xy ⁴ -z) ²

Egenskaper för trinomialer av klass 2

Perfekt fyrkant

I allmänhet är ett trinomial av formen axel ² + bx + c ett perfekt kvadrat om diskriminanten är lika med noll; dvs om b ² -4ac = 0, eftersom i detta fall den kommer att ha en enda rot och det kan uttryckas i form av en (xd) ² = (√a (xd)) ² , där d är den redan nämnda rot.

En rot av ett polynom är ett tal där polynomet blir noll; med andra ord, ett tal som, när man ersätter x i det polynomiska uttrycket, resulterar i noll.

Lösande formel

En allmän formel för att beräkna rötterna till en andra grads polynom av formen ax ² + bx + c är upplösningsformeln, som säger att dessa rötter ges av (–b ± √ (b ² -4ac)) / 2a, där b ² -4ac kallas diskriminantanalys och brukar betecknas med Δ. Av denna formel följer att ax ² + bx + c har:

- Två olika verkliga rötter om ∆> 0.

- En enda verklig rot om ∆ = 0.

- Det har ingen riktig rot om ∆ <0.

I det följande kommer endast trinomialer med formen x ² + bx + c att beaktas, där helt klart c måste vara ett annat nummer än noll (annars skulle det vara en binomial). Dessa typer av trinomialer har vissa fördelar vid tillverkning och drift med dem.

Geometrisk tolkning

Geometriskt trinomialpantheraen x ² + bx + c är en parabel som öppnar sig uppåt och har vertex vid punkt (-b / 2, -b ² /4 + c) i kartesiska plan som x ² + bx + c = ( x + b / 2) ² -b ² /4 + c.

Skär denna parabel Y-axeln i punkten (0, c) och X-axeln vid punkterna (d ₁ , 0) och (d ₂ , 0); därefter d ₁ och d ₂ är rötterna till trinomialpantheraen. Det kan hända att trinomialet har en enda rot d, i vilket fall det enda snittet med X-axeln skulle vara (d, 0).

Det kan också hända att trinomialet inte har någon verklig rot, i vilket fall den inte skulle korsa X-axeln vid någon punkt.

Exempelvis är x ² + 6x + 9 = (x + 3) ² -9 + 9 = (x + 3) ² parabolen med topppunkten vid (-3,0), som skär Y-axeln vid (0, 9) och till X-axeln vid (-3,0).

Trinomial factoring

Ett mycket användbart verktyg när man arbetar med polynomier är factoring, som består av att uttrycka ett polynom som en produkt av faktorer. I allmänhet, givet en trinomialpantheraen av formen x ² + bx + c, om den har två olika rötter d ₁ och d ₂ , kan det vägas som (XD ₁ ) (xD ₂ ).

Om den har en enda rot d kan den tas med som (xd) (xd) = (xd) ² , och om den inte har någon verklig rot, lämnas den densamma; i detta fall medger den inte en faktorisering som en produkt av andra faktorer än sig själv.

Detta innebär att, genom att känna till en trinomials rötter i den redan etablerade formen, kan dess faktorisering lätt uttryckas, och som redan nämnts ovan kan dessa rötter alltid bestämmas med hjälp av upplösningen.

Men det finns en betydande mängd av denna typ av trinomialer som kan tas fram utan att först veta deras rötter, vilket förenklar arbetet.

Rötterna kan bestämmas direkt från faktoriseringen utan att använda upplösningsformeln; dessa är polynomema med formen x ² + (a + b) x + ab. I det här fallet har vi:

x ² + (a + b) x + ab = x ² + ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).

Av detta ser man lätt att rötterna är –a och –b.

Med andra ord, med tanke på en trinomial x ² + bx + c, om det finns två siffror u och v så att c = uv och b = u + v, då x ² + bx + c = (x + u) (x + v).

Det vill säga, med tanke på en trinomial x ² + bx + c, kontrolleras det först om det finns två siffror så att multipliceras de ger det oberoende uttrycket (c) och läggs till (eller subtraheras, beroende på fall), de ger termen som åtföljer x ( b).

Inte med alla trinomer på detta sätt kan denna metod tillämpas; där det inte är möjligt, används upplösningen och det ovan nämnda gäller.

exempel

Exempel 1

Följ följande trinomial x ² + 3x + 2:

Du måste hitta två siffror så att när du lägger till dem är resultatet 3 och att när du multiplicerar dem är resultatet 2.

Efter en inspektion kan man dra slutsatsen att de sökta numren är: 2 och 1. Därför är x ² + 3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

Exempel 2

För att faktorera trinomialet x ² -5x + 6 letar vi efter två siffror vars summa är -5 och deras produkt är 6. Siffrorna som uppfyller dessa två villkor är -3 och -2. Därför är faktoriseringen av det givna trinomet x ² -5x + 6 = (x-3) (x-2).

referenser

1. Fuentes, A. (2016). GRUNDLÄGGANDE MATH. En introduktion till kalkyl. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematik: kvadratiska ekvationer: Hur löser en kvadratisk ekvation. Marilù Garo.
3. Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Matematik för ledning och ekonomi. Pearson Education.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematik 1 SEP. Tröskel.
5. Preciado, CT (2005). Matematikskurs 3: e. Redaktörsprogreso.
6. Rock, NM (2006). Algebra I Is Easy! Så enkelt. Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algebra och trigonometri. Pearson Education.