CONJUGATE BINOMIAL: HUR MAN LÖSER DET, EXEMPEL, ÖVNINGAR - MATTE - 2026

En konjugerad binomial av en annan binomial är en där de endast differentieras av ett tecken på operationen. Binomialen är, som namnet antyder, en algebraisk struktur som består av två termer.

Några exempel på binomialer är: (a + b), (3m - n) och (5x - y). Och deras respektive konjugerade binomialer är: (a - b), (-3m - n) och (5x + y). Som man kan se omedelbart är skillnaden i skylten.

Bild 1. En binomial och dess konjugerade binomial. De har samma villkor, men skiljer sig i tecken. Källa: F. Zapata.

En binomial multiplicerad med dess konjugat resulterar i en anmärkningsvärd produkt som används allmänt inom algebra och vetenskap. Resultatet av multiplikationen är subtraktionen av kvadraterna för termerna i den ursprungliga binomialen.

Till exempel är (x - y) en binomial och dess konjugat är (x + y). Så produkten av de två binomialerna är skillnaden mellan kvadraternas termer:

(x - y) (x + y) = x. ² - y ²

Hur löser du en konjugerad binomial?

Den angivna regeln för konjugerade binomialer är följande:

Som ett applikationsexempel kommer vi att börja med att visa föregående resultat, vilket kan göras med hjälp av produktens distribuerande egenskap med avseende på den algebraiska summan.

(x - y) (x + y) = xx + xy - yx - ååå

Ovanstående multiplikation erhölls genom att följa dessa steg:

- Den första termen i den första binomialen multipliceras med den första termen i den andra

- Sedan den första av den första, för den andra av den andra

- Sedan den andra av den första av den första av den andra

- Slutligen den andra av den första av den andra av den andra.

Låt oss nu göra en liten förändring med kommutativa egenskaper: yx = xy. Det ser ut så här:

(x - y) (x + y) = xx + xy - xy - ååå

Eftersom det finns två lika termer men med motsatt tecken (markerad i färg och understruket), avbryts de och det förenklas:

(x - y) (x + y) = xx - ååå

Slutligen tillämpas det att multiplicera ett tal i sig motsvarar att höja det till fyrkanten, så att xx = x ² och även yy = y ² .

På detta sätt demonstreras vad som anges i föregående avsnitt, att produkten av en summa och dess skillnad är skillnaden mellan rutorna:

(x - y) (x + y) = x. ² - y ²

Figur 2. En summa gånger dess skillnad är en skillnad i kvadrater. Källa: F. Zapata.

exempel

- Konjugerade binomialer av olika uttryck

Exempel 1

Hitta konjugatet av (y ² - 3y).

Svar : (y ² + 3y)

Exempel 2

Skaffa produkten av (y ² - 3y) och dess konjugat.

Svar: (y ² - 3y) (y ² + 3y) = (y ² ) ² - (3y) ² = y ⁴ - 3 ² y ² = y ⁴ - 9y ²

Exempel 3

Utveckla produkten (1 + 2a). (2a -1).

Svar: det föregående uttrycket motsvarar (2a + 1). (2a -1), det vill säga, det motsvarar produkten från en binomial och dess konjugat.

Det är känt att produkten av en binomial med dess konjugerade binomial är lika med skillnaden mellan kvadraterna för termerna i binomialen:

(2a + 1) (2a -1) = (2a) ² - 1 ² = 4 a ² - 1

Exempel 4

Skriv produkten (x + y + z) (x - y - z) som kvadratskillnad.

Svar: vi kan anpassa ovanstående trinomialer till den konjugerade binomialformen och använda försiktigt parenteser och fyrkantiga parenteser:

(x + y + z) (x - y - z) =

På detta sätt kan skillnaden mellan rutor tillämpas:

(x + y + z) (x - y - z) =. = x ² - (y + z) ²

Exempel 5

Uttrycka produkten (m ² - m -1). (M ² + m -1) som en skillnad på kvadrater.

Svar : det föregående uttrycket är produkten av två trinomer. Det måste först skrivas om som produkten av två konjugerade binomialer:

(m ² - m -1) (m ² + m -1) = (m ² - 1 - m) (m ² -1 + m) =.

Vi tillämpar det faktum att produkten från en binomial med dess konjugat är den kvadratiska skillnaden i dess termer, som förklarats:

. = (M ² -1) ² - m ²

övningar

Som alltid börjar du med de enklaste övningarna och ökar sedan komplexiteten.

- Övning 1

Skriv (9 - till ² ) som en produkt.

Lösning

Först skriver vi om uttrycket som en skillnad i kvadrater för att tillämpa det som tidigare förklarats. Således:

(9 - a ² ) = (3 ² - a ² )

Nästa faktor vi, vilket motsvarar att skriva denna skillnad i rutor som en produkt, som begärs i uttalandet:

(9 - a ² ) = (3 ² - a ² ) = (3 + a) (3-a)

- Övning 2

Faktor 16x ² - 9 år ⁴ .

Lösning

Att faktorisera ett uttryck betyder att skriva det som en produkt. I det här fallet är det nödvändigt att tidigare skriva om uttrycket för att få en kvadratskillnad.

Det är inte svårt att göra detta, eftersom man ser noggrant på alla faktorer är perfekta rutor. Exempelvis 16 är kvadraten på fyra, är 9 kvadraten på 3, och ⁴ är kvadraten på y ² och x ² är kvadraten på x:

16x ² - 9 år ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² (y ² ) ²

Sedan tillämpar vi det vi redan vet tidigare: att en skillnad i kvadrater är produkten av konjugerade binomialer:

(4x) ² - (3 och ² ) ² = (4x - 3 och ² ). (4x + 3 och ² )

- Övning 3

Skriv (a - b) som en produkt av binomialer

Lösning

Ovanstående skillnad ska skrivas som kvadratdifferenser

(√a) ² - (√b) ²

Sedan tillämpas att skillnaden i kvadrater är produkten från de konjugerade binomialerna

(√a - √b) (√a + √b)

- Övning 4

En av användningarna av den konjugerade binomialen är rationaliseringen av algebraiska uttryck. Denna procedur består av att eliminera rötter till nämnaren för ett bråk uttryck, vilket i många fall underlättar operationerna. Det uppmanas att använda den konjugerade binomialen för att rationalisera följande uttryck:

√ (2-x) /

Lösning

Det första är att identifiera nämnarens konjugerade binomial :.

Nu multiplicerar vi räknaren och nämnaren för det ursprungliga uttrycket med den konjugerade binomialen:

√ (2-x) / {.}

I nämnaren för det föregående uttrycket känner vi igen produkten av en skillnad med en summa, som vi redan vet motsvarar skillnaden mellan kvadraterna i binomialerna:

√ (2-x). / {(√3) ² - ² }

Förenkla nämnaren är:

√ (2-x). / = √ (2-x). / (1 - x)

Nu handlar vi med täljaren, för vilken vi kommer att tillämpa produktens fördelningsegenskap med avseende på summan:

√ (2-x). / (1 - x) = √ (6-3x) + √ / (1 - x)

I det föregående uttrycket känner vi igen produkten från binomialen (2-x) genom dess konjugat, som är den anmärkningsvärda produkten lika med skillnaden i kvadrater. På detta sätt erhålls slutligen ett rationaliserat och förenklat uttryck:

/ (1 - x)

- Övning 5

Utveckla följande produkt med hjälp av egenskaperna hos den konjugerade binomialen:

.

Lösning

4a ^{(2x + 6y)} - 9a ^{(2x - 6y)} = 4a ^(2x) .a ^(6y) - 9a ^(2x) .a ^(-6y) = .a ^(2x)

Den uppmärksamma läsaren kommer att ha märkt den gemensamma faktorn som har lyfts fram i färg.

referenser

1. Baldor, A. 1991. Algebra. Redaktionell kulturell Venezolana SA
2. González J. konjugerade binomiala övningar. Återställd från: akademia.edu.
3. Matematiklärare Alex. Anmärkningsvärda produkter. Återställs från youtube.com.
4. Math2me. Konjugerade binomialer / anmärkningsvärda produkter. Återställs från youtube.com.
5. Konjugerade binomialprodukter. Återställd från: lms.colbachenlinea.mx.
6. Vitual. Konjugerade binomialer. Återställd från: youtube.com.