- Demo och formler
- exempel
- Exempel 1
- Exempel 2
- Lösta övningar
- - Övning 1
- lösningar
- - Övning 2
- lösningar
- referenser
De cirkulära permutationerna är olika typer av grupperingar av alla element i en uppsättning, när de ska arrangeras i cirklar. I denna typ av permutation är ordningen viktig och elementen upprepas inte.
Anta till exempel att du vill veta antalet distinkta uppsättningar med siffror en till fyra, placera varje nummer på en av hörnet i en romb. Dessa skulle vara totalt 6 arrangemang:
Det bör inte förvirras att nummer ett är i rombens övre läge i alla fall som en fast position. Cirkulära permutationer ändras inte genom rotationen av matrisen. Följande är en enda eller samma permutation:
Demo och formler
I exemplet med de olika 4-siffriga cirkulära matriserna placerade vid topparna på en romb, kan antalet matriser (6) hittas så här:
1- Vilken som helst av de fyra siffrorna tas som utgångspunkt vid någon av topparna och går vidare till nästa topp. (det spelar ingen roll om den vrids medurs eller moturs)
2- Det finns tre alternativ kvar för att välja det andra toppunktet, sedan finns det två alternativ för att välja det tredje toppunktet, och naturligtvis finns det bara ett valalternativ för det fjärde toppunktet.
3- Således erhålls antalet cirkulära permutationer, betecknade med (4 - 1) P (4 - 1) av produkten av urvalsalternativen i varje position:
(4 - 1) P (4 - 1) = 3 * 2 * 1 = 6 olika fyrsiffriga cirkulära arrayer.
I allmänhet är antalet cirkulära permutationer som kan uppnås med alla n-elementen i en uppsättning:
(n - 1) P (n - 1) = (n - 1)! = (n - 1) (n - 2) … (2) (1)
Observera att (n - 1)! Det är känt som n factorial och förkortar produkten av alla siffror från numret (n - 1) till nummer ett, inklusive.
exempel
Exempel 1
Hur många olika sätt måste 6 personer sitta vid ett cirkulärt bord?
Du vill hitta antalet olika sätt som 6 personer kan sitta runt ett runt bord.
Antal sätt att sitta = (6 - 1) P (6 - 1) = (6 - 1)!
Antal sätt att sitta = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 olika sätt
Exempel 2
Hur många olika sätt måste fem personer för att lokalisera sig själva vid en femkantig topp?
Antalet sätt på vilket 5 personer kan vara belägna vid var och en av topparna på en femkantig sida söks.
Antal sätt att lokalisera = (5 - 1) P (5 - 1) = (5 - 1)!
Antal sätt att lokalisera = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 olika sätt
Lösta övningar
- Övning 1
En juvelerare förvärvar 12 olika ädelstenar för att placera dem i de punkter på timmarna på en klocka som han förbereder på uppdrag av kunghuset i ett europeiskt land.
a) Hur många olika sätt måste han ordna stenarna på klockan?
b) Hur många olika former har den om stenen som går till klockan 12 är unik?
c) Hur många olika former om stenen klockan 12 är unik och stenarna vid de tre andra kardinalpunkterna, 3, 6 och 9; Finns det tre speciella stenar som kan bytas ut och resten av timmarna tilldelas från resten av stenarna?
lösningar
a) Antalet sätt att ordna alla stenar på klockans omkrets begärs; det vill säga antalet cirkulära arrangemang som involverar alla tillgängliga stenar.
Antal arrangemang på klockan = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!
Antal fixar på klockan = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Antal arrangemang på klockan = 39976800 olika former
b) Han undrar hur många olika sätt att beställa finns, och vet att stenen på klockan 12 är unik och fixerad; det vill säga antalet cirkulära arrangemang som involverar de återstående 11 stenarna.
Antal arrangemang på klockan = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!
Antal fixar på klockan = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Antal arrangemang på klockan = 3 628 800 olika former
c) Slutligen söks antalet sätt att beställa alla stenar med undantag för klockan 12 som är fixerad, 3, 6 och 9 stenarna som har 3 stenar som ska tilldelas varandra; det vill säga 3! arrangemangsmöjligheter och antalet cirkulära arrangemang som involverar de återstående åtta stenarna.
Antal fixar i klockan = 3! * = 3! * (8–1)!
Antal arrangemang i klockan = (3 * 2 * 1) (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)
Antal arrangemang på klockan = 241920 olika former
- Övning 2
Styrelsens kommitté består av åtta medlemmar och de möts vid ett ovalt bord.
a) Hur många olika former av arrangemang runt bordet har kommittén?
b) Anta att ordföranden sitter vid bordet i en kommittéordning, hur många olika former av arrangemang har resten av utskottet?
c) Anta att vice ordföranden och sekreteraren sitter på vardera sidan av presidenten i något arrangemang av utskottet. Hur många olika beställningsformer har resten av utskottet?
lösningar
a) Vi vill hitta antalet olika sätt att ordna de 12 medlemmarna i utskottet runt det ovala bordet.
Antal kommittéarrangemang = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!
Antalet utskottsarrangemang = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Antalet kommittéarrangemang = 39976800 olika former
b) Eftersom utskottsordföranden är i en fast position söks antalet sätt att beställa de återstående 11 kommittémedlemmarna runt det ovala bordet.
Antal kommittéarrangemang = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!
Antalet utskottsarrangemang = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Antal utskottsarrangemang = 3 628 800 olika former
c) Presidenten ligger i en fast position och till sidorna är vice ordförande och sekreterare med två möjligheter att ordna: vice president på höger och sekreterare på vänster eller vice president på vänster och sekreterare på höger sida. Då vill du hitta antalet olika sätt att ordna de återstående 9 ledamöterna i utskottet runt det ovala bordet och multiplicera med de två formerna för arrangemang som vice ordförande och sekreterare har.
Antal utskottsarrangemang = 2 * = 2 *
Antal utskottsarrangemang = 2 * (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)
Antalet kommittéarrangemang = 80640 olika former
referenser
- Boada, A. (2017). Användning av permutation med repetition som lärande av experiment. Vivat Academia Magazine. Återställs från researchgate.net.
- Canavos, G. (1988). Sannolikhet och statistik. Tillämpningar och metoder. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
- Glas, G .; Stanley, J. (1996). Statistiska metoder som inte tillämpas inom samhällsvetenskapen. Prentice Hall Hispanoamericana SA
- Spiegel, M .; Stephens, L. (2008). Statistik. Fjärde upplagan McGraw-Hill / Interamericana de México SA
- Walpole, R .; Myers, R .; Myers, S .; Ja, Ka. (2007). Sannolikhet och statistik för ingenjörer och forskare. Åttonde upplagan Pearson Education International Prentice Hall.
- Webster, A. (2000). Statistik tillämpad på näringsliv och ekonomi. Tredje upplagan McGraw-Hill / Interamericana SA
- Wikipedia. (2019). Permutation. Återställs från en.wikipedia.org.