VILLKORAD SANNOLIKHET: FORMEL OCH EKVATIONER, EGENSKAPER, EXEMPEL - DUDAS - 2025

Den villkorade sannolikheten är möjligheten att inträffa en viss händelse, med tanke på att en annan inträffar som ett villkor. Denna ytterligare information kan (eller kanske inte) ändra uppfattningen att något kommer att hända.

Till exempel kan vi fråga oss själva: "Vad är det troligt att det regnar idag, med tanke på att det inte har regnat på två dagar?" Den händelse för vilken vi vill veta sannolikheten är att det regnar idag, och den ytterligare information som skulle förutsätta svaret är att "det har inte regnat på två dagar."

Bild 1. Sannolikheten för att det kommer att regna idag med tanke på att det regnade igår är också ett exempel på villkorad sannolikhet. Källa: Pixabay.

Låt ett sannolikhetsutrymme vara sammansatt av Ω (exempelutrymme), ℬ (slumpmässiga händelser) och P (sannolikheten för varje händelse), plus händelserna A och B som tillhör ℬ.

Den villkorade sannolikheten för att A inträffar, med tanke på att B inträffade, som betecknas som P (A│B), definieras enligt följande:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A och B) / P (B)

Där: P (A) är sannolikheten för förekomst av A, P (B) är sannolikheten för händelse B och skiljer sig från 0, och P (A∩B) är sannolikheten för skärningspunkten mellan A och B, dvs. , sannolikheten för att båda händelserna inträffar (gemensam sannolikhet).

Detta är ett uttryck för Bayes teorem tillämpat på två händelser, föreslagna 1763 av den engelska teologen och matematikern Thomas Bayes.

Egenskaper

-Alla villkorade sannolikheten är mellan 0 och 1:

0 ≤ P (A│B) ≤ 1

-Sannolikheten för att händelse A inträffar, med tanke på att nämnda händelse inträffar, är uppenbarligen 1:

P (AAA) = P (AAA) / P (A) = P (A) / P (A) = 1

-Om två händelser är exklusiva, det vill säga händelser som inte kan hända samtidigt, är den villkorade sannolikheten för att en av dem händer 0, eftersom skärningspunkten är noll:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = 0 / P (B) = 0

-Om B är en delmängd av A, är den villkorade sannolikheten också 1:

P (BAA) = P (A∩B) / P (A) = 1

Viktig

P (A│B) är i allmänhet inte lika med P (B│A), därför måste vi vara noga med att inte utbyta händelserna när vi hittar den villkorade sannolikheten.

Allmän regel om multiplikation

Många gånger vill du hitta den gemensamma sannolikheten P (A∩B), snarare än den villkorade sannolikheten. Sedan har vi genom följande teorem:

P (A∩B) = P (A och B) = P (A│B). P (B)

Satsen kan förlängas för tre händelser A, B och C:

P (A∩B∩C) = P (A och B och C) = P (A) P (B│A) P (C│A∩B)

Och även för olika händelser, såsom A ₁ , A ₂ , A ₃ och mer, kan det uttryckas på följande sätt:

P (A ₁ ∩ A ₂ ∩ A ₃ … ∩ A _n ) = P (A ₁ ). P (A ₂ │A ₁ ). P (A ₃ │A ₁ ∩ A ₂ ) … P (A _n ││A ₁ ∩ A ₂ ∩ … A _n-1 )

När det gäller händelser som inträffar i följd och genom olika steg är det bekvämt att organisera data i ett diagram eller en tabell. Detta gör det lättare att visualisera alternativen för att nå den begärda sannolikheten.

Exempel är träddiagrammet och beredskapstabellen. Från en av dem kan du bygga den andra.

Exempel på villkorad sannolikhet

Låt oss titta på några situationer där sannolikheten för en händelse ändras av förekomsten av en annan:

- Exempel 1

Två typer av kakor säljs i en söt butik: jordgubbar och choklad. Genom att registrera preferenser för 50 klienter av båda könen bestämdes följande värden:

-27 kvinnor, varav 11 föredrar jordgubbkaka och 16 choklad.

-23 män: 15 väljer choklad och 8 jordgubbar.

Sannolikheten för att en kund väljer en chokladkaka kan bestämmas genom att tillämpa Laplaces regel, enligt vilken sannolikheten för varje händelse är:

P = antal gynnsamma händelser / totalt antal händelser

I detta fall av 50 kunder föredrar totalt 31 choklad, så sannolikheten skulle vara P = 31/50 = 0,62. Det vill säga 62% av kunderna föredrar chokladkaka.

Men skulle det vara annorlunda om klienten är en kvinna? Detta är ett fall av villkorad sannolikhet.

Beredskapstabell

Med hjälp av en beredskapstabell som denna visas summan enkelt:

Då observeras de gynnsamma fallen och Laplaces regel tillämpas, men först definierar vi händelserna:

-B är "kvinnlig kund" -händelse.

-En är händelsen "föredrar chokladkaka" som kvinna.

Vi går till kolumnen "kvinnor" och där ser vi att det totala är 27.

Då söks det gynnsamma fallet i raden "choklad". Det finns 16 av dessa händelser, och därför är sannolikheten direkt:

P (AB) = 16/27 = 0,5924

59,24% av kvinnliga kunder föredrar chokladkaka.

Detta värde matchar när vi kontrasterar det med den ursprungligen givna definitionen av villkorad sannolikhet:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B)

Vi ser till att använda Laplaces regel och tabellvärden:

P (B) = 27/50

P (A och B) = 16/50

Där P (A och B) är sannolikheten för att kunden föredrar choklad och är en kvinna. Nu ersätts värdena:

P (AB) = P (A och B) / P (B) = (16/50) / (27/50) = 16/27 = 0,5924.

Och det är bevisat att resultatet är detsamma.

- Exempel 2

I det här exemplet gäller regeln om multiplikation. Anta att det finns byxor i tre storlekar som visas i en butik: små, medelstora och stora.

I mycket med totalt 24 byxor, av vilka det finns 8 i varje storlek och alla är blandade, vad skulle det vara troligt att extrahera två av dem och att båda var små?

Det är uppenbart att sannolikheten för att ta bort en liten byxa vid första försöket är 8/24 = 1/3. Nu är den andra extraktionen villkorad av den första händelsen, eftersom när man tar bort ett byxepar är det inte längre 24, men 23. Och om en liten byxa tas bort, finns det 7 istället för 8.

Händelse A drar en liten byxa efter att ha dragit en annan i första försöket. Och händelse B är den med små byxorna första gången. Således:

P (B) = 1/3; P (A│B) = 7/24

Slutligen använder du multiplikationsregeln:

P (A∩B) = (7/24). (1/3) = 7/72 = 0,097

Träningen löst

I en studie av punktlighet på kommersiella flygningar är följande data tillgängliga:

-P (B) = 0,83, är sannolikheten för att ett plan startar i tid.

-P (A) = 0,81, är sannolikheten för att landa i tid.

-P (B∩A) = 0,78 är sannolikheten för att flygningen anländer i tid som startar i tid.

Det uppmanas att beräkna:

a) Vad är sannolikheten för att planet kommer att landa i tid med tanke på att det startade i tid?

b) Är ovanstående sannolikhet samma som sannolikheten som du lämnade i tid om du lyckades landa i tid?

c) Och slutligen: vad är sannolikheten för att den kommer i tid med tanke på att den inte lämnade i tid?

Bild 2. Punktlighet på kommersiella flygningar är viktig eftersom förseningar genererar miljontals dollar i förluster. Källa: Pixabay.

Lösning till

För att besvara frågan används definitionen av villkorad sannolikhet:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A och B) / P (B) = 0,78 / 0,83 = 0,9398

Lösning b

I detta fall utbyts händelserna i definitionen:

P (BAA) = P (A∩B) / P (A) = P (A och B) / P (A) = 0,78 / 0,81 = 0,99630

Observera att denna sannolikhet är något annorlunda än den tidigare, som vi påpekade tidigare.

Lösning c

Sannolikheten för att inte lämna i tid är 1 - P (B) = 1 - 0,83 = 0,17, vi kommer att kalla det P (B ^C ), eftersom det är den kompletterande händelsen att starta i tid. Den begärda villkoren är:

P (A│B ^C ) = P (A∩B ^C ) / P (B ^C ) = P (A och B ^C ) / P (B ^C )

Å andra sidan:

P (A∩B ^C ) = P (landar i tid) - P (landar i tid och startar i tid) = 0,81-0,78 = 0,03

I detta fall är den villkorade sannolikheten:

P (A ^ ^C ) = 0,03 / 0,17 = 0,1765

referenser

1. Canavos, G. 1988. Sannolikhet och statistik: Tillämpningar och metoder. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Probability and Statistics for Engineering and Science. 8:e. Utgåva. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Probability. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989. Teorin om sannolikhet. Redaktionell Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Sannolikhet och statistik för teknik och vetenskap. Pearson.
6. Wikipedia. Villkorad sannolikhet. Återställd från: es.wikipedia.org.