RIKTIGA NUMMER: HISTORIK, EXEMPEL, EGENSKAPER, OPERATIONER - MATTE - 2025

De verkliga siffrorna utgör den numeriska uppsättningen som inkluderar de naturliga siffrorna, heltal, det rationella och det irrationella. De betecknas med symbolen ℝ eller helt enkelt R och deras omfattning inom vetenskap, teknik och ekonomi är sådan att när man talar om ”antal”, är det nästan för givet att det är ett riktigt tal.

Riktiga nummer har använts sedan antiken, även om de inte fick det namnet. Från det att Pythagoras utvecklade sin berömda teorem uppstod siffror som inte kunde erhållas som kvoter av naturliga tal eller heltal.

Figur 1. Venn-diagram som visar hur uppsättningen med verkliga siffror innehåller de andra siffrorna Källa> Wikimedia Commons.

Exempel på siffror är √2, √3 och π. Dessa nummer kallas irrationella, i motsats till rationella siffror, som kommer från kvoter med hela siffror. Det var därför nödvändigt en numerisk uppsättning som omfattar båda sifferklasserna.

Termen "verkligt antal" skapades av den stora matematikern René Descartes (1596-1650) för att skilja mellan de två typerna av rötter som kan uppstå genom att lösa en polynomekvation.

Vissa av dessa rötter kan till och med vara rötter av negativa siffror, Descartes kallade dessa "imaginära siffror" och de som inte var, var riktiga siffror.

Valören fortsatte med tiden och gav upphov till två stora numeriska uppsättningar: verkliga siffror och komplexa siffror, en större uppsättning som inkluderar verkliga siffror, imaginära siffror och de som är en del verkliga och delvis imaginära.

Utvecklingen av verkliga siffror fortsatte sin gång tills 1872, matematikern Richard Dedekind (1831-1936) formellt definierade uppsättningen riktiga nummer genom de så kallade Dedekind-nedskärningarna. Syntesen av hans verk publicerades i en artikel som såg ljuset samma år.

Exempel på verkliga siffror

Tabellen nedan visar exempel på verkliga siffror. Denna uppsättning har som delmängder de naturliga siffrorna, heltal, det rationella och det irrationella. Vilket antal som helst av dessa uppsättningar är i sig ett verkligt nummer.

Därför är 0 negativa, positiva, fraktioner och decimaler verkliga siffror.

Figur 2. Exempel på reella tal är naturliga, heltal, rationella, irrationella och transcendenta. Källa: F. Zapata.

Representation av verkliga siffror på den riktiga linjen

Verkliga siffror kan representeras på den riktiga linjen R , som visas i figuren. Det är inte nödvändigt att 0 alltid är närvarande, men det är bekvämt att veta att de negativa realerna är till vänster och de positiva till höger. Det är därför det är en utmärkt referenspunkt.

På den riktiga linjen tas en skala, där heltalen hittas: … 3, -2, -1, 1, 2, 3 …. Pilen indikerar att linjen sträcker sig till oändlighet. Men det är inte allt, i något betraktat intervall kommer vi också alltid hitta oändliga verkliga siffror.

De verkliga siffrorna representeras i ordning. Till att börja med finns det heltalens ordning, där positiven alltid är större än 0, medan negativerna är mindre.

Denna ordning hålls inom de verkliga siffrorna. Följande ojämlikheter visas som ett exempel:

a) -1/2 <√2

b) e <π

c) π> -1/2

Bild 3.- Den riktiga linjen. Källa: Wikimedia Commons.

Egenskaper för verkliga siffror

-Realtal inkluderar naturliga siffror, heltal, rationella nummer och irrationella nummer.

-Den kommutativa egenskapen för tillägg uppfylls: tilläggens ordning förändrar inte summan. Om a och b är två riktiga siffror är det alltid sant att:

a + b = b + a

-0 är det neutrala elementet i summan: a + 0 = a

-För summan fullgörs den associerande egenskapen. Om a, b och c är verkliga siffror: (a + b) + c = a + (b + c).

-Motsatsen till ett riktigt tal är -a.

-Subtraktionen definieras som summan av motsatsen: a - b = a + (-b).

-Den kommutativa egenskapen är uppfylld: faktorns ordning förändrar inte produkten: ab = ba

-I produkten tillämpas också den associerande egenskapen: (ab) .c = a. (Bc)

-Den 1 är det neutrala elementet i multiplikationen: a.1 = a

-Den multiplikationsfördelningsegenskapen är giltig med avseende på tillägg: a. (b + c) = ab + ac

-Division med 0 definieras inte.

-Alla verkliga siffrorna a, förutom 0, har en multiplikativ invers av ^-1 så att aa ^-1 = 1.

-Om a är ett reellt tal: a ⁰ = 1 och a ¹ = a.

- Det absoluta värdet eller modulen för ett verkligt nummer är avståndet mellan nämnda nummer och 0.

Verksamhet med verkliga siffror

Med de verkliga siffrorna kan du utföra de operationer som görs med de andra siffrorna, inklusive tillägg, subtraktion, multiplikation, division, empowerment, radication, logaritmer och mer.

Som alltid definieras inte uppdelningen med 0, inte heller logaritmerna för negativa tal eller 0, även om det är sant att log 1 = 0 och att logaritmerna för siffror mellan 0 och 1 är negativa.

tillämpningar

Användningen av verkliga siffror i alla slags situationer är extremt varierande. Verkliga siffror visas som svar på många problem inom exakt vetenskap, datavetenskap, teknik, ekonomi och samhällsvetenskap.

Alla typer av magneter och mängder som avstånd, tider, krafter, ljudintensitet, pengar och många fler har sitt uttryck i verkliga tal.

Överföringen av telefonsignaler, bilden och ljudet från en video, temperaturen på en luftkonditioneringsapparat, en värmare eller ett kylskåp kan styras digitalt, vilket innebär att fysiska mängder omvandlas till numeriska sekvenser.

Detsamma händer när du gör en banktransaktion via Internet eller konsulterar snabbmeddelanden. De verkliga siffrorna finns överallt.

Träningen löst

Vi kommer att se med övningar hur dessa nummer fungerar i vanliga situationer vi möter dagligen.

Övning 1

Postkontoret accepterar endast paket för vilka längden, plus omkretsmätningen, inte överstiger 108 tum. För att det visade paketet ska accepteras måste det därför uppfyllas att:

L + 2 (x + y) <108

a) Kommer ett paket som är 6 tum brett, 8 tum högt och 5 fot långt att klara det igenom?

b) Vad sägs om en som mäter 2 x 2 x 4 fot ³ ?

c) Vad är den högsta acceptabla höjden för ett paket vars bas är kvadratisk och mäter 9 x 9 tum ² ?

Svara på

L = 5 fot = 60 tum

x = 6 tum

y = 8 tum

Åtgärden att lösa är:

L + 2 (x + y) = 60 + 2 (6 + 8) tum = 60 + 2 x 14 tum = 60 + 28 tum = 88 tum

Paketet accepteras.

Svar b

Måtten på detta paket är mindre än paketet a) så att de båda klarar det.

Svar c

I detta paket:

x = L = 9 tum

Det måste observeras att:

9+ 2 (9 + y) <108

27 + 2y <108

2y <81

och ≤ 40,5 tum

referenser

1. Carena, M. 2019. Matematikhandbok för universitetet. Litorals universitet.
2. Diego, A. Riktiga nummer och deras egenskaper. Återställd från: matematica.uns.edu.ar.
3. Figuera, J. 2000. Matematik 9. Grad. CO-BO-utgåvor.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Stewart, J. 2006. Precalculus: Mathematics for Calculus. 5:e. Utgåva. Cengage Learning.