MATEMATISK FÖRVÄNTAN: FORMEL, EGENSKAPER, EXEMPEL, TRÄNING - DUDAS - 2025

Den matematiska förväntningen eller förväntade värdet för den slumpmässiga variabeln X, betecknas som E (X) och definieras som summan av produkten mellan sannolikheten för att en slumpmässig händelse inträffar och värdet på nämnda händelse.

I matematisk form uttrycks det enligt följande:

Figur 1. Matematisk förväntan används ofta på aktiemarknaden och inom försäkringar. Källa: Pixabay.

Där x _i är värdet på händelsen och P (x _i ) är dess sannolikhet för inträffande. Sammanfattningen sträcker sig över alla värden som X medger. Och om dessa är begränsade konvergeras den angivna summan till värdet E (X), men om summan inte konvergerar, har variabeln helt enkelt inget förväntat värde.

När det är en kontinuerlig variabel x kan variabeln ha oändliga värden och integralerna ersätter summeringarna:

Här representerar f (x) sannolikhetsdensitetsfunktionen.

I allmänhet är den matematiska förväntningen (som är ett viktat medelvärde) inte lika med det aritmetiska medelvärdet eller genomsnittet, såvida vi inte har att göra med diskreta fördelningar där varje händelse är lika sannolik. Sedan och först då:

Där n är antalet möjliga värden.

Konceptet är mycket användbart på finansmarknader och försäkringsbolag, där det ofta saknas säkerheter men sannolikheter finns.

Egenskaper för matematisk förväntan

Bland de viktigaste egenskaperna för matematisk förväntan skiljer sig följande ut:

- Tecken: om X är positivt, kommer E (X) också att vara positivt.

- Förväntat värde på en konstant : det förväntade värdet på en verklig konstant k är konstanten.

- Linearitet i summan: förväntningarna på en slumpmässig variabel som i sin tur är summan av två variabler X och Y är summan av förväntningarna.

E (X + Y) = E (X) + E (Y)

- Multiplikation med en konstant : om den slumpmässiga variabeln har formen kX, där k är en konstant (ett reellt tal), kommer det ut utanför det förväntade värdet.

- Förväntat värde på produkten och oberoende mellan variabler : om en slumpmässig variabel är produkten av de slumpmässiga variablerna X och Y, som är oberoende, är det förväntade värdet på produkten produkten av de förväntade värdena.

I allmänhet, om Y = g (X):

- Beställ i förväntat värde: om X ≤ Y, då:

Eftersom det finns de förväntade värdena för var och en av dem.

Den matematiska förväntningarna på vadslagning

När den berömda astronomen Christian Huygens (1629-1695) inte observerade himlen, ägnade han sig åt att studera, bland andra discipliner, sannolikhet i hasardspel. Det var han som introducerade begreppet matematisk hopp i sitt 1656-arbete med titeln: Resonera om hasardspel.

Bild 2. Christiaan Huygens (1629-1625) var en lysande och mångsidig forskare, till vilken vi är skyldiga begreppet förväntat värde.

Huygens fann att spel kunde klassificeras på tre sätt, baserat på förväntat värde:

-Spel med fördel: E (X)> 0

- Rättvisa satsningar: E (X) = 0

-Spela med en nackdel: E (X) <0

Problemet är att i ett hasardspel är den matematiska förväntningen inte alltid lätt att beräkna. Och när du kan är resultatet ibland en besvikelse för dem som undrar om de ska satsa eller inte.

Låt oss försöka en enkel satsning: huvud eller svansar och förloraren betalar ett kaffe på 1 $. Vad är det förväntade värdet på denna satsning?

Tja, sannolikheten för att ett huvuden rullas är ½, lika med en svansar. Den slumpmässiga variabeln är att vinna $ 1 eller förlora $ 1, vinsten markeras med + -tecknet och förlusten med tecknet -.

Vi ordnar informationen i en tabell:

Vi multiplicerar värdena på kolumnerna: 1. ½ = ½ och (-1). ½ = -½ och slutligen läggs resultaten till. Summan är 0 och det är ett rättvist spel där deltagarna förväntas varken vinna eller förlora.

Fransk roulette och lotteriet är handikappspel där de flesta spelarna förlorar. Senare finns det en något mer komplex satsning i avsnittet lösta övningar.

exempel

Här är några enkla exempel där begreppet matematisk förväntning är intuitivt och klargör begreppet:

Exempel 1

Vi börjar med att rulla en ärlig dyn. Vad är det förväntade värdet på lanseringen? Tja, om matrisen är ärlig och har 6 huvuden, är sannolikheten för att något värde (X = 1, 2, 3 … 6) rullar 1/6, så här:

E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3,5

Bild 3. I rullan med en ärlig dyn är det förväntade värdet inte ett möjligt värde. Källa: Pixabay.

Det förväntade värdet i detta fall är lika med genomsnittet, eftersom varje ansikte har samma sannolikhet att komma ut. Men E (X) är inte ett möjligt värde, eftersom inga huvuden är värda 3,5. Detta är helt möjligt i vissa distributioner, även om resultatet i detta fall inte hjälper spelaren mycket.

Låt oss titta på ett annat exempel med kast av två mynt.

Exempel 2

Två ärliga mynt kastas i luften och vi definierar den slumpmässiga variabeln X som antalet huvuden som rullas. Händelserna som kan inträffa är följande:

-Inga huvuden kommer upp: 0 huvuden vilket är lika med 2 svansar.

-Det kommer ut 1 huvud och 1 stämpel eller kors.

-Två ansikten kommer ut.

Låt C vara ett huvud och T en säl, provutrymmet som beskriver dessa händelser är följande:

S _m = {Seal-Seal; Försegla-Face; Ansikte-Seal; Face-Face} = {TT, TC, CT, CC}

Sannolikheterna för händelserna är:

P (X = 0) = P (T). P (T) = ½. ½ = ¼

P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T). P (C) + P (C). P (T) = ¼ + ¼ = ½

P (X = 2) = P (C). P (C) = ½. ½ = ¼

Tabellen är byggd med de erhållna värdena:

Enligt definitionen i början beräknas den matematiska förväntningen som:

Att ersätta värden:

E (X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1

Detta resultat tolkas på följande sätt: om en person har tillräckligt med tid att göra ett stort antal experiment genom att kasta de två mynten, förväntas han få ett huvud på varje kast.

Vi vet emellertid att utgåvor med två etiketter är fullt möjligt.

Träningen löst

När du kastar två ärliga mynt görs följande satsning: om 2 huvuden kommer ut vinner du $ 3, om 1 huvud kommer ut vinner du $ 1, men om två frimärken kommer ut måste du betala 5 $. Beräkna den förväntade vinsten för insatsen.

Bild 4. Beroende på satsningen förändras den matematiska förväntningen när man kastar två ärliga mynt. Källa: Pixabay.

Lösning

Den slumpmässiga variabeln X är de värden som pengarna tar i satsningen och sannolikheterna beräknades i föregående exempel, därför är tabellen över insatsen:

E (X) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0

Eftersom det förväntade värdet är 0 är detta rättvist spel, så här förväntas spelaren inte vinna och inte förlora heller. Insatsbeloppen kan dock ändras för att göra insatsen till ett handikappspel eller ett handikappspel.

referenser

1. Brase, C. 2009. Förståelig statistik. Houghton Mifflin.
2. Olmedo, F. Introduktion till begreppet förväntat värde eller matematisk förväntan på en slumpmässig variabel. Återställs från: personal.us.es.
3. Statistik LibreTexts. Förväntat värde på diskreta slumpmässiga variabler. Återställd från: stats.libretexts.org.
4. Triola, M. 2010. Elementary Statistics. 11th. Ed. Addison Wesley.
5. Walpole, R. 2007. Sannolikhet och statistik för vetenskap och teknik. 8:e. Utgåva. Pearson Education.