DOMÄN OCH KONTRADOMÄN FÖR EN FUNKTION (MED EXEMPEL) - MATTE

Begreppen domän och motdomän för en funktion lärs vanligtvis i kalkylkurser som undervisas i början av universitetsgraderna.

Innan du definierar domänen och kontradomenet måste du veta vad en funktion är. En funktion f är en lag (regel) om korrespondens mellan elementen i två uppsättningar.

Den uppsättning från vilken elementen väljs kallas funktionens domän och den uppsättning till vilken dessa element skickas genom f kallas motdomänen.

I matematik betecknas en funktion med domän A och motdomän B med uttrycket f: A → B.

Det föregående uttrycket säger att elementen i uppsättning A skickas till uppsättning B efter korrespondenslagstiftningen f.

En funktion tilldelar varje element i uppsättningen A ett enda element i uppsättning B.

Domän och kontradomän

Med tanke på en verklig funktion av en verklig variabel f (x) har vi att domänen för funktionen kommer att vara alla dessa verkliga siffror så att resultatet, när det utvärderas i f, är ett verkligt tal.

I allmänhet är motdomänen för en funktion uppsättningen av verkliga siffror R. Motdomänen kallas också ankomstuppsättningen eller kodmän för funktionen f.

Är kontradomenet för en funktion alltid R?

Nej. Så länge funktionen inte studeras i detalj tas uppsättningen av verkliga siffror R vanligen som en motdomän.

Men när funktionen har studerats kan en mer lämplig uppsättning tas som en motdomän, som kommer att vara en delmängd av R.

Den rätta uppsättningen som nämndes i föregående stycke matchar bilden av funktionen.

Definitionen av bilden eller området för en funktion f avser alla värden som kommer från utvärdering av ett element i domänen i f.

exempel

Följande exempel illustrerar hur man beräknar domänen för en funktion och dess bild.

Exempel 1

Låt f vara en verklig funktion som definieras av f (x) = 2.

Domänen till f är alla verkliga siffror så att, när de utvärderas vid f, är resultatet ett verkligt tal. Kontradomenet för tillfället är lika med R.

Eftersom den givna funktionen är konstant (alltid lika med 2), spelar det ingen roll vilket verkligt antal som väljs, eftersom vid utvärdering av den i f kommer resultatet alltid att vara lika med 2, vilket är ett reellt tal.

Därför är domänen för den givna funktionen alla verkliga siffror; det vill säga A = R

Nu när det är känt att resultatet av funktionen alltid är lika med 2 har vi att bilden av funktionen endast är numret 2, därför kan funktionens motdomän definieras om som B = Img (f) = {två}.

Därför f: R → {2}.

Exempel 2

Låt g vara en verklig funktion som definieras av g (x) = √x.

Så länge bilden av g inte är känd är kontradomenet för g B = R.

Med denna funktion måste det beaktas att kvadratroten endast definieras för icke-negativa siffror; det vill säga för siffror större än eller lika med noll. Till exempel är √-1 inte ett riktigt tal.

Därför måste domänen för funktionen g vara alla siffror större än eller lika med noll; det vill säga x ≥ 0.

Därför A = [0, + ∞).

För att beräkna intervallet bör det noteras att alla resultat av g (x), eftersom det är en kvadratrot, alltid kommer att vara större än eller lika med noll. Det vill säga B = [0, + ∞).

Sammanfattningsvis g: [0, + ∞) → [0, + ∞).

Exempel 3

Om vi har funktionen h (x) = 1 / (x-1), har vi att denna funktion inte är definierad för x = 1, eftersom vi i nämnaren skulle få noll och delningen med noll inte definieras.

Å andra sidan, för alla andra verkliga värden kommer resultatet att vara ett verkligt tal. Därför är domänen alla realer utom en; det vill säga A = R \ {1}.

På samma sätt kan det observeras att det enda värdet som inte kan erhållas som ett resultat är 0, för att en bråk ska vara lika med noll måste telleren vara noll.

Därför är bilden av funktionen uppsättningen av alla realer utom noll, så B = R \ {0} tas som ett kontradomän.

Sammanfattningsvis, h: R \ {1} → R \ {0}.

observationer

Domänen och bilden behöver inte vara samma uppsättning, vilket visas i exempel 1 och 3.

När en funktion ritas på det kartesiska planet representeras domänen av X-axeln och motdomänet eller intervallet representeras av Y-axeln.

referenser

Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus matematik. Prentice Hall PTR.
Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus matematik: ett problemlösningsmetod (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra och trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
Larson, R. (2010). Precalculus (8 red.). Cengage Learning.
Leal, JM, & Viloria, NG (2005). Plan analytisk geometri. Mérida - Venezuela: Redaktion Venezolana CA
Pérez, CD (2006). Förberäkning. Pearson Education.
Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Calculus (nionde upplagan). Prentice Hall.
Saenz, J. (2005). Differentialberäkning med tidiga transcendenta funktioner för Science and Engineering (andra upplagan). Hypotenusa.
Scott, CA (2009). Cartesian Plane Geometry, Del: Analytical Conics (1907) (omtryckt red.). Blixtkälla.
Sullivan, M. (1997). Förberäkning. Pearson Education.

DOMÄN OCH KONTRADOMÄN FÖR EN FUNKTION (MED EXEMPEL) - MATTE - 2025