Den potentialgradienten är en vektor som representerar ändringstakten för den elektriska potentialen med avseende på avståndet på varje axel av ett kartesiskt koordinatsystem. Således indikerar den potentiella gradientvektorn den riktning i vilken förändringshastigheten för den elektriska potentialen är större, som en funktion av avståndet.
I sin tur återspeglar modulen för potentiell gradient graden av förändring av variationen i elektrisk potential i en viss riktning. Om värdet på detta är känt vid varje punkt i en rumslig region kan det elektriska fältet erhållas från den potentiella gradienten.
Det elektriska fältet definieras som en vektor, så att det har en specifik riktning och storlek. Genom att bestämma den riktning i vilken den elektriska potentialen minskar snabbast - bort från referenspunkten - och dela detta värde med det körda avståndet erhålls det elektriska fältets storlek.
egenskaper
Potentialgradienten är en vektor avgränsad av specifika rumsliga koordinater, som mäter förändringsförhållandet mellan den elektriska potentialen och avståndet som reses av nämnda potential.
De mest utmärkta egenskaperna hos den elektriska potentialgradienten beskrivs nedan:
1- Den potentiella gradienten är en vektor. Därför har den en specifik storlek och riktning.
2- Eftersom den potentiella gradienten är en vektor i rymden, har den storheter riktade på axlarna X (bredd), Y (höjd) och Z (djup), om det kartesiska koordinatsystemet tas som referens.
3- Denna vektor är vinkelrätt mot ekvipotentialytan vid den punkt där den elektriska potentialen utvärderas.
4- Potentialgradientvektorn riktas mot riktningen för maximal variation av den elektriska potentialfunktionen vid vilken punkt som helst.
5- Modulen för potentialgradienten är lika med derivatet för den elektriska potentialfunktionen med avseende på avståndet i riktningen för var och en av axlarna i det kartesiska koordinatsystemet.
6- Potentialgradienten har ett nollvärde vid stationära punkter (maximum, minimum och sadelpoäng).
7- I det internationella enhetssystemet (SI) är måttenheterna för den potentiella gradienten volt / meter.
8- Riktningen för det elektriska fältet är samma där den elektriska potentialen minskar sin storlek snabbare. I sin tur pekar den potentiella lutningen i den riktning i vilken potentialen ökar i värde i förhållande till en förändring i position. Så det elektriska fältet har samma värde som den potentiella lutningen, men med motsatt tecken.
Hur beräknar jag det?
Skillnaden i elektrisk potential mellan två punkter (punkt 1 och punkt 2) ges av följande uttryck:
Var:
V1: elektrisk potential vid punkt 1.
V2: elektrisk potential vid punkt 2.
E: det elektriska fältets storlek.
Ѳ: vinkla lutningen för den uppmätta elektriska fältvektorn i förhållande till koordinatsystemet.
När man uttrycker denna formel differentiellt följer följande:
Faktorn E * cos (Ѳ) hänvisar till modulet för den elektriska fältkomponenten i riktningen på dl. Låt L vara referensplanets horisontella axel, sedan cos (Ѳ) = 1, så här:
Hädanefter är kvoten mellan variationen i elektrisk potential (dV) och variationen i det sträckta avståndet (ds) modulen för potentialgradienten för nämnda komponent.
Därifrån följer att storleken på den elektriska potentialgradienten är lika med komponenten i det elektriska fältet i studiens riktning, men med motsatt tecken.
Eftersom den verkliga miljön är tredimensionell måste den potentiella gradienten vid en given punkt uttryckas som summan av tre rumsliga komponenter på X-, Y- och Z-axlarna i det kartesiska systemet.
Genom att bryta ner det elektriska fältvektorn i dess tre rektangulära komponenter har vi följande:
Om det finns ett område i planet där den elektriska potentialen har samma värde, kommer partiellt derivat av denna parameter med avseende på var och en av de kartesiska koordinaterna att vara noll.
På punkter som är på ekvipotentialytor kommer således det elektriska fältets intensitet att ha nollstorlek.
Slutligen kan den potentiella gradientvektorn definieras som exakt samma elektriska fältvektor (i storlek) med motsatt tecken. Således har vi följande:
Exempel
Från tidigare beräkningar är det nödvändigt att:
Innan man bestämmer det elektriska fältet som en funktion av potentialgradienten, eller tvärtom, måste det först bestämmas vilken riktning den elektriska potentialskillnaden växer i.
Därefter bestämmes kvoten på variationen i den elektriska potentialen och variationen i det avrundade nettodistansen.
På detta sätt erhålles storleken på det tillhörande elektriska fältet, vilket är lika med storleken på den potentiella gradienten i den koordinaten.
Träning
Det finns två parallella plattor, vilket återspeglas i följande figur.
Steg 1
Tillväxtriktningen för det elektriska fältet bestäms i det kartesiska koordinatsystemet.
Det elektriska fältet växer endast i horisontell riktning med tanke på de parallella plattorna. Följaktligen är det möjligt att dra slutsatsen att komponenterna i den potentiella gradienten i Y-axeln och Z-axeln är noll.
Steg 2
Uppgifter av intresse diskrimineras.
- Potentialskillnad: dV = V2 - V1 = 90 V - 0 V => dV = 90 V.
- Skillnad i avstånd: dx = 10 centimeter.
För att garantera konsistensen hos de mätenheter som används enligt International System of Units, måste de kvantiteter som inte uttrycks i SI omvandlas i enlighet därmed. Således är 10 centimeter lika med 0,1 meter och slutligen: dx = 0,1 m.
Steg 3
Beräkna storleken på den potentiella gradientvektorn efter behov.
referenser
- Elektricitet (1998). Encyclopædia Britannica, Inc. London, Storbritannien. Återställd från: britannica.com
- Potentiell lutning (sf). National Autonomous University of Mexico. Mexiko DF, Mexiko. Återställd från: professors.dcb.unam.mx
- Elektrisk interaktion. Återställs från: matematicasypoesia.com.es
- Potentiell lutning (sf). Återställd från: circuitglobe.com
- Förhållandet mellan potentiellt och elektriskt fält (sf). Teknologiska institutet i Costa Rica. Cartago, Costa Rica. Återställd från: repositoriotec.tec.ac.cr
- Wikipedia, The Free Encyclopedia (2018). Lutning. Återställd från: es.wikipedia.org