VEKTOR: EGENSKAPER OCH EGENSKAPER, ELEMENT, TYPER, EXEMPEL - VETENSKAP - 2025

De vektorer är matematiska enheter som har en allmänt åtföljs av en mätenhet -positiva- storlek och riktning också. Sådana egenskaper är mycket lämpliga för att beskriva fysiska mängder som hastighet, kraft, acceleration och många fler.

Med vektorer är det möjligt att utföra operationer som tillägg, subtraktion och produkter. Uppdelning är inte definierad för vektorer och vad gäller produkten, det finns tre klasser som vi kommer att beskriva senare: prickprodukt eller punkt, vektorprodukt eller korsning och produkt av en skalär av en vektor.

Figur 1. Elementen i en vektor. Källa: Wikimedia Commons.

För att fullständigt beskriva en vektor måste alla dess egenskaper anges. Storleken eller modulen är ett numeriskt värde åtföljt av en enhet, medan riktningen och känslan fastställs med hjälp av ett koordinatsystem.

Låt oss titta på ett exempel: anta att ett flygplan flyger från en stad till en annan med en hastighet av 850 km / h i NE-riktning. Här har vi en helt specificerad vektor, eftersom storleken är tillgänglig: 850 km / h, medan riktningen och känslan är NE.

Vektorer representeras vanligtvis grafiskt av orienterade linjesegment, vars längd är proportionell mot storleken.

För att specificera riktningen och känslan krävs en referenslinje, som vanligtvis är den horisontella axeln, även om norr också kan tas som referens, så är fallet med planetens hastighet:

Figur 2. En hastighetsvektor. Källa: F. Zapata.

Figuren visar planetets hastighetsvektor, betecknad som v i fetstil , för att skilja det från en skalmängd, som endast kräver ett numeriskt värde och en enhet som ska specificeras.

Element av en vektor

Som vi har sagt är elementen i vektorn:

-Magnitude eller modul, ibland även kallad vektorns absoluta värde eller norm.

-Adress

-Känsla

I exemplet i figur 2 är modulen för v 850 km / h. Modulen betecknas som v utan fetstil, eller som - v -, där staplarna representerar det absoluta värdet.

Riktningen för v anges relativt Nord. I det här fallet är det 45º norr om öst (45 º NE). Slutligen informerar pilens spets om känslan av v .

I detta exempel har vektorns ursprung dragits sammanfallande med koordinatsystemets ursprung O, detta är känt som en länkad vektor. Å andra sidan, om ursprunget till vektorn inte sammanfaller med referenssystemets ursprung, sägs det vara en fri vektor.

Det bör noteras att för att fullständigt specificera vektorn måste dessa tre element noteras, annars skulle beskrivningen av vektorn vara ofullständig.

Rektangulära komponenter i en vektor

Figur 3. Rektangulära komponenter i en vektor i planet. Källa: Wikimedia Commons. uranther

I bilden har vi tillbaka vårt exempelvektor v , som är i xy-planet.

Det är lätt att se att utsprången på v på x- och y-koordinataxlarna bestämmer en rätt triangel. Dessa projektioner är v _{y och} v _x och kallas rektangulära komponenter av v .

Ett sätt att beteckna v med dess rektangulära komponenter är så här: v =x, v _och >. Dessa parenteser används istället för parenteser för att betona att det är en vektor och inte en period, eftersom i detta fall parenteser skulle användas.

Om vektorn är i tredimensionellt utrymme behövs ytterligare en komponent, så att:

v =x, v _y , v _z >

Att känna till de rektangulära komponenterna storleken av vektorn beräknas, motsvarande finna hypotenusan i den rätvinkliga triangeln, vars ben är v _x och v _{och ,.} Med hjälp av den Pythagorese teorem följer det att:

Polar form av en vektor

När storleken på vektorn - v - och vinkeln θ som den gör med referensaxeln, generellt den horisontella axeln, är känd, anges också vektorn. Vektorn sägs sedan uttryckas i polär form.

De rektangulära komponenterna i detta fall beräknas lätt:

Enligt ovanstående skulle de rektangulära komponenterna hos hastighetsvektorn v i planet vara:

typer

Det finns flera typer av vektorer. Det finns vektorer med hastighet, position, förskjutning, kraft, elektriskt fält, fart och många fler. Som vi redan har sagt finns det inom fysiken ett stort antal vektorkvantiteter.

När det gäller vektorer som har vissa egenskaper kan vi nämna följande typer av vektorer:

-Null : detta är vektorer vars storlek är 0 och som betecknas som 0. Kom ihåg att den djärva bokstaven symboliserar de tre grundläggande egenskaperna hos en vektor, medan den normala bokstaven endast representerar modulen.

Till exempel, på en kropp i statisk jämvikt måste summan av krafter vara en nollvektor.

- Fria och länkade : fria vektorer är de vars ursprungspunkter och ankomstpunkter är alla punkter i planet eller rymden, till skillnad från länkade vektorer, vars ursprung sammanfaller med referenssystemet som används för att beskriva dem.

Paret eller ögonblicket som produceras av ett par krafter är ett bra exempel på en fri vektor, eftersom paret inte gäller någon specifik punkt.

- Equipolentes : de är två fria vektorer som har identiska egenskaper. Därför har de samma storlek, riktning och mening.

- Coplanar eller coplanar : vektorer som tillhör samma plan.

- Motsatser : vektorer med samma storlek och riktning, men motsatta riktningar. Vektoren mittemot en vektor v är vektorn - v och summan av båda är nollvektorn: v + (- v ) = 0 .

- Samtidigt : vektorer vars handlinjer passerar genom samma punkt.

- Skjutreglage : är de vektorer vars applikationspunkt kan glida längs en viss linje.

- Collinear : vektorer som finns på samma linje.

- Unitary : de vektorer vars modul är 1.

Ortogonala enhetsvektorer

Det finns en mycket användbar typ av vektor i fysik som kallas en ortogonal enhetsvektor. Den ortogonala enhetsvektorn har en modul lika med 1 och enheterna kan vara vilken som helst, till exempel de med hastighet, position, kraft eller andra.

Det finns en uppsättning specialvektorer som hjälper till att enkelt representera andra vektorer och utföra operationer med dem: de är de ortogonala enhetsvektorerna i , j och k , enhet och vinkelrätt mot varandra.

I två dimensioner riktas dessa vektorer längs den positiva riktningen för både x-axeln och y-axeln. Och i tre dimensioner läggs en enhetsvektor i riktningen för den positiva z-axeln. De representeras enligt följande:

i = <1, 0,0>

j = <0,1,0>

k = <0,0,1>

En vektor kan representeras av enhetsvektorerna i , j och k enligt följande:

v = v _x i + v _y j + v _z k

Till exempel kan hastighetsvektorn v i de föregående exemplen skrivas som:

v = 601,04 i + 601,04 j km / h

Komponenten i k är inte nödvändig, eftersom denna vektor är i planet.

Vector tillägg

Summan av vektorer visas mycket ofta i olika situationer, till exempel när du vill hitta den resulterande kraften på ett objekt som påverkas av olika krafter. För att börja, anta att vi har två fria vektorer u och v på planet, som visas i följande bild till vänster:

Figur 4. Grafisk summa av två vektorer. Källa: Wikimedia Commons. Lluc cabanach.

Den överförs omedelbart noggrant till vektorn v , utan att ändra dess storlek, riktning eller känsla, så att dess ursprung sammanfaller med slutet av u .

Vektorsumman kallas w och dras med början från u som slutar i v , enligt rätt figur. Det är viktigt att notera att storleken på vektorn w inte nödvändigtvis är summan av storleken på v och u .

Om du tänker på det noggrant, är den enda gången storleken på den resulterande vektorn summan av storleken på tillsatserna när båda tilläggarna är i samma riktning och har samma mening.

Och vad händer om vektorerna inte är fria? Det är också mycket lätt att lägga till dem. Sättet att göra det är genom att lägga till komponent till komponent, eller analysmetod.

Låt oss som exempel betrakta vektorerna i följande figur, det första är att uttrycka dem på ett av de kartesiska sätt som tidigare förklarats:

Figur 5. Summan av två länkade vektorer. Källa: Wikimedia Commons.

v = <5.1>

u = <2,3>

För att erhålla x-komponenten i summan vektorn w , lägg till respektive x-komponenter av v och u : w _x = 5 + 2 = 7. Och för att erhålla w _y ett analogt förfarande följs: w _y = 1 + 3. Således:

u = <7.4>

Egenskaper för vektortillsats

-Summan på två eller flera vektorer resulterar i en annan vektor.

-Det är kommutativt, tilläggens ordning ändrar inte summan, så att:

u + v = v + u

- Det neutrala elementet i summan av vektorer är nollvektorn: v + 0 = v

- Subtraktionen av två vektorer definieras som summan av motsatsen: v - u = v + (-u)

Vektorexempel

Som vi har sagt finns det många vektorkvantiteter i fysiken. Bland de mest kända är:

-Placera

-Förflyttning

- Genomsnittlig hastighet och omedelbar hastighet

-Acceleration

-Tvinga

-Massa av rörelse

-Tork eller ögonblick för en kraft

-Impuls

-Elektriskt fält

-Magnetiskt fält

-Magnetiskt ögonblick

Å andra sidan är de inte vektorer utan skalar:

-Väder

-Massa

-Temperatur

-Volym

-Densitet

-Mekaniskt arbete

-Energi

-Varm

-Kraft

-Spänning

-Elektrisk ström

Andra operationer mellan vektorer

Förutom tillägg och subtraktion av vektorer finns det tre andra mycket viktiga operationer mellan vektorer, eftersom de ger upphov till nya mycket viktiga fysiska mängder:

-Produktion av en skalär av en vektor.

-Punktsprodukten eller prickprodukten mellan vektorer

-Och kors- eller vektorprodukten mellan två vektorer.

Produkt av en skalar och en vektor

Tänk Newtons andra lag, som säger att kraften F och accelerationen a är proportionella. Proportionalitetskonstanten är objektets massa m, därför:

F = m. till

Mass är en skala; för sin del är kraft och acceleration vektorer. Eftersom kraft erhålls genom att multiplicera massa genom acceleration är det resultatet av produkten av en skalar och en vektor.

Denna typ av produkt resulterar alltid i en vektor. Här är ett annat exempel: mängden rörelse. Låt P vara fartygsvektorn, v hastighetsvektorn, och som alltid är m massan:

P = m. v

Prickprodukt eller prickprodukt mellan vektorer

Vi har placerat mekaniskt arbete på listan över mängder som inte är vektorer. Arbete inom fysik är emellertid resultatet av en operation mellan vektorer som kallas skalprodukt, inre produkt eller prickprodukt.

Låt vektorerna v och u , definiera punkten eller skalprodukten mellan dem som:

v ∙ u = - v - ∙ - u -.cos θ

Där θ är vinkeln mellan de två. Från den visade ekvationen följer det omedelbart att resultatet av punktprodukten är en skalär och också att om båda vektorerna är vinkelräta är deras punktprodukt 0.

Tillbaka till mekaniskt arbete W är detta den skalära produkten mellan kraftvektorn F och förskjutningsvektorn ℓ .

När vektorer är tillgängliga med avseende på deras komponenter är punktprodukten också mycket lätt att beräkna. Om v =x, v _y , v _z > y u =x, u _y , u _z >, punktprodukten mellan de två är:

v ∙ u = v _x u _x + v _y u _y + v _z u _z

Punktprodukten mellan vektorer är kommutativ, därför:

v ∙ u = u ∙ v

Korsa produkt eller vektorprodukt mellan vektorer

Om v och u är våra två exempelvektorer definierar vi vektorprodukten som:

v x u = w

Det följer omedelbart att korsprodukten resulterar i en vektor vars modul definieras som:

Där θ är vinkeln mellan vektorerna.

Korsprodukten är inte kommutativ, därför v x u ≠ u x v. Faktum är att v x u = - (u x v).

Om de två exempelvektorerna uttrycks i termer av enhetsvektorer underlättas beräkningen av vektorprodukten:

v = v _x i + v _y j + v _z k

u = u _x i + u _y j + u _z k

Korsa produkter mellan enhetsvektorer

Korsprodukten mellan identiska enhetsvektorer är noll eftersom vinkeln mellan dem är 0º. Men mellan olika enhetsvektorer är vinkeln mellan dem 90º och sin 90º = 1.

Följande diagram hjälper till att hitta dessa produkter. I pilens riktning har den en positiv riktning och i motsatt riktning negativ:

i x j = k, j x k = i; k x i = j; j x i = -k; k x j = -i; i x k = -j

Att tillämpa den distribuerande egenskapen, som fortfarande är giltig för produkterna mellan vektorer plus egenskaperna hos enhetsvektorer, har vi:

v x u = (v _x i + v _y j + v _z k ) x (u _x i + u _y j + u _z k ) =

Lösta övningar

- Övning 1

Med tanke på vektorerna:

v = -5 i + 4 j + 1 k

u = 2 i -3 j + 7 k

Vad måste vektorn w vara för att summan v + u + w ska vara 6 i +8 j -10 k ?

Lösning

Därför måste det uppfyllas att:

Svaret är: w = 9 i +7 j - 18 k

- Övning 2

Vilken är vinkeln mellan vektorerna v och u i övning 1?

Lösning

Vi kommer att använda punktprodukten. Från definitionen har vi:

v ∙ u = -10 -12 + 7 = -15

Att ersätta dessa värden:

referenser

1. Figueroa, D. (2005). Serie: Fysik för vetenskap och teknik. Volym 1. Kinematik. Redigerad av Douglas Figueroa (USB).
2. Giancoli, D. 2006. Physics: Principles with Applications. 6:e. Ed Prentice Hall.
3. Rex, A. 2011. Fundamentals of Physics. Pearson.
4. Sears, Zemansky. 2016. Universitetsfysik med modern fysik. 14:e. Utg. Volym 1.
5. Serway, R., Jewett, J. 2008. Physics for Science and Engineering. Volym 1. 7. Ed. Cengage Learning.