RÄKNINGSTEKNIKER: TEKNIKER, TILLÄMPNINGAR, EXEMPEL, ÖVNINGAR - DUDAS - 2025

De räkningstekniker är en serie av sannolikhetsmetoder för att räkna antalet möjliga arrangemang inom en uppsättning eller flera uppsättningar av föremål. Dessa används när man gör konton manuellt blir komplicerat på grund av det stora antalet objekt och / eller variabler.

Till exempel är lösningen på detta problem mycket enkel: tänk dig att din chef ber dig räkna de senaste produkterna som har kommit den senaste timmen. I det här fallet kan du gå och räkna produkterna en efter en.

Föreställ dig dock att problemet är detta: din chef ber dig räkna hur många grupper av 5 produkter av samma typ som kan bildas med de som har kommit den senaste timmen. I detta fall är beräkningen komplicerad. För denna typ av situationer används de så kallade räkningsteknikerna.

Dessa tekniker är olika, men de viktigaste är indelade i två grundläggande principer, som är multiplikativet och tillsatsen; permutationer och kombinationer.

Multiplikationsprincip

tillämpningar

Multiplikationsprincipen, tillsammans med tillsatsen, är grundläggande för att förstå hur räkningstekniker fungerar. När det gäller multiplikativet består det av följande:

Låt oss föreställa oss en aktivitet som involverar ett specifikt antal steg (vi markerar summan som "r"), där det första steget kan göras på N1-sätt, det andra steget i N2 och steget "r" på Nr sätt. I det här fallet kan aktiviteten utföras från antalet former som härrör från denna operation: N1 x N2 x ……… .x Nr-former

Det är därför denna princip kallas multiplikativ, och den innebär att var och en av de steg som behövs för att genomföra aktiviteten måste genomföras efter varandra.

Exempel

Låt oss föreställa oss en person som vill bygga en skola. För att göra detta, tänk på att byggnadens bas kan byggas på två olika sätt, cement eller betong. När det gäller väggarna kan de vara gjorda av adobe, cement eller tegel.

När det gäller taket kan det vara tillverkat av cement eller galvaniserat ark. Slutligen kan den slutliga målningen bara göras på ett sätt. Frågan som uppstår är följande: Hur många sätt har han att bygga skolan?

Först överväger vi antalet steg, som skulle vara basen, väggarna, taket och färgen. Totalt 4 steg, så r = 4.

Följande skulle vara att lista N: erna:

N1 = sätt att bygga basen = 2

N2 = sätt att bygga väggarna = 3

N3 = sätt att göra taket = 2

N4 = måleri = 1

Därför skulle antalet möjliga former beräknas med hjälp av formeln som beskrivs ovan:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 sätt att göra skolan.

Tillsatsprincip

tillämpningar

Denna princip är mycket enkel och består i det faktum att, om det finns flera alternativ för att utföra samma aktivitet, består de möjliga sätten av summan av de olika möjliga sätten att genomföra alla alternativ.

Med andra ord, om vi vill genomföra en aktivitet med tre alternativ, där det första alternativet kan göras på M-sätt, det andra på N-sätt och det sista på W-sätt, kan aktiviteten göras på: M + N + ……… + W former.

Exempel

Låt oss föreställa oss den här gången en person som vill köpa en tennisracket. För att göra detta har du tre märken att välja mellan: Wilson, Babolat eller Head.

När du går till butiken ser du att Wilson-racketen kan köpas med handtaget i två olika storlekar, L2 eller L3 i fyra olika modeller, och det kan vara snurrat eller ospänt.

Babolat-racket har å andra sidan tre handtag (L1, L2 och L3), det finns två olika modeller och det kan också vara snurrat eller ospänt.

Headracket, å sin sida, finns bara med ett handtag, L2, i två olika modeller och endast ostängd. Frågan är: Hur många sätt måste den här personen köpa sin racket?

M = Antal sätt att välja en Wilson-racket

N = Antal sätt att välja en Babolat-racket

W = Antal sätt att välja en huvudracket

Vi genomför multiplikatorprincipen:

M = 2 x 4 x 2 = 16 former

N = 3 x 2 x 2 = 12 sätt

W = 1 x 2 x 1 = 2 sätt

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 sätt att välja en racket.

För att veta när du ska använda multiplikationsprincipen och tillsatsen måste du bara titta på om aktiviteten har en serie steg att utföra, och om det finns flera alternativ, tillsatsen.

permutationer

tillämpningar

För att förstå vad en permutation är, är det viktigt att förklara vad en kombination är så att du kan skilja dem och veta när du ska använda dem.

En kombination skulle vara ett arrangemang av element där vi inte är intresserade av den position som var och en av dem har.

En permutation, å andra sidan, skulle vara ett arrangemang av element där vi är intresserade av den position som var och en av dem har.

Låt oss sätta ett exempel för att bättre förstå skillnaden.

Exempel

Låt oss föreställa oss en klass med 35 elever och med följande situationer:

1. Läraren vill att tre av sina elever ska hjälpa honom att hålla klassrummet rent eller dela ut material till de andra eleverna vid behov.
2. Läraren vill utse klassdelegaterna (en president, en assistent och en finansiär).

Lösningen skulle vara följande:

1. Låt oss föreställa oss att Juan, María och Lucía genom omröstning väljs för att städa klassen eller leverera materialet. Naturligtvis kunde andra grupper om tre ha bildats, bland de 35 möjliga studenterna.

Vi måste fråga oss själva följande: är ordning eller position för varje elev viktig när vi väljer dem?

Om vi ​​tänker på det ser vi att det verkligen inte är viktigt, eftersom gruppen är lika ansvarig för de två uppgifterna. I det här fallet är det en kombination, eftersom vi inte är intresserade av elementenas position.

1. Låt oss nu föreställa oss att Juan väljs till president, Maria som assistent och Lucia som finansiär.

I så fall skulle beställningen vara viktig? Svaret är ja, för om vi ändrar elementen förändras resultatet. Det är, om i stället för att sätta Juan som president, vi sätter honom som assistent, och María som president, skulle det slutliga resultatet förändras. I det här fallet är det en permutation.

När skillnaden förstås kommer vi att få formlerna för permutationer och kombinationer. Men först måste vi definiera termen "n!" (en factorial), eftersom den kommer att användas i de olika formlerna.

n! = produkten från 1 till n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… ..xn

Använda det med riktiga nummer:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……….. x 10 = 3 628 800

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……….. x 5 = 120

Formeln för permutationerna skulle vara följande:

nPr = n! / (nr)!

Med det kan vi ta reda på arrangemangen där ordningen är viktig och var n-elementen är olika.

kombinationer

tillämpningar

Som vi har kommenterat tidigare är kombinationerna arrangemangen där vi inte bryr oss om elementenas position.

Dess formel är följande:

nCr = n! / (nr)! r!

Exempel

Om det finns 14 elever som vill frivilligt rengöra klassrummet, hur många städgrupper kan bildas om varje grupp måste vara 5 personer?

Lösningen skulle därför vara följande:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002-grupper

Lösta övningar

Övning 1

Källa: Pixabay.com

Natalia uppmanas av sin mamma att gå till en mataffär och köpa henne en läsk för att svalna. När Natalia ber kontoristen om en drink berättar han för henne att det finns fyra smaker av läsk, tre typer och tre storlekar.

Smakerna på läskedrycker kan vara: cola, citron, apelsin och mynta.

Typerna av cola kan vara: vanliga, sockerfria, koffeinfria.

Storlekarna kan vara: små, medelstora och stora.

Natalias mamma angav inte vilken typ av läsk hon ville ha. Hur många sätt måste Natalia köpa drinken?

Lösning

M = Storlek och typnummer som du kan välja när du väljer cola.

N = Antal storlek och typ som du kan välja när du väljer citronsoda.

W = Storlek och typnummer som du kan välja när du väljer apelsinsoda.

Y = Storlek och typnummer som du kan välja när du väljer din mintpulver.

Vi genomför multiplikatorprincipen:

M = 3 × 3 = 9 sätt

N = 3 × 3 = 9 sätt

W = 3 × 3 = 9 sätt

Y = 3 × 3 = 9 sätt

M + N + W + Y = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 sätt att välja läsk.

Övning 2

Källa: pixabay.com

En idrottsklubb annonserar gratis åtkomstverkstäder för barn att lära sig åka skridskor. 20 barn är inskrivna, så de beslutar att dela upp dem i två grupper om tio personer så att instruktörerna kan lära klasserna mer bekvämt.

I sin tur beslutar de att rita i vilken grupp varje barn kommer att falla. Hur många olika grupper kunde ett barn gå in i?

Lösning

I detta fall använder man kombinationstekniken, vars formel var: nCr = n! / (Nr)! R!

n = 20 (antal barn)

r = 10 (gruppstorlek)

20C10 = 20! / (20 - 10)! 10! = 20! / 10! 10! = 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15 x 14 x 13 x 12 x 11 x 10! / 10! 10! = 184 756.

referenser

1. Jeffrey, RC, Probability and the Art of Judgment, Cambridge University Press. (1992).
2. William Feller, "En introduktion till sannolikhetsteori och dess tillämpningar", (vol 1), 3: e upplagan, (1968), Wiley
3. Finetti, Bruno de (1970). "Logiska grunder och mätning av subjektiv sannolikhet". Acta Psychologica.
4. Hogg, Robert V .; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Introduktion till matematisk statistik (6: e upplagan). Upper Saddle River: Pearson.
5. Franklin, J. (2001) The Science of Conjecture: Evidence and Probability Before Pascal, Johns Hopkins University Press.