ELLIPSOID: EGENSKAPER OCH EXEMPEL - ARTE - 2025

Den ellipsoiden är en yta i rymden som tillhör gruppen av quadric ytor och vars allmänna ekvationen är av formen:

Det är den tredimensionella ekvivalenten av en ellips, kännetecknad av att ha elliptiska och cirkulära spår i vissa speciella fall. Spåren är kurvorna erhållna genom att korsa ellipsoiden med ett plan.

Figur 1. Tre olika ellipsoider: överst en sfär där de tre halvaxlarna är lika, längst ner till vänster en sfäroid, med två lika halvaxlar och en annan, och slutligen längst ner till höger, en triaxial sfäroid, med tre olika axlar längd. Källa: Wikimedia Commons. Ag2gaeh / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

Förutom ellipsoiden finns det ytterligare fem kvadrier: en-ark och två-arks hyperboloid, två typer av paraboloid (hyperbolisk och elliptisk) och den elliptiska konen. Dess spår är också koniska.

Ellipsoiden kan också uttryckas med standardekvationen i kartesiska koordinater. En ellipsoid som är centrerad vid ursprunget (0,0,0) och uttrycks på detta sätt, liknar ellipsen, men med en ytterligare term:

Värdena på a, b och c är verkliga siffror större än 0 och representerar de tre halvaxlarna på ellipsoiden.

Ellipsoidegenskaper

- Standardekvation

Standardekvationen i kartesiska koordinater för ellipsen centrerad vid punkten (h, k, m) är:

- Parametriska ekvationer av ellipsoiden

I sfäriska koordinater kan ellipsoiden beskrivas på följande sätt:

x = en synd θ. cos φ

y = b synd θ. sen φ

z = c cos θ

Halvaxlarna på ellipsoiden förblir a, b och c, medan parametrarna är vinklarna θ och φ i följande figur:

Bild 2. Det sfäriska koordinatsystemet. Ellipsoiden kan parametreras med hjälp av de visade vinklarna theta och phi som parametrar. Källa: Wikimedia Commons. Andeggs / Public domain.

- Spår av ellipsoiden

Den allmänna ekvationen för en yta i rymden är F (x, y, z) = 0 och spåren på ytan är kurvorna:

- x = c; F (c, y, z) = 0

- y = c; F (x, c, z) = 0

- z = c; F (x, y, c) = 0

I fallet med en ellipsoid är sådana kurvor ellipser och ibland cirklar.

- Volym

Volymen V för ellipsoiden ges med (4/3) π gånger produkten från dess tre halvaxlar:

V = (4/3) π. ABC

Speciella fall av ellipsoiden

-En ellipsoid blir en sfär när alla halvaxlar har samma storlek: a = b = c ≠ 0. Detta är meningsfullt, eftersom ellipsoiden är som en sfär som har sträckts olika längs var och en axel.

-Sfäroid är en ellipsoid där två av halvaxlarna är identiska och den tredje är annorlunda, till exempel kan det vara a = b ≠ c.

Sfäroid kallas också en ellipsoid av revolution, eftersom den kan genereras genom att rotera ellips runt en axel.

Om rotationsaxeln sammanfaller med huvudaxeln är sfäroiden prolat, men om den sammanfaller med mindre axeln är den snedställd:

Bild 3. Skydd sfäroid till vänster och prolat sfäroid till höger. Källa: Wikimedia Commons.

Mätet för utjämning av sfäroid (ellipticitet) ges av skillnaden i längd mellan de två halvaxlarna, uttryckt i bråkform, det vill säga att det är enhetens plattning, ges av:

f = (a - b) / a

I denna ekvation representerar a den halv-huvudaxeln och b den semi-minor axeln, kom ihåg att den tredje axeln är lika med en av dessa för en sfäroid. Värdet på f är mellan 0 och 1 och för en sfäroid måste det vara större än 0 (om det var lika med 0 skulle vi helt enkelt ha en sfär).

Referensen ellipsoid

Planeterna och stjärnorna i allmänhet är vanligtvis inte perfekta sfärer, eftersom rotationsrörelsen runt deras axlar plattar kroppen vid polerna och utbuktar den vid ekvatorn.

Det är därför jorden visar sig vara en avskild sfäroid, men inte så överdriven som den i föregående figur, och för sin del är gasjätten Saturnus den plattaste av planeterna i solsystemet.

Så ett mer realistiskt sätt att representera planeterna är att anta att de är som en sfäroid eller en ellipsoid av revolutionen, vars halv-huvudaxel är ekvatorialradie och halvminoraxeln den polära radien.

Försiktiga mätningar gjorda på jordklotet har gjort det möjligt att bygga referensellipsoiden på jorden som det mest exakta sättet att arbeta den matematiskt.

Stjärnorna har också rotationsrörelser som ger dem mer eller mindre platta former. Den snabba stjärnan Achernar, den åttonde ljusaste stjärnan på natthimlen, i den södra stjärnbilden Eridanus är anmärkningsvärt elliptisk jämfört med de flesta. Det är 144 ljusår från oss.

I andra extrema, för några år sedan, fann forskare det mest sfäriska objekt som någonsin hittats: stjärnan Kepler 11145123, 5000 ljusår bort, dubbelt så stor som vår sol och en skillnad mellan halvaxlarna på bara 3 km. Som väntat snurrar det också långsammare.

När det gäller jorden är den inte en perfekt sfäroid varken på grund av sin robusta yta och lokala variationer i tyngdkraften. Av denna anledning finns det mer än en referensfäroid tillgänglig och på varje plats väljs det mest lämpliga för den lokala geografin.

Hjälp av satelliter är ovärderlig när det gäller att skapa allt mer exakta modeller av jordens form, tack vare dem är det till exempel känt att sydpolen är närmare ekvatorn än nordpolen.

Figur 4. Haumea, den transneptuniska dvärgplaneten har en ellipsoidal form. Källa: Wikimedia Commons.

Numeriskt exempel

På grund av jordens rotation genereras en centrifugalkraft som ger den formen av en avlång ellipsoid istället för en sfär. Jordens ekvatorradie är känd för att vara 3963 miles och den polära radien är 3942 miles.

Hitta ekvatorialspårets ekvation, den här ellipsoiden och måtten på dess utjämning. Jämför också med ellipticiteten för Saturn med uppgifterna nedan:

-Svatten Ekvatorial radie: 60,268 km

-Polarradie för Saturnus: 54,364 km

Lösning

Ett koordinatsystem krävs, vilket vi antar med mitt ursprung (jordens centrum). Vi antar att den vertikala z-axeln och spåret som motsvarar ekvatorn ligger på xy-planet, motsvarande z = 0-planet.

I ekvatorplanet är halvaxlarna a och b lika, därför är a = b = 3963 miles, medan c = 3942 miles. Detta är ett speciellt fall: en sfäroid centrerad vid punkten (0,0,0) som nämnts ovan.

Ekvatorialspåret är en cirkel med radien R = 3963 miles, centrerad vid ursprunget. Det beräknas genom att göra z = 0 i standardekvationen:

Och standardekvationen för den terrestriska ellipsoiden är:

f _Jorden = (a - b) / a = (3963-3942) miles / 3963 miles = 0,0053

f _Saturn = (60268-54363) km / 60268 km = 0,0980

Observera att ellipticiteten f är en måttlös kvantitet.

referenser

1. ArcGIS för skrivbord. Sfäroider och sfärer. Återställs från: desktop.arcgis.com.
2. BBC World. Mysteriet med det mest sfäriska objektet som någonsin upptäckts i universum. Återställd från: bbc.com.
3. Larson, R. Calculus and Analytical Geometry. Sjätte upplagan. Volym 2. McGraw Hill.
4. Wikipedia. Ellipsoid. Återställd från: en.wikipedia.org.
5. Wikipedia. Spheroid. Återställd från: en.wikipedia.org.