HELA SIFFROR: EGENSKAPER, EXEMPEL, ÖVNINGAR - MATTE - 2025

De heltal är en uppsättning användbara siffror för att räkna föremål kompletta haves och inte har. Räkna också de som är på ena sidan och på den andra på en viss referensplats.

Med hela siffror kan du också utföra subtraktionen eller skillnaden mellan ett nummer och ett annat som är större än det, varvid resultatet till exempel regleras som en skuld. Skillnaden mellan intäkter och skulder görs med + respektive - tecken.

Figur 1. Sifferraden för hela siffror. Källa: Wikimedia Commons. Leomg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Därför inkluderar uppsättningen heltal följande:

-Positiva heltal, som skrivs föregående av ett + -tecken, eller helt enkelt utan tecknet, eftersom det också förstås att de är positiva. Till exempel: +1, +2, + 3 … och så vidare.

-0, där skylten är irrelevant, eftersom det inte spelar någon roll att lägga till den för att subtrahera den från någon mängd. Men 0 är väldigt viktigt, eftersom det är referensen för heltal: på ena sidan är det positiva och på det andra negativet, som vi ser i figur 1.

-Negativa heltal, som alltid måste skrivas föregående av tecknet - eftersom med dem skiljer sig beloppen som skulder och alla de som finns på andra sidan referensen. Exempel på negativa heltal är: -1, -2, -3 … och därefter.

Hur representeras heltal?

I början representerar vi hela siffrorna med den angivna notationen: Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, + 4 …}, det vill säga listor och organiserad. Men en mycket användbar framställning är den som används av sifferraden. Detta kräver att du ritar en linje, som i allmänhet är horisontell, på vilken 0 är markerad och uppdelad i identiska sektioner:

Bild 2. Representation av hela siffror på sifferraden. Från 0 till höger är de positiva heltal och från 0 till vänster de negativa. Källa: F. Zapata.

Negativen går till vänster om 0 och de positiva går till höger. Pilarna på sifferraden symboliserar att siffrorna fortsätter till oändligheten. Med tanke på ett heltal är det alltid möjligt att hitta ett som är större eller ett annat som är mindre.

Det absoluta värdet för ett heltal

Det absoluta värdet för ett heltal är avståndet mellan talet och 0. Och avståndet är alltid positivt. Därför är det absoluta värdet på det negativa heltalet talet utan dess minustecken.

Exempelvis är det absoluta värdet -5 -5. Det absoluta värdet betecknas med staplar enligt följande:

- 5- = 5

För att visualisera det räknar du bara mellanrummen på talraden, från -5 till 0. Medan det absoluta värdet för ett positivt heltal är samma tal, till exempel - + 3- = 3, eftersom dess avstånd från 0 är med 3 utrymmen:

Bild 3. Det absoluta värdet för ett heltal är alltid en positiv kvantitet. Källa: F. Zapata.

Egenskaper

- Uppsättningen heltal betecknas som Z och inkluderar uppsättningen naturliga nummer N, där deras element är oändliga.

-Ett heltal och det som följer (eller det som föregår det) är alltid differentierade i enhet. Till exempel, efter 5 kommer 6, där 1 är skillnaden mellan dem.

-Hver heltal har en föregångare och en efterföljare.

-Hver positivt heltal är större än 0.

-Ett negativt heltal är alltid mindre än 0 och ett positivt tal. Ta till exempel antalet -100, detta är mindre än 2, än 10 och än 50. Men det är också mindre än -10, -20 och -99 och det är större än -200.

-0 har inte teckenhänsyn, eftersom det varken är negativt eller positivt.

-Med hela siffror kan du utföra samma operationer som görs med naturliga siffror, nämligen: tillägg, subtraktion, multiplikation, empowerment och mer.

-Heltalet mitt emot ett visst heltal x, är –x och summan av ett heltal med motsatsen är 0:

x + (-x) = 0.

Verksamhet med heltal

- Summa

-Om siffrorna som ska läggas till har samma tecken läggs deras absoluta värden till och resultatet placeras med det tecken som tillägg har. Här är några exempel:

a) (+8) + (+9) = 8 + 9 = +17

b) (-12) + (- 10) = - (12 + 10) = -22

-Om siffrorna har ett annat tecken subtraheras de absoluta värdena (det högsta från det lägsta) och resultatet placeras med tecknet på numret med det högsta absoluta värdet, enligt följande:

a) (-8) + (21) = 21 - 8 = 13

b) (-9) + (+4) = - (9-4) = -5

Egenskaper för summan av heltal

-Summan är kommutativ, därför ändrar inte tilläggens ordning summan. Låt a och b vara två heltal, det är sant att a + b = b + a

-0 är det neutrala elementet i summan av heltal: a + 0 = a

-Allt heltal som läggs till motsatsen är 0. Det motsatta av + a är –a, och omvänt är motsatsen till –a + a. Därför: (+ a) + (-a) = 0.

Figur 2. Teckenregel för tillägg av heltal. Källa: Wikimedia Commons.

- Subtraktion

För att subtrahera hela siffror måste man styras av denna regel: subtraktion motsvarar tillägget av ett nummer med motsatsen. Låt a och b vara två siffror, sedan:

a - b = a + (-b)

Anta till exempel att du måste utföra följande operation: (-3) - (+7), sedan:

(-3) - (+7) = (-3) + (-7) = - (3 + 7) = -10

- Multiplikation

Multiplikationen av hela siffror följer vissa regler för tecken:

-Produkten av två siffror med samma tecken är alltid positiv.

- När två siffror med olika tecken multipliceras är resultatet alltid negativt.

-Värdet på produkten är lika med att multiplicera respektive absoluta värden.

Omedelbart några exempel som klargör ovan:

(-5) x (+8) = - 5 x 8 = -40

(-10) x (-12) = 10 x 12 = 120

(+4) x (+32) = 4 x 32 = 128

Egenskaper för multiplikation av heltal

-Multiplikation är kommutativ. Låt a och b vara två heltal, det följer att: ab = ba, som också kan uttryckas som:

-Multiplikationens neutrala element är 1. Låt a vara ett heltal, därför är a.1 = 1

-Allt heltal multiplicerat med 0 är lika med 0: a.0 = 0

Distributionsfastigheten

Multiplikation följer den distribuerande egenskapen med avseende på tillägg. Om a, b och c är heltal så:

a. (b + c) = ab + ac

Här är ett exempel på hur du använder den här egenskapen:

(-3). = (-3). (- 4) + (- 3) .11 = 12 - 33 = 12 + (-33) = -21

Bemyndigande

-Om basen är positiv är resultatet av operationen alltid positivt.

-När basen är negativ, om exponenten är jämn, är resultatet positivt. och om exponenten är udda är resultatet negativt.

- Avdelning

Samma teckenregler gäller i division som i multiplikation:

-När du delar två hela siffror av samma tecken är resultatet alltid positivt.

-När två heltal med olika tecken delas är kvoten negativ.

Till exempel:

(-12) ÷ (-4) = 3

33 ÷ (-3) = -11

Viktigt : division är inte kommutativ, med andra ord a ÷ b ≠ b ÷ a och som alltid är division med 0 inte tillåten.

- Bemyndigande

Låt a vara ett heltal och vi vill höja det till en exponent n, då måste vi multiplicera a med sig n gånger, som visas nedan:

a ⁿ = aaaa… ..a

Tänk också på följande med hänsyn till att n är ett naturligt tal:

-Om a är negativt och n är jämnt, är resultatet positivt.

-När a är negativt och n är udda, resulterar det i ett negativt tal.

-Om a är positiv och n är jämn eller udda, resulterar alltid ett positivt heltal.

-Allt heltal höjt till 0 är lika med 1: a ⁰ = 1

-Alla tal som höjs till 1 är lika med antalet: a ¹ = a

Låt oss till exempel säga att vi vill hitta (–3) ⁴ , för att göra det multiplicerar vi (-3) fyra gånger av sig själv, så här: (–3). (- 3). (- 3). (- 3) = 81.

Ett annat exempel, även med ett negativt heltal är:

(-2) ³ = (-2). (- 2). (- 2) = -8

Produkt av befogenheter med samma bas

Anta två krafter med lika stor bas, om vi multiplicerar dem får vi en annan kraft med samma bas, vars exponent är summan av de givna exponenterna:

a ⁿ a ^m = a ^{n + m}

Likvärdiga baskrafter kvotient

När man delar upp krafter med lika stor bas är resultatet en makt med samma bas, vars exponent är subtraktionen för de givna exponenterna:

a ⁿ ÷ a ^m = a ^{n - m}

Här är två exempel som klargör dessa punkter:

(-2) ^3. (- 2) ⁵ = (-2) ^{3 + 5} = (-2) ⁸

5 ⁶ ÷ 5 ⁴ = 5 ^6-4 = 5 ²

exempel

Låt oss se enkla exempel för att tillämpa dessa regler, och kom ihåg att vid positiva heltal kan skylten undvikas:

a) (+6) + (+14) = 6 + 14 = 20

b) (-8) + (- 10) = - (8 + 10) = -18

c) (-16) + (+7) = - 16 + 7 = -9

d) (+4) + (-8) + (-25) = + (-25) = -25 = -4 -25 = -29

e) (-8) - (+15) = (-8) + (-15) = -8 - 15 = -23

f) (+3) x (+9) = 3 x 9 = 27

g) (- 4) x (-11) = 4 x 11 = 44

h) (+5) x (-12) = - 5 x 12 = -60

i) (-2) ³ = (-2) x (-2) x (-2) = - 8

Lösta övningar

- Övning 1

En myra rör sig längs siffrelinjen i figur 1. Från och med punkten x = +3 gör den följande rörelser:

-Förflyttar 7 enheter till höger

-Nu returnerar du 5 enheter till vänster

-Väg ytterligare 3 enheter till vänster.

-Han går tillbaka och flyttar 4 enheter till höger.

Vid vilken tidpunkt är myran i slutet av turnén?

Lösning

Låt oss kalla förflyttningarna D. När de är till höger får de ett positivt tecken och när de är till vänster ett negativt tecken. På detta sätt och med början från x = +3 har vi:

-Första D: x ₁ = +3 + 7 = +10

-Sekund D: x ₂ = +10 + (-5) = +5

- Tredje D: x ₃ = +5 + (-3) = +2

-Rum D: x ₄ = +2 + 4 = +6

När myran avslutar sin gång är den i läget x = +6. Det vill säga det är 6 enheter till höger om 0 på sifferraden.

- Övning 2

Lös följande åtgärd:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]}

Lösning

Denna operation innehåller grupperingstecken, som är parenteser, fyrkantiga parenteser och hängslen. När du löser måste du ta hand om parenteserna först, sedan parenteserna och slutligen hängslen. Med andra ord måste du arbeta inifrån och ut.

I denna övning representerar punkten en multiplikation, men om det inte finns någon punkt mellan ett tal och en parentes eller en annan symbol förstås det också vara en produkt.

Under upplösningen steg för steg fungerar färgerna som en guide för att följa resultatet av att minska parenteserna, som är de innersta grupperingssymbolerna:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]} =

= {36 +}. {- + 2 (-2)]} =

= {36 +}. {- 4]} =

= {52}. {1- 4]} = {52}. {- 3} = -156

- Övning 3

Lös första gradsekvationen:

12 + x = 30 + 3x

Lösning

Villkoren är grupperade med det okända till vänster om jämställdheten och de numeriska termerna till höger:

x - 3x = 30 - 12

- 2x = 18

x = 18 / (-2)

x = - 9

referenser

1. Carena, M. 2019. Matematikhandbok för universitetet. Litorals universitet.
2. Figuera, J. 2000. Matematik i sjunde klass. CO-BO-utgåvor.
3. Hoffmann, J. 2005. Val av matematikämnen. Monfort-publikationer.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Hela siffrorna. Återställd från: Cimanet.uoc.edu.