OBEROENDE HÄNDELSER: DEMONSTRATION, EXEMPEL, ÖVNINGAR - DUDAS - 2025

Två händelser är oberoende , när sannolikheten för att en av dem inträffar inte påverkas av det faktum att den andra inträffar - eller inte inträffar - med tanke på att dessa händelser inträffar slumpmässigt.

Denna omständighet inträffar när processen som genererar resultatet av händelse 1 inte på något sätt förändrar sannolikheten för eventuella resultat av händelse 2. Men om detta inte händer, sägs händelserna vara beroende.

Figur 1. Färgade kulor används ofta för att förklara sannolikheten för oberoende händelser. Källa: Pixabay.

En oberoende händelsessituation är som följer: Anta att två sexsidiga tärningar rullas, en blå och den andra rosa. Sannolikheten för att en 1 kommer att rulla på den blå formen är oberoende av sannolikheten för att en 1 kommer att rulla eller inte rulla på den rosa formen.

Ett annat fall av två oberoende händelser är att kasta ett mynt två gånger i rad. Resultatet av det första kastet kommer inte att bero på resultatet av det andra och vice versa.

Bevis på två oberoende händelser

För att verifiera att två händelser är oberoende definierar vi begreppet villkorad sannolikhet för en händelse med avseende på en annan. För detta är det nödvändigt att skilja mellan exklusiva evenemang och inkluderande händelser:

Två händelser är exklusiva om de möjliga värdena eller elementen i händelse A inte har något gemensamt med värdena eller elementen i händelse B.

Därför i två exklusiva händelser är uppsättningen av skärningspunkten mellan A och B vakuumet:

Exklusive händelser: A∩B = Ø

Tvärtom, om händelserna är inkluderande kan det hända att ett resultat av händelse A också sammanfaller med det för en annan B, där A och B är olika händelser. I detta fall:

Inklusive evenemang: A∩B ≠ Ø

Detta leder till att vi definierar den villkorade sannolikheten för två inkluderande händelser, med andra ord sannolikheten för händelse A, när händelse B inträffar:

P (A¦B) = P (A∩B) / P (B)

Därför är den villkorade sannolikheten sannolikheten för att A och B kommer att uppstå dividerat med sannolikheten för att B kommer att inträffa.

P (B¦A) = P (A∩B) / P (A)

Kriterier för att veta om två händelser är oberoende

Därefter ger vi tre kriterier för att veta om två händelser är oberoende. Det är tillräckligt att en av de tre uppfylls, så att händelsernas oberoende demonstreras.

1.- Om sannolikheten för att A inträffar när B inträffar är lika med sannolikheten för A, är de oberoende händelser:

P (A¦B) = P (A) => A är oberoende av B

2.- Om sannolikheten för att B inträffar givet A är lika med sannolikheten för B, finns det oberoende händelser:

P (B¦A) = P (B) => B är oberoende av A

3.- Om sannolikheten för att A och B inträffar är lika med produkten av sannolikheten för att A inträffar och sannolikheten för att B inträffar, är det oberoende händelser. Samtalet är också sant.

P (A∩B) = P (A) P (B) <=> A och B är oberoende händelser.

Exempel på oberoende händelser

Gummisulor som produceras av två olika leverantörer jämförs. Proverna från varje tillverkare utsätts för flera tester från vilka det dras slutsatsen om de ingår i specifikationerna eller inte.

Bild 2. Variation av gummisulor. Källa: Pixabay.

Den resulterande sammanfattningen av de 252 proverna är som följer:

Tillverkare 1; 160 uppfyller specifikationerna; 8 uppfyller inte specifikationerna.

Tillverkare 2; 80 uppfyller specifikationerna. 4 uppfyller inte specifikationerna.

Händelse A: "att provet kommer från tillverkare 1".

Händelse B: "att provet uppfyller specifikationerna."

Vi vill veta om dessa händelser A och B är oberoende eller inte, för vilka vi tillämpar ett av de tre kriterierna som nämns i föregående avsnitt.

Kriterium: P (B¦A) = P (B) => B är oberoende av A

P (B) = 240/252 = 0,9523

P (B | A) = P (A ^ B) / P (A) = (160/252) / (168/252) = 0,9523

Slutsats: Händelser A och B är oberoende.

Anta händelse C: "att provet kommer från tillverkare 2"

Kommer händelse B att vara oberoende av händelse C?

Vi tillämpar ett av kriterierna.

Kriterium: P (B¦C) = P (B) => B är oberoende av C

P (B | C) = (80/252) / (84/252) = 0,9523 = P (B)

Baserat på tillgängliga data är därför sannolikheten för att en slumpvis vald gummisula uppfyller specifikationerna oberoende av tillverkaren.

Konvertera en oberoende händelse till en beroende händelse

Låt oss titta på följande exempel för att skilja mellan beroende och oberoende händelser.

Vi har en påse med två vita chokladbollar och två svarta bollar. Sannolikheten för att få en vit boll eller en svart boll är lika vid första försöket.

Anta att resultatet var en köboll. Om den utdragna bollen byts ut i påsen upprepas den ursprungliga situationen: två vita bollar och två svarta bollar.

Så i en andra händelse eller oavgjort är chansen att dra en boll eller en svart boll identisk med första gången. Det är därför oberoende händelser.

Men om cue-bollen som dras i den första händelsen inte ersätts eftersom vi har ätit den, i det andra dragningen finns det större chanser att dra en svart boll. Sannolikheten för att en andra extraktion får vit igen skiljer sig från den för den första händelsen och är betingad av föregående resultat.

övningar

- Övning 1

I en låda lägger vi de 10 kulorna i figur 1, varav 2 är gröna, 4 är blå och 4 är vita. Två kulor kommer att väljas slumpmässigt, en först och en senare. Det uppmanas att hitta
sannolikheten för att ingen av dem är blå under följande förhållanden:

a) Med utbyte, det vill säga tillbaka den första marmorn innan den andra markeringen till lådan. Ange om det är oberoende eller beroende händelser.

b) Utan utbyte, på ett sådant sätt att den första utvunna marmorn lämnas ur lådan vid det andra valet. Ange på samma sätt om de är beroende eller oberoende händelser.

Lösning till

Vi beräknar sannolikheten för att den första utvunna marmorn inte är blå, vilket är 1 minus sannolikheten för att den är blå P (A), eller direkt att den inte är blå, eftersom den kom ut grönt eller vitt:

P (A) = 4/10 = 2/5

P (var inte blå) = 1 - (2/5) = 3/5

Nåväl:

P (grön eller vit) = 6/10 = 3/5.

Om den utvunna marmorn returneras är allt som tidigare. I det andra dragningen finns det också en 3/5-sannolikhet för att den marmor som dras inte är blå.

P (inte blå, inte blå) = (3/5). (3/5) = 9/25.

Händelserna är oberoende, eftersom den utvunna marmorn återfördes till lådan och den första händelsen inte påverkar sannolikheten för att den andra inträffar.

Lösning b

För den första extraktionen, fortsätt som i föregående avsnitt. Sannolikheten för att den inte är blå är 3/5.

För den andra utvinningen har vi 9 kulor i väskan, eftersom den första inte återvände, men den var inte blå, därför finns i påsen 9 kulor och 5 inte blå:

P (grön eller vit) = 5/9.

P (ingen är blå) = P (först inte blå). P (andra inte blå / först inte blå) = (3/5). (5/9) = 1/3

I det här fallet är de inte oberoende händelser, eftersom den första händelsen villkorar den andra.

- Övning 2

En butik har 15 tröjor i tre storlekar: 3 små, 6 medelstora och 6 stora. 2 skjortor väljs slumpmässigt.

a) Vad är sannolikheten för att båda skjortorna som valts är små, om en tas först och utan att ersätta en annan i partiet?

b) Vad är troligt att båda utvalda skjortorna är små, om en dras först, byts ut i bunten och den andra tas bort?

Lösning till

Här är två händelser:

Händelse A: den första valda tröjan är liten

Händelse B: den andra valda tröjan är liten

Sannolikheten för att händelse A inträffar är: P (A) = 3/15

Sannolikheten för att händelse B inträffar är: P (B) = 2/14, eftersom en skjorta redan hade tagits bort (14 kvar), men dessutom vill händelse A vara uppfylld, den första skjortan som tas bort måste vara liten och därför båda är 2 små.

Det vill säga sannolikheten för att A och B kommer att vara produkten av sannolikheterna är:

P (A och B) = P (B | A) P (A) = (2/14) (3/15) = 0,029

Därför är sannolikheten att händelse A och B inträffar lika med produkten som händelse A inträffar, gånger sannolikheten för att händelse B inträffar om händelse A.

Det ska noteras att:

P (B¦A) = 2/14

Sannolikheten för att händelse B inträffar oavsett om händelse A inträffar eller inte kommer att vara:

P (B) = (2/14) om den första var liten, eller P (B) = 3/14 om den första inte var liten.

I allmänhet kan följande slutas:

P (B¦A) är inte lika med P (B) => B är inte oberoende av A

Lösning b

Återigen finns det två händelser:

Händelse A: den första valda tröjan är liten

Händelse B: den andra valda tröjan är liten

P (A) = 3/15

Kom ihåg att oavsett resultat ersätts skjortan som dras ur partiet och återigen dras en skjorta slumpmässigt. Sannolikheten för att händelse B inträffar, om händelse A inträffade är:

P (B¦A) = 3/15

Sannolikheten för att händelser A och B inträffar är:

P (A och B) = P (B | A) P (A) = (3/15) (3/15) = 0,04

Anteckna det:

P (B¦A) är lika med P (B) => B är oberoende av A.

- Övning 3

Tänk på två oberoende händelser A och B. Det är känt att sannolikheten för att händelse A inträffar är 0,2 och sannolikheten för att händelse B inträffar är 0,3. Vad är sannolikheten för att båda händelserna inträffar?

Lösning 2

Vetande om att händelserna är oberoende är det känt att sannolikheten för att båda händelserna inträffar är produkten av de enskilda sannolikheterna. Det vill säga,

P (A∩B) = P (A) P (B) = 0,2 * 0,3 = 0,06

Observera att det är en sannolikhet som är mycket mindre än sannolikheten för att varje händelse kommer att inträffa oavsett resultatet av den andra. Eller uttryckt på ett annat sätt, mycket lägre än de enskilda oddsen.

referenser

1. Berenson, M. 1985. Statistik för ledning och ekonomi. Interamericana SA 126-127.
2. Monterrey Institute. Sannolikhet för oberoende händelser. Återställd från: monterreyinstitute.org
3. Mattelärare. Oberoende händelser. Återställd från: youtube.com
4. Superprof. Typ av händelser, beroende händelser. Återställd från: superprof.es
5. Virtuell handledare. Sannolikhet. Återställd från: vitutor.net
6. Wikipedia. Oberoende (sannolikhet). Återställd från: wikipedia.com