TEORETISK SANNOLIKHET: HUR MAN FÅR DET, EXEMPEL, ÖVNINGAR - DUDAS - 2025

Den teoretiska (eller Laplace) sannolikheten för att en händelse E inträffar som tillhör ett provutrymme S, där alla händelser har samma sannolikhet att inträffa, definieras i matematisk notation som: P (E) = n (E) / N (S)

Där P (E) är sannolikheten, angiven som kvoten mellan det totala antalet möjliga utfall för händelse E, som vi kallar n (E), dividerat med det totala antalet N (S) av möjliga utfall i provutrymmet S.

Bild 1. När man kastar en sexsidig munstycke är den teoretiska sannolikheten för att det trepunkta huvudet är ovanpå ⅙. Källa: Pixabay.

Den teoretiska sannolikheten är ett verkligt tal mellan 0 och 1, men det uttrycks ofta i procent, i vilket fall sannolikheten kommer att vara ett värde mellan 0% och 100%.

Att beräkna sannolikheten för att ett evenemang inträffar är mycket viktigt inom många områden, såsom handel, försäkringsbolag, spel och många fler.

Hur får man den teoretiska sannolikheten?

Ett illustrativt fall är fallet med lotterier eller lotterier. Anta att 1 000 biljetter utfärdas för att raffla en smartphone. Eftersom ritningen görs slumpmässigt har någon av biljetterna samma chans att bli en vinnare.

För att hitta sannolikheten för att en person som köper en biljett med numret 81 är en vinnare utförs följande teoretiska sannolikhetsberäkning:

P (1) = 1/1 000 = 0,001 = 0,1%

Ovanstående resultat tolkas på följande sätt: om dragningen upprepades oändligt många gånger, skulle varje 1000 gånger biljett 81 väljas i genomsnitt en gång.

Om någon av någon anledning förvärvar alla biljetter är det säkert att de kommer att vinna priset. Sannolikheten att vinna priset om du har alla biljetter beräknas enligt följande:

P (1 000) = 1 000/1 000 = 1 = 100%.

Det vill säga att sannolikheten 1 eller 100% betyder att det är helt säkert att detta resultat kommer att inträffa.

Om någon äger 500 biljetter är chansen att vinna eller förlora samma. Den teoretiska sannolikheten att vinna priset i detta fall beräknas enligt följande:

P (500) = 500/1 000 = ½ = 0,5 = 50%.

Den som inte köper någon biljett har ingen chans att vinna och hans teoretiska sannolikhet bestäms enligt följande:

P (0) = 0/1 000 = 0 = 0%

exempel

Exempel 1

Du har ett mynt med ett ansikte på ena sidan och en sköld eller försegling på den andra. När myntet kastas, vad är den teoretiska sannolikheten för att det kommer upp?

P (ansikte) = n (ansikte) / N (ansikte + sköld) = ½ = 0,5 = 50%

Resultatet tolkas på följande sätt: om ett stort antal kast gjordes, skulle i genomsnitt i varje 2 kast kastas en av dem.

I procentuella termer är tolkningen av resultatet att genom att göra ett oändligt stort antal kastar, skulle i genomsnitt av 100 av dem resultera i huvuden.

Exempel 2

I en låda finns 3 blå kulor, 2 röda kulor och 1 grön. Vad är den teoretiska sannolikheten att när du tar en marmor ur lådan blir den röd?

Bild 2. Sannolikhet för extraktion av färgade kulor. Källa: F. Zapata.

Sannoliken att det kommer ut rött är:

P (röd) = Antal gynnsamma ärenden / Antal möjliga ärenden

Det vill säga:

P (röd) = Antal röda kulor / Totalt antal kulor

Slutligen är sannolikheten för att en röd marmor dras:

P (röd) = 2/6 = ⅓ = 0,3333 = 33,33%

Medan sannolikheten att när man drar en grön marmor är:

P (grön) = ⅙ = 0,1666 = 16,66%

Slutligen är den teoretiska sannolikheten för att få en blå marmor i en blind extraktion:

P (blå) = 3/6 = ½ = 0,5 = 50%

Det vill säga att resultatet för varje två försök blir blått i en av dem och en annan färg i ett annat försök under förutsättningen att den utvunna marmorn ersätts och att antalet försök är mycket, mycket stort.

övningar

Övning 1

Bestäm sannolikheten för att rulla ett munstycke kommer att få ett värde mindre än eller lika med 4.

Lösning

För att beräkna sannolikheten för att denna händelse inträffar kommer definitionen av teoretisk sannolikhet att tillämpas:

P (≤4) = Antal gynnsamma ärenden / Antal möjliga fall

P (≤5) = 5/6 = = 83,33%

Övning 2

Hitta sannolikheten att 5 i två på varandra följande kast av en normal sexsidig munstycke kommer 5 att rulla två gånger.

Lösning

För att besvara denna övning, skapa en tabell för att visa alla möjligheter. Den första siffran indikerar resultatet av det första munstycket och det andra resultatet av det andra.

För att beräkna den teoretiska sannolikheten behöver vi veta det totala antalet möjliga fall, i det här fallet, som framgår av föregående tabell, finns det 36 möjligheter.

Om man också observerar tabellen kan man dra slutsatsen att antalet fall som är gynnsamma för händelsen som i de två på varandra följande lanseringarna kommer ut endast är 1, markerad med färg, därför är sannolikheten att denna händelse inträffar:

P (5 x 5) = 1/36.

Detta resultat kunde också ha kommit fram till att använda en av egenskaperna för teoretisk sannolikhet, som säger att den kombinerade sannolikheten för två oberoende händelser är produkten av deras individuella sannolikheter.

I detta fall är sannolikheten för att den första kasten kommer att rulla 5 ⅙. Den andra kasten är helt oberoende av den första, därför är sannolikheten för att 5 rullas i den andra också ⅙. Så den kombinerade sannolikheten är:

P (5 × 5) = P (5) P (5) = (1/6) (1/6) = 1/36.

Övning 3

Hitta sannolikheten för att ett nummer mindre än 2 rullas vid den första kasten och att ett nummer större än 2 rullas på den andra.

Lösning

Återigen måste en tabell över möjliga händelser byggas, där de där det första kastet var mindre än 2 och i det andra större än 2 är understrukna.

Totalt finns det 4 möjligheter av totalt 36. Det vill säga sannolikheten för denna händelse är:

P (<2;> 2) = 4/36 = 1/9 = 0.1111 = 11.11%

Med hjälp av sannolikhetssatsen som säger:

Samma resultat erhålls:

P (<2) P (> 2) = (1/6) (4/6) = 4/36 = 0.1111 = 11.11%

Värdet erhållet med denna procedur sammanfaller med föregående resultat med hjälp av den teoretiska eller klassiska definitionen av sannolikhet.

Övning 4

Vad är troligt att summan av värdena är 7 när du rullar två tärningar?

Lösning

För att hitta lösningen i det här fallet har en tabell över möjligheter upprättats där de fall som uppfyller villkoret att summan av värdena är 7 har angetts i färg.

När man tittar på tabellen kan 6 möjliga fall räknas, så sannolikheten är:

P (I + II: 7) = 6/36 = 1/6 = 0,1666 = 16,66%

referenser

1. Canavos, G. 1988. Sannolikhet och statistik: Tillämpningar och metoder. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Probability and Statistics for Engineering and Science. 8:e. Utgåva. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Probability. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989. Teorin om sannolikhet. Redaktionell Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Sannolikhet och statistik för teknik och vetenskap. Pearson.