SIMPSONS REGEL: FORMEL, BEVIS, EXEMPEL, ÖVNINGAR - MATTE - 2025

Den Simpson 's regel är en metod för beräkning, approximativt, bestämda integraler. Det är baserat på att dela integrationsintervallet i ett jämnt antal lika fördelade delintervaller.

De extrema värdena för två på varandra följande delintervaller definierar tre punkter, genom vilka en parabola, vars ekvation är en andra gradens polynom, passar.

Figur 1. I Simpsons metod är integrationsintervallet indelat i ett jämnt antal intervall med samma bredd. Funktionen är ungefärlig med en parabola i varje 2 delintervall och integralen är ungefärlig med summan av området under parabolerna. Källa: upv.es.

Sedan approximeras området under funktionens kurva i de två på varandra följande intervall av interpolationspolynomområdet. Genom att lägga till bidraget till området under parabolen med alla på varandra följande delintervall har vi det ungefärliga värdet på integralen.

Å andra sidan, eftersom integralen av en parabola kan beräknas algebraiskt exakt, är det möjligt att hitta en analytisk formel för det ungefärliga värdet för den definitive integralen. Det är känt som Simpson-formeln.

Felet på det sålunda erhållna ungefärliga resultatet minskar när antalet underavdelningar n är större (där n är ett jämnt antal).

Ett uttryck kommer att ges nedan som möjliggör uppskattning av den övre gränsen för felet i tillnärmningen till integralen I, när en partition av n regelbundna delintervaller av det totala intervallet har gjorts.

Formel

Integrationsintervallet är indelat i n delintervall med n som ett jämnt heltal. Varje underavdelnings bredd kommer att vara:

h = (b - a) / n

På detta sätt görs partitionen över intervallet:

{X0, X1, X2, …, Xn-1, Xn}

Där X0 = a, X1 = X0 + h, X2 = X0 + 2h, …, Xn-1 = X0 + (n-1) h, Xn = X0 + nh = b.

Formeln som gör det möjligt att ungefärliggöra den definitiva integralen I för den kontinuerliga och företrädesvis smidiga funktionen i intervallet är:

Demonstration

För att erhålla Simpsons formel, närmar sig funktionen f (X) i varje delintervall av en andra gradens polynom p (X) (parabola) som passerar genom de tre punkterna:; och.

Därefter beräknas integralen av polynomet p (x) i vilken det ungefär integralen av funktionen f (X) i det intervallet.

Bild 2. Diagram för att demonstrera Simpsons formel. Källa: F. Zapata.

Koefficienter för interpolationspolynomet

Ekvationen för parabolen p (X) har den allmänna formen: p (X) = AX ² + BX + C. När parabolen passerar genom punkterna Q indikerade i rött (se figur), sedan koefficienterna A, B, C bestäms från följande ekvationssystem:

A (-h) ² - Bh + C = f (Xi)

C = f (Xi + 1)

A (h) ² + B h + C = f (Xi + 2)

Det framgår att koefficienten C bestäms. För att bestämma koefficienten A lägger vi till den första och den tredje ekvationen som får:

2 A h ² + 2 C = f (Xi) + f (Xi + 2).

Därefter ersätts värdet på C och A rensas, vilket lämnar:

A = / (2 h ² )

För att bestämma koefficienten B dras den tredje ekvationen från den första och B löses, varvid man erhåller:

B = = 2 timmar.

Sammanfattningsvis har den andra gradens polynom p (X) som passerar genom punkterna Qi, Qi + 1 och Qi + 2 koefficienter:

A = / (2 h ² )

B = = 2 timmar

C = f (Xi + 1)

Beräkning av ungefärlig integral i

Ungefärlig beräkning av integralen i

Som redan nämnts görs en partition {X0, X1, X2, …, Xn-1, Xn} på det totala integrationsintervallet med steg h = Xi + 1 - Xi = (b - a) / n, där n är ett jämnt tal.

Ungefärligt fel

Observera att felet minskar med den fjärde effekten för antalet underindelningar i intervallet. Om du till exempel går från n underavdelningar till 2n minskar felet med en faktor 1/16.

Den övre gränsen för felet erhållet genom Simpsons tillnärmning kan erhållas från samma formel och ersätter det fjärde derivatet med det maximala absoluta värdet för det fjärde derivatet i intervallet.

Utarbetade exempel

- Exempel 1

Tänk på funktionen f (X) = 1 / (1 + X ² ).

Hitta den definitiva integralen av funktionen f (X) på intervallet med Simpsons metod med två underavdelningar (n = 2).

Lösning

Vi tar n = 2. Integrationsgränserna är a = -1 och b = -2, så partitionen ser ut så här:

XO = -1; X1 = 0 och X2 = +1.

Därför har Simpsons formel följande form:

Figur 3. Exempel på numerisk integration genom Simpsons regel med hjälp av programvara. Källa: F. Zapata.

referenser

1. Casteleiro, JM 2002. Comprehensive Calculus (Illustrated Edition). Madrid: ESIC-redaktion.
2. UPV. Simpsons metod. Polytechnic University of Valencia. Återställd från: youtube.com
3. Purcell, E. 2007. Calculus Ninth Edition. Prentice Hall.
4. Wikipedia. Simpsons regel. Återställd från: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Lagrange polynom interpolation. Återställd från: es.wikipedia.com