ENEAGON: EGENSKAPER, HUR MAN GÖR EN ENEAGON, EXEMPEL - MATTE

En enegon är en polygon med nio sidor och nio hörn, som kanske eller inte är regelbundna. Namnet eneágono kommer från det grekiska och består av de grekiska orden ennea (nio) och gonon (vinkel).

Ett alternativt namn för den nio-sidiga polygonen är nonagon, som kommer från det latinska ordet nonus (nio) och gonon (toppunkt). Å andra sidan, om sidorna eller vinklarna på eneagon är ojämlika med varandra, har du en oregelbunden eneagon. Om, å andra sidan, alla nio sidor och nio vinklar på eneagon är lika, är det en vanlig eneagon.

Bild 1. Regelbunden eneagon och oregelbunden eneagon. (Egen utarbetande)

Eneagons egenskaper

För en polygon med n sidor är summan av dess invändiga vinklar:

(n - 2) * 180º

I enegon skulle det vara n = 9, så summan av dess inre vinklar är:

Sa = (9 - 2) * 180º = 7 * 180º = 1260º

I vilken polygon som helst är antalet diagonaler:

D = n (n - 3) / 2 och när det gäller enegon, eftersom n = 9, så har vi att D = 27.

Regelbunden enegon

I den vanliga eneagon eller nonagon finns det nio (9) inre vinklar av lika mått, därför mäter varje vinkel en nionde av den totala summan av de inre vinklarna.

Mätningen på de inre vinklarna hos en enegon är då 1260º / 9 = 140º.

Bild 2. Apotem, radie, sidor, vinklar och vertikaler hos en vanlig eneagon. (Egen utarbetande)

För att härleda formeln för området för ett regelbundet område med sidan d är det bekvämt att göra några extra konstruktioner, såsom de som visas i figur 2.

Centrum O hittas genom att spåra bisektorerna på två intilliggande sidor. Centrum O likvidistant från topparna.

En radie med längd r är segmentet från centrum O till en topp av enegon. Figur 2 visar radierna OD och OE för längden r.

Apotemet är det segment som går från mitten till mittpunkten på en sida av enegon. Till exempel OJ är en apotem vars längd är en.

Område av en enegon känd sidan och apoten

Vi betraktar triangeln ODE i figur 2. Området för denna triangel är produkten från dess bas DE och höjden OJ dividerat med 2:

ODE-område = (DE * OJ) / 2 = (d * a) / 2

Eftersom det finns 9 trianglar med lika stort område i enegonet dras slutsatsen att samma område är:

Enegon-område = (9/2) (d * a)

Område med en känd enegon på sidan

Om bara längden d på sidorna på enegon är känd, är det nödvändigt att hitta längden på apoten för att tillämpa formeln i föregående avsnitt.

Vi betraktar den högra triangeln OJE i J (se figur 2). Om tangent trigonometriskt förhållande tillämpas, får vi:

solbränna (∡ OEJ) = EGT / EJ.

Vinkeln ∡OEJ = 140º / 2 = 70º, eftersom EO är halvledaren för den inre vinkeln på enegon.

Å andra sidan är EGT protokollet med längd a.

Sedan J är mittpunkten för ED följer det att EJ = d / 2.

Att ersätta de tidigare värdena i tangentrelationen vi har:

solbränna (70º) = a / (d / 2).

Nu rensar vi längden på apoten:

a = (d / 2) solbränna (70º).

Det föregående resultatet ersätts i områdesformeln för att erhålla:

Arean av enegon = (9/2) (d * a) = (9/2) (d * (d / 2) solbränna (70º))

Slutligen hittar vi formeln som gör det möjligt att erhålla området för den vanliga enegon om bara längden d på dess sidor är känd:

Arean av enegon = (9/4) d ² solbränna (70º) = 6.1818 d ²

Omkrets av regelbunden enegon känd sin sida

En polygons omkrets är summan av dess sidor. När det gäller enegon, eftersom var och en av sidorna mäter en längd d, kommer dess omkrets att vara summan av nio gånger d, det vill säga:

Omkrets = 9 d

Omgången av enegon känd sin radie

Med tanke på den rätta triangeln OJE i J (se figur 2) tillämpas det trigonometriska kosinusförhållandet:

cos (∡ OEJ) = EJ / OE = (d / 2) / r

Var erhålls det från:

d = 2r cos (70º)

Genom att ersätta detta resultat erhåller vi formeln för omkretsen som en funktion av enegonets radie:

Omkrets = 9 d = 18 r cos (70º) = 6,1564 r

Hur man gör en regelbunden enegon

1- För att bygga en vanlig eneagon, med en linjal och en kompass, börja från omkretsen c som omskriver eneagon. (se figur 3)

2- Två vinkelräta linjer dras genom omkretsens centrum O. Sedan markeras korsningarna A och B på en av linjerna med omkretsen.

3- Med kompassen, centrerad vid skärningspunkten B och öppningen lika med radien BO, dras en båge som skär den ursprungliga omkretsen vid punkt C.

Figur 3. Steg för att bygga en regelbunden enegon. (Egen utarbetande)

4- Det föregående steget upprepas men med ett centrum vid A och radie AO dras en båge som skär upp omkretsen c vid punkt E.

5- Med öppning av AC och mitten i A dras en omkretsbåge. På liknande sätt med öppning av BE och centrum B dras en annan båge. Korsningen mellan dessa två bågar markeras som punkt G.

6- Centrering vid G och öppning av GA, en båge ritas som skär upp sekundäraxeln (horisontellt i detta fall) vid punkt H. Korsningen mellan sekundäraxeln och den ursprungliga cirkeln är markerad som I.

7- Längden på segmentet IH är lika med längden d på sidan av enegon.

8- Med kompassöppning IH = d dras bågarna i centrum A-radien AJ, centrum J-radien AK, centrum K-radien KL och centrum L-radien LP successivt.

9- På samma sätt, från A och från höger sida, dras bågar med radien IH = d som markerar punkterna M, N, C och Q på den ursprungliga omkretsen c.

10- Slutligen ritas segmenten AJ, JK, KL, LP, AM, MN, NC, CQ och slutligen PB.

Det bör noteras att konstruktionsmetoden inte är helt exakt, eftersom det kan verifieras att den sista sidan PB är 0,7% längre än de andra sidorna. Hittills finns det ingen känd konstruktionsmetod med en linjal och kompass som är 100% korrekt.

exempel

Här är några utarbetade exempel.

Exempel 1

Vi vill bygga en regelbunden enegon vars sidor mäter 2 cm. Vilken radie måste ha den omkrets som omger den, så att genom att applicera den tidigare beskrivna konstruktionen erhålls det önskade resultatet?

I ett tidigare avsnitt härleddes formeln som relaterar radien r för den omskrevna cirkeln med sidan d på en vanlig enegon:

d = 2r cos (70º)

Lösning för r från föregående uttryck vi har:

r = d / (2 cos (70º)) = 1,4619 * d

Att ersätta värdet d = 2 cm i den föregående formeln ger en radie r på 2,92 cm.

Exempel 2

Vad är området för en vanlig enegon med en sida på 2 cm?

För att besvara denna fråga måste vi hänvisa till formeln, som tidigare visats, som gör att vi kan hitta området för en känd enegon med längden d på dess sida: