SAMTIDIGA VEKTORER: EGENSKAPER, EXEMPEL OCH ÖVNINGAR - MATTE - 2024

De samtidiga vektorer är vektorer grupper vars axlar sammanfaller vid en punkt, som bildar mellan varje par av inre och yttre annan vinkel. Ett tydligt exempel ses i figuren nedan, där A, B och C är vektorer samtidigt.

D och E till skillnad från resten inte. Det finns vinklar mellan de samtidiga vektorerna AB, AC och CB. De kallas förhållandevinklar mellan vektorerna.

egenskaper

-De har en gemensam punkt som sammanfaller med deras ursprung: alla storleken på samtidiga vektorer börjar från en gemensam punkt till respektive ändar.

- Ursprunget betraktas som vektorns handlingspunkt: en handlingspunkt måste upprättas som kommer att påverkas direkt av var och en av samtidiga vektorer.

-Ditt domän i planet och rymden är R ² respektive R ³ : samtidiga vektorer är fria att täcka hela det geometriska utrymmet.

-Låter olika notationer i samma grupp av vektorer. Enligt grenarna på studien finns olika notationer när det gäller operationer med vektorer.

Typer av vektorer

Vektorgrenen har flera underavdelningar, bland några kan de benämnas: parallell, vinkelrät, coplanar, motsvarande, motsatt och enhetlig. Samtidiga vektorer listas här, och som alla de som nämns ovan har de många applikationer inom olika vetenskaper.

De är mycket vanliga i studien av vektorer, eftersom de representerar en användbar generalisering i operationerna med dem. Både i planet och i rymden används samtidigt vektorer för att representera olika element och studera deras inflytande på ett visst system.

Vector notation

Det finns flera sätt att representera ett vektorelement. De viktigaste och mest kända är:

cartesianska

Föreslagen med samma matematiska metod, betecknar den vektorerna med en trippel motsvarande storleken på varje axel (x, y, z)

A: (1, 1, -1) Utrymme A: (1, 1) Plan

Polär

De tjänar endast för att beteckna vektorer i planet, även om det i den integrerade kalkylen tilldelas djupkomponenten. Den är sammansatt med en linjär storlek r och en vinkel i förhållande till den polära axeln Ɵ.

A: (3, 45 ⁰ ) Plan A: (2, 45 ⁰ , 3) Utrymme

Analytisk

De definierar storleken på vektorn med hjälp av versores. Versoresna (i + j + k) representerar enhetsvektorerna motsvarande axlarna X, Y och

A: 3i + 2j - 3k

Sfärisk

De liknar polär notation, men med tillägget av en andra vinkel som sveper över xy- planet symboliserat med δ.

A: (4, 60 ^eller , π / 4)

Samtidiga vektoroperationer

Samtidiga vektorer används mest för att definiera operationer mellan vektorer, eftersom det är lättare att jämföra elementen i vektorer när de presenteras samtidigt.

Summa (A + B)

Summan av samtidiga vektorer syftar till att hitta den resulterande vektorn V _r . Vilket enligt granskningen motsvarar en slutlig åtgärd

Till exempel: 3 strängar {A, B, C} är bundna till en ruta, varje ände av strängen hålls av ett ämne. Var och en av de tre försökspersonerna måste dra repet i en annan riktning än de andra 2.

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz) C: (cx, cy, cz)

A + B + C = (ax + bx + cx; ay + med + cy; az + bz + cz) = V _r

Lådan kan bara röra sig i en riktning, därför anger V _r riktning och riktning för lådans rörelse.

Skillnad (A - B)

Det finns många kriterier för skillnaden mellan vektorer, många författare väljer att utesluta det och säger att endast summan mellan vektorerna är angivna, där skillnaden är ungefär summan av motsatt vektor. Sanningen är att vektorer kan subtraheras algebraiskt.

A: (yxa, ay, az) B: (bx, av, bz)

A - B = A + (-B) = (ax-bx; ay-by; az-bz) =

Scalar produkt (A. B)

Även känd som en punktprodukt genererar den ett skalvärde som kan relateras till olika storlekar beroende på studiens gren.

För geometri, ange området för parallellogrammet som bildas av paret samtidiga vektorer genom parallellogrammetoden. För mekanisk fysik definierar det arbetet som utförs av en kraft F när man flyttar en kropp ett avstånd Δr.

ѡ = F . Ar

Som namnet indikerar genererar det ett skalvärde och definieras enligt följande:

Låt vektorerna A och B vara

A: (yxa, ay, az) B: (bx, av, bz)

-Analytisk form:

(A. B) = -A -.- B-.Cos θ

Där θ är den inre vinkeln mellan båda vektorerna

-Algebraisk form:

(A. B) = (ax.bx + ay.by + az.bz)

Korsprodukt (A x B)

Vektorprodukten eller skalärprodukt mellan två vektorer, definierar tredjedel vektor C har samma kvalitet som är vinkelrät mot B och C . I fysiken är vridmomentvektorn t baselementet i rotationsdynamiken.

-Analytisk form:

- A x B - = -A -.- B-.Sen θ

-Algebraisk form:

(A x B) = = (ax. By - ay. Bx) - (ax. Bz - az. Bx) j + (ax. By - ay. Bx) k

-Relativ rörelse: r _{A / B}

Relativitetsbasen är relativ rörelse och samtidiga vektorer är grunden för relativ rörelse. Relativa positioner, hastigheter och accelerationer kan härledas genom att tillämpa följande idéordning.

r _{A / B} = r _A - r _B ; A: s relativa ställning gentemot B

v _{A / B} = v _A - v _B ; Relativ hastighet för A med avseende på B

a _{A / B} = a _A - a _B ; Relativ acceleration av A med avseende på B

Exempel: lösta övningar

Övning 1

Låt A, B och C vara samtidiga vektorer.

A = (-1, 3, 5) B = (3, 5, -2) C = (-4, -2, 1)

-Definiera den resulterande vektorn V _r = 2A - 3B + C

2A = (2 (-1), 2 (3), 2 (5)) = (-2, 6, 10)

-3B = (-3 (3), -3 (5), -3 (-2)) = (-9, -15, 6)

V _r = 2A + (-3b) + C = (-2, 6, 10) + (-9, -15, 6) + (-4, -2, 1)

V _r = (;; (10 + 6 + 1))

V _r = (-15, -11, 17)

-Definiera punktprodukten (A. C)

(A.C) = (-1, 3, 5). (-4, -2, 1) = (-1) (-4) + 3 (-2) + 5 (1) = 4 - 6 + 5

(A.C) = 3

- Beräkna vinkeln mellan A och C

(A. C) = -A -.- C-. Cos θ Där θ är den kortaste vinkeln mellan vektorerna

θ = 88,63 ⁰

-Find en vektor vinkelrätt mot A och B

För detta är det nödvändigt att definiera vektorprodukten mellan (-1, 3, 5) och (3, 5, -2). Såsom förklarats tidigare konstrueras en 3 x 3-matris där den första raden består av trippelenhetsvektorerna (i, j, k). Sedan består den andra och den tredje raden av vektorerna för att arbeta med respekt för den operativa ordningen.

(A x B) = = i - j + k

(A x B) = (-5 - 9) I - (2 - 15) j + (-5 - 9) k

(A x B) = - 14 I + 13 j - 14 k

Övning 2

Låt V _a och V _{b vara} hastighetsvektorerna för A och B respektive. Beräkna hastigheten för B sett från A.

V _a = (3, -1, 5) V _b = (2, 5, -3)

I detta fall begärs den relativa hastigheten för B i förhållande till A V _{B / A}

V _{B / A} = V _B - V _A

V _{B / A} = (2, 5, -3) - (3, -1, 5) = (-1, 6, -8)

Detta är hastighetsvektorn för B sett från A. Där en ny vektor med hastigheten för B beskrivs med referens från en observatör placerad vid A och rör sig med hastigheten på A.

Föreslagna övningar

1-konstruera 3 vektorer A, B och C som är samtidiga och relaterar 3 operationer mellan dem genom en praktisk övning.

2-Låt vektorerna A: (-2, 4, -11), B: (1, -6, 9) och C: (-2, -1, 10). Hitta vektorer vinkelräta mot: A och B, C och B, summan A + B + C.

4-Bestäm 3 vektorer som är vinkelräta mot varandra utan att ta hänsyn till koordinataxlarna.

5-Definiera arbetet som utförs av en kraft som lyfter ett block med massa 5 kg, från botten av en 20m djup.

6-Visa algebraiskt att subtraktionen av vektorer är lika med summan av den motsatta vektorn. Motivera dina postulat.

7-Beteckna en vektor i alla notationer som utvecklats i den här artikeln. (Kartesisk, polär, analytisk och sfärisk).

8-De magnetiska krafterna som utövas på en magnet som vilar på ett bord ges av följande vektorer; V: (5, 3, -2), T: (4, 7, 9), H: (-3, 5, -4). Bestäm i vilken riktning magneten kommer att röra sig om alla magnetiska krafter verkar samtidigt.

referenser

1. Euklidisk geometri och transformationer. Clayton W. Dodge. Courier Corporation, 1 jan 2004
2. Hur man löser tillämpade matematikproblem L. Moiseiwitsch. Courier Corporation, 10 april 2013
3. Grundläggande begrepp för geometri. Walter Prenowitz, Meyer Jordan. Rowman & Littlefield, 4 okt. 2012
4. Vektorer. Rocío Navarro Lacoba, 7 juni. 2014
5. Linjär algebra. Bernard Kolman, David R. Hill. Pearson Education, 2006