Den binomialfördelningen är en sannolikhetsfördelning genom vilken sannolikheten för förekomsten av händelser beräknas, förutsatt att de förekommer i två former: framgång eller misslyckande.
Dessa beteckningar (framgång eller misslyckande) är helt godtyckliga, eftersom de inte nödvändigtvis betyder goda eller dåliga saker. Under denna artikel kommer vi att ange den matematiska formen för binomialfördelningen och därefter förklaras innebörden av varje term i detalj.
Figur 1. Rullen av en dyna är ett fenomen som kan modelleras med hjälp av binomialfördelningen. Källa: Pixabay.
Ekvation
Ekvationen är som följer:
Med x = 0, 1, 2, 3 … .n, där:
- P (x) är sannolikheten för att ha exakt x framgångar mellan n försök eller försök.
- x är den variabel som beskriver fenomenet intresse, motsvarande antalet framgångar.
- n antalet försök
- p är sannolikheten för framgång i ett försök
- q är sannolikheten för misslyckande i ett försök, därför är q = 1 - p
Utropstecknet "!" används för factorial notation, så:
0! = 1
ett! = 1
två! = 2,1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
Och så vidare.
Begrepp
Binomialfördelningen är mycket lämplig för att beskriva situationer där en händelse inträffar eller inte inträffar. Om det inträffar är det en framgång och om inte är det ett misslyckande. Dessutom måste sannolikheten för framgång alltid vara konstant.
Det finns fenomen som passar dessa förhållanden, till exempel kasta ett mynt. I det här fallet kan vi säga att "framgång" får ett ansikte. Sannolikheten är ½ och förändras inte, oavsett hur många gånger myntet kastas.
Rollen av en ärlig dör är ett annat bra exempel, liksom att kategorisera en viss produktion i bra bitar och defekta bitar och bli röd istället för svart när man roterar ett roulettehjul.
egenskaper
Vi kan sammanfatta egenskaperna hos binomialfördelningen enligt följande:
- Varje händelse eller observation extraheras från en oändlig population utan ersättning eller från en ändlig population med ersättning.
- Endast två alternativ övervägs, ömsesidigt uteslutande: framgång eller misslyckande, som förklarats i början.
- Sannolikheten för framgång måste vara konstant i alla observationer som görs.
- Resultatet av varje händelse är oberoende av någon annan händelse.
- Medelvärdet för binomialfördelningen är np
- Standardavvikelsen är:
Applikationsexempel
Låt oss ta en enkel händelse, som kan få 2 huvuden 5 genom att rulla en ärlig dör 3 gånger. Vad är sannolikheten för att i 3 kast kastas två huvuden av 5?
Det finns flera sätt att uppnå detta, till exempel:
- De två första lanseringarna är fem och de sista är det inte.
- Den första och den sista är 5 men inte den mittre.
- De två sista kasten är 5 och de första inte.
Låt oss ta den första sekvensen som beskrivs som ett exempel och beräkna dess sannolikhet för förekomst. Sannolikheten för att få ett 5 huvuden på den första rullen är 1/6, och även på den andra, eftersom de är oberoende händelser.
Sannolikheten för att få ett annat huvud än 5 på den sista rullen är 1 - 1/6 = 5/6. Därför är sannolikheten för att denna sekvens kommer ut produkten av sannolikheterna:
(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0,023
Vad sägs om de andra två sekvenserna? De har samma sannolikhet: 0,023.
Och eftersom vi har totalt 3 framgångsrika sekvenser kommer den totala sannolikheten att vara:
Exempel 2
Ett universitet hävdar att 80% av studenterna på college basketlag har examen. En undersökning undersöker den akademiska posten för 20 studenter som tillhör nämnda basketlag som registrerade sig på universitetet för en tid sedan.
Av dessa 20 studenter avslutade 11 sina studier och 9 tappade bort.
Bild 2. Nästan alla studenter som spelar för högskolalagets examen. Källa: Pixabay.
Om universitetets uttalande är sant, bör antalet studenter som spelar basket och examen, av 20, ha en binomial fördelning med n = 20 och p = 0,8. Vad är sannolikheten för att exakt 11 av de 20 spelarna kommer att examen?
Lösning
I binomialfördelningen:
Exempel 3
Forskarna genomförde en studie för att avgöra om det fanns betydande skillnader i examen mellan medicinska studenter antagna genom specialprogram och medicinska studenter antagna genom regelbundna antagningskriterier.
Graderingsgraden visade sig vara 94% för studentläkare som antogs genom specialprogram (baserat på data från Journal of the American Medical Association).
Om 10 av specialprogramstudenterna valts slumpmässigt, kan du hitta sannolikheten för att minst 9 av dem har examen.
b) Skulle det vara ovanligt att slumpmässigt välja ut 10 studenter från specialprogram och upptäcker att endast 7 av dem har examen?
Lösning
Sannolikheten för att en student antagen genom ett speciellt program examen är 94/100 = 0,94. Vi väljer n = 10 studenter från specialprogrammen och vi vill ta reda på sannolikheten för att minst 9 av dem kommer att examen.
Följande värden ersätts sedan i binomialfördelningen:
b)
referenser
- Berenson, M. 1985. Statistik för ledning och ekonomi. Interamericana SA
- MathWorks. Binomial distribution. Återställd från: es.mathworks.com
- Mendenhall, W. 1981. Statistik för ledning och ekonomi. 3:e. utgåva. Grupo Redaktion Iberoamérica.
- Moore, D. 2005. Tillämpad grundstatistik. 2:a. Utgåva.
- Triola, M. 2012. Elementary Statistics. 11th. Ed. Pearson utbildning.
- Wikipedia. Binomial distribution. Återställd från: es.wikipedia.org