PERMUTATIONER UTAN UPPREPNING: FORMLER, BEVIS, ÖVNINGAR, EXEMPEL - DUDAS - 2025

En permutation utan upprepning av n-element är de olika grupperna av olika element som kan erhållas genom att inte upprepa något element, endast variera ordningen för att placera elementen.

För att ta reda på antalet permutationer utan upprepning används följande formel:

Pn = n!

Vilken utvidgad skulle vara Pn = n! = n (n - 1) (n - 2) … (2) (1).

Så i det föregående praktiska exemplet skulle det tillämpas enligt följande:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 olika 4-siffriga siffror.

Dessa är totalt 24 matriser: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8462, 8624, 8642.

Som man kan se finns det i alla fall ingen upprepning, det är 24 olika siffror.

Demo och formler

24 Arrangemang av 4 olika figurer

Vi kommer att analysera mer specifikt exemplet med de 24 olika fyrsiffriga arrangemangen som kan bildas med siffrorna i siffran 2468. Antalet arrangemang (24) kan kallas enligt följande:

Du har fyra alternativ för att välja den första siffran, som lämnar 3 alternativ för att välja den andra. Två siffror har redan ställts in och två alternativ återstår för att välja den tredje siffran. Den sista siffran har bara ett valalternativ.

Därför erhålls antalet permutationer, betecknade med P4, av produkten av urvalsalternativen i varje position:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 olika 4-siffriga siffror

I allmänhet är antalet olika permutationer eller arrangemang som kan utföras med alla n-elementen i en given uppsättning:

Pn = n! = n (n - 1) (n - 2) … (2) (1)

Uttrycket n! Det är känt som n factorial och betyder produkten av alla naturliga nummer som ligger mellan siffran n och nummer ett, inklusive båda.

12 Arrangemang av 2 olika figurer

Anta nu att du vill veta antalet permutationer eller tvåsiffriga siffror som kan bildas med siffrorna i siffran 2468.

Dessa skulle vara 12 arrangemang totalt: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86

Du har fyra alternativ för att välja den första siffran, som lämnar 3 siffror för att välja den andra. Därför erhålls antalet permutationer för de fyra siffrorna som tagits två för två, betecknade med 4P2, av produkten av urvalsalternativ i varje position:

4P2 = 4 * 3 = 12 olika tvåsiffriga siffror

I allmänhet är antalet olika permutationer eller arrangemang som kan utföras med r-element av n totalt i en given uppsättning:

nPr = n (n - 1) (n - 2) …

Ovanstående uttryck trunkeras innan du spelar n!. För att slutföra n! från det bör vi skriva:

n! = n (n - 1) (n - 2) … (n - r) … (2) (1)

De faktorer som vi lägger till representerar i sin tur ett faktorium:

(n - r) … (2) (1) = (n - r)!

Således,

n! = n (n - 1) (n - 2) … (n - r) … (2) (1) = n (n - 1) (n - 2) … (n - r)!

Härifrån

n! / (n - r)! = n (n - 1) (n - 2) … = nPr

exempel

Exempel 1

Hur många olika bokstäver med 5 bokstäver kan konstrueras med bokstäverna i ordet KEY?

Vi vill hitta antalet olika bokstavskombinationer med 5 bokstäver som kan byggas med de fem bokstäverna i ordet KEY; det vill säga antalet 5-bokstavsuppsättningar som omfattar alla tillgängliga bokstäver i ordet KEY.

Antal 5 bokstavsord = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 olika 5-bokstavskombinationer.

Dessa skulle vara: CLAVE, VELAC, LCAEV, VLEAC, ECVLAC … upp till 120 olika bokstavskombinationer totalt.

Exempel 2

Du har 15 numrerade bollar och du vill veta hur många olika grupper med 3 bollar som kan byggas med de 15 numrerade bollarna?

Du vill hitta antalet grupper med 3 bollar som kan göras med de 15 numrerade bollarna.

Antal grupper med 3 bollar = 15P3 = 15! / (15 - 3)!

Antal grupper med 3 bollar = 15 * 14 * 13 = 2730 grupper med 3 bollar

Lösta övningar

Övning 1

En fruktbutik har en utställning som består av en rad fack belägen i entrén till lokalerna. På en dag förvärvar grönsaken till försäljning: apelsiner, bananer, ananas, päron och äpplen.

a) Hur många olika sätt måste du beställa utställningen?

b) Hur många olika sätt måste du beställa standen om du förutom de nämnda frukterna (5) fick den dagen: mango, persikor, jordgubbar och druvor (4)?

a) Vi vill hitta antalet olika sätt att beställa alla frukter i displayraden; det vill säga antalet arrangemang av 5 fruktartiklar som omfattar alla frukter som är tillgängliga för försäljning den dagen.

Antal monterarrangemang = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Antal monterarrangemang = 120 sätt att presentera stativet

b) Vi vill hitta antalet olika sätt att beställa alla frukter i displayraden om ytterligare 4 artiklar lagts till; det vill säga antalet arrangemang av 9 fruktartiklar som omfattar alla frukter som är tillgängliga för försäljning den dagen.

Antal monterarrangemang = P9 = 9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Antal monterarrangemang = 362 880 sätt att presentera stativet

Övning 2

Ett litet matuttag har en tomt med tillräckligt med utrymme för att parkera 6 fordon.

a) Hur många olika sätt att beställa fordon på tomten kan väljas?

b) Anta att en sammanhängande tomt förvärvas vars dimensioner gör det möjligt att parkera 10 fordon. Hur många olika former av fordonsarrangemang kan väljas nu?

a) Vi vill hitta antalet olika sätt att beställa de 6 fordon som kan hysas på tomten.

Antal arrangemang för de 6 fordonen = P6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Antal arrangemang av de 6 fordonen = 720 olika sätt att beställa de 6 fordonen på tomten.

b) Vi vill hitta antalet olika sätt att beställa de 10 fordon som kan hysas på tomten efter utvidgningen av tomten.

Antal arrangemang för de 10 fordonen = P10 = 10!

Antal fordonsarrangemang = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Antal arrangemang av de 10 fordonen = 3 628 800 olika sätt att beställa de 10 fordonen på tomten.

Övning 3

En blomsterhandlare har blommor i 6 olika färger för att göra blommiga flaggor av nationer som bara har 3 färger. Om det är känt att färgens ordning är viktig i flaggorna,

a) Hur många olika flaggor med tre färger kan göras med de 6 tillgängliga färgerna?

b) Säljaren köper blommor med ytterligare 2 färger till de 6 han redan hade, hur många olika flaggor med tre färger kan man göra?

c) Eftersom du har 8 färger bestämmer du dig för att utöka ditt sortiment av flaggor. Hur många olika 4-färgsflaggor kan du göra?

d) Hur många av två färger?

a) Vi vill hitta antalet olika flaggor med 3 färger som kan göras genom att välja bland de 6 tillgängliga färgerna.

Antal flaggor med 3 färger = 6P3 = 6! / (6 - 3)!

Antal flaggor med 3 färger = 6 * 5 * 4 = 120 flaggor

b) Du vill hitta antalet olika flaggor med 3 färger som kan göras genom att välja bland de 8 tillgängliga färgerna.

Antal 3-färgsflaggor = 8P3 = 8! / (8 - 3)!

Antal flaggor med 3 färger = 8 * 7 * 6 = 336 flaggor

c) Antalet olika 4-färgsflaggor som kan göras genom att välja bland de 8 tillgängliga färgerna måste beräknas.

Antal 4-färgsflaggor = 8P4 = 8! / (8 - 4)!

Antal flaggor med 4 färger = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680 flaggor

d) Du vill bestämma antalet olika tvåfärgade flaggor som kan göras genom att välja bland de 8 tillgängliga färgerna.

Antal flaggor med två färger = 8P2 = 8! / (8 - 2)!

Antal tvåfärgade flaggor = 8 * 7 = 56 flaggor

referenser

1. Boada, A. (2017). Användning av permutation med repetition som lärande av experiment. Vivat Academia Magazine. Återställs från researchgate.net.
2. Canavos, G. (1988). Sannolikhet och statistik. Tillämpningar och metoder. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
3. Glas, G .; Stanley, J. (1996). Statistiska metoder som inte tillämpas inom samhällsvetenskapen. Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. Spiegel, M .; Stephens, L. (2008). Statistik. Fjärde upplagan McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Walpole, R .; Myers, R .; Myers, S .; Ja, Ka. (2007). Sannolikhet och statistik för ingenjörer och forskare. Åttonde upplagan Pearson Education International Prentice Hall.
6. Webster, A. (2000). Statistik tillämpad på näringsliv och ekonomi. Tredje upplagan McGraw-Hill / Interamericana SA
7. (2019). Permutation. Återställs från en.wikipedia.org.