ICKE-KOPLANÄRA VEKTORER: DEFINITION, VILLKOR, ÖVNINGAR - FYSISK - 2025

De icke-coplanära vektorerna är de som inte delar samma plan. Två fria vektorer och en punkt definierar ett enda plan. En tredje vektor kan eller inte kan dela det planet, och om det inte är de är icke-planplanära vektorer.

Icke-koplanära vektorer kan inte representeras i tvådimensionella utrymmen som en svart tavla eller pappersark, eftersom vissa av dem ingår i den tredje dimensionen. För att representera dem ordentligt måste du använda perspektiv.

Figur 1. Coplanar och icke-coplanar vektorer. (Egen utarbetande)

Om vi ​​tittar på figur 1 finns alla objekt som visas strikt i skärmens plan, men tack vare perspektiv kan vår hjärna föreställa sig ett plan (P) som kommer ut ur det.

På det planet (P) är vektorerna r , s , u , medan vektorerna v och w inte är i det planet.

Därför är vektorerna r , s , u coplanära eller coplanära för varandra eftersom de delar samma plan (P). Vektorerna v och w delar inte ett plan med någon av de andra visade vektorerna, därför är de icke-planlösa.

Coplanarvektorer och planens ekvation

Ett plan definieras unikt om det finns tre punkter i tredimensionellt rymd.

Anta att de tre punkterna är punkt A, punkt B och punkt C som definierar planet (P). Med dessa punkter är det möjligt att konstruera två vektorer AB = u och AC = v som är konstruerade i planplan med planet (P).

Vektorprodukten (eller tvärprodukten) hos dessa två vektorer resulterar i en tredje vektor vinkelrätt (eller normal) för båda och därför vinkelrätt mot planet (P):

n = u X v => n ⊥ u och n ⊥ v => n ⊥ (P)

Alla andra punkter som tillhör planet (P) måste tillfredsställa att vektorn AQ är vinkelrätt mot vektorn n ; Detta motsvarar att säga att punktprodukten (eller punktprodukten) för n med AQ måste vara noll:

n • AQ = 0 (*)

Det föregående villkoret motsvarar att:

AQ • ( u X v ) = 0

Denna ekvation säkerställer att punkt Q tillhör planet (P).

Kartesisk ekvation av planet

Ovanstående ekvation kan skrivas i kartesisk form. För att göra detta skriver vi koordinaterna för punkterna A, Q och komponenterna i den normala vektorn n :

Så komponenterna i AQ är:

Villkoret för att vektorn AQ ska finnas i planet (P) är villkoret (*) som nu skrivs så här:

Beräkningen av punktprodukten återstår:

Om den är utvecklad och omordnad återstår den:

Det föregående uttrycket är den kartesiska ekvationen för ett plan (P), som en funktion av komponenterna i en vektor som är normal för (P) och koordinaterna för en punkt A som tillhör (P).

Villkor för att tre vektorer ska vara icke-planlösa

Som framgår av föregående avsnitt garanterar villkoret AQ • ( u X v ) = 0 att vektorn AQ är planplanerad till u och v .

Om vi ​​kallar vektorn AQ w kan vi säga att:

w , u och v är planlanära, om och bara om w • ( u X v ) = 0.

Icke-samförståndskrav

Om trippelprodukten (eller blandad produkt) av tre vektorer skiljer sig från noll, är dessa tre vektorer icke-samvecklade.

Om w • ( u X v ) ≠ 0 är vektorerna u, v och w icke-koplanära.

Om de kartesiska komponenterna i vektorerna u, v och w införs, kan villkoren för icke-samförstånd skrivas så här:

Trippelprodukten har en geometrisk tolkning och representerar volymen för den parallellpiped som genereras av de tre icke-coplanära vektorerna.

Figur 2. Tre icke-coplanära vektorer definierar en parallellpiped vars volym är modulen för trippelprodukten. (Egen utarbetande)

Anledningen är som följer; När två av de icke-samplanära vektorerna multipliceras vektoriellt erhålls en vektor vars storlek är området för det parallellogram som de genererar.

När denna vektor sedan skalförs multipliceras med den tredje icke-planplanära vektorn, vad vi har är projektionen till en vektor vinkelrätt mot planet som de första två bestämmer multiplicerat med det område som de bestämmer.

Med andra ord har vi området för det parallellogram som genereras av de första två multiplicerat med höjden på den tredje vektorn.

Alternativa villkor för icke-samförstånd

Om du har tre vektorer och någon av dem inte kan skrivas som en linjär kombination av de andra två, är de tre vektorerna icke-planlösa. Det vill säga, tre vektorer u , v och w är icke-coplanära om villkoret:

a u + p v + y w = 0

Den är bara nöjd när α = 0, β = 0 och γ = 0.

Lösta övningar

-Övning 1

Det finns tre vektorer

u = (-3, -6, 2); v = (4, 1, 0) och w = (-1, 2, z)

Observera att z-komponenten i vektorn w är okänd.

Hitta värdena som z kan ta så att de tre vektorerna garanteras att inte dela samma plan.

Lösning

w • ( u X v ) = -3 (z - 0) + 6 (4 z - 0) + 2 (8 + 1) = -3z + 24z + 18 = 21z + 18

Vi ställer in detta uttryck lika med värdet noll

21 z + 18 = 0

och vi löser för z

z = -18 / 21 = -6/7

Om variabeln z tog värdet -6/7, skulle de tre vektorerna vara planlanära.

Så värdena på z som garanterar att vektorerna är icke-planlösa är de i följande intervall:

z ∈ (-∞, -6 / 7) U (-6/7, ∞)

-Övning 2

Hitta volymen för parallellpiped som visas i följande bild:

Lösning

För att hitta volymen för parallellpiped som visas i figuren bestäms de kartesiska komponenterna i tre samtidiga icke-koplanära vektorer vid koordinatsystemets ursprung. Den första är vektorn u på 4m och parallell med X-axeln:

u = (4, 0, 0) m

Den andra är vektorn v i XY-planet i storlek 3m som bildar 60º med X-axeln:

v = (3 * cos 60º, 3 * sin 60º, 0) = (1,5, 2,6, 0,0) m

Och den tredje är 5m- vektorn w vars projektion i XY-planet bildar 60º med X-axeln, och w bildar 30º med Z-axeln.

w = (5 * sin 30º * cos 60º, 5 * sin 30º * sin 60º, 5 * sin 30º)

När beräkningarna har genomförts har vi: w = (1,25, 2,17, 2,5) m.

referenser

1. Figueroa, D. Series: Physics for Sciences and Engineering. Volym 1. Kinematik. 31-68.
2. Fysisk. Modul 8: vektorer. Återställd från: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Mechanics for Engineers. Statisk 6: e upplagan. Continental Publishing Company 28-66.
4. McLean, W. Schaum-serien. Mekanik för ingenjörer: Statik och dynamik. 3: e upplagan. McGraw Hill. 1-15.
5. Wikipedia. Vektor. Återställd från: es.wikipedia.org