HISTORISK BAKGRUND FÖR ANALYTISK GEOMETRI - MATTE - 2026

De historiska antecedenterna för analytisk geometri går tillbaka till sjuttonhundratalet, då Pierre de Fermat och René Descartes definierade sin grundläggande idé. Hans uppfinning följde moderniseringen av François Viètes algebra och algebraiska notering.

Detta fält har sina baser i det antika Grekland, särskilt i verk av Apollonius och Euclid, som hade ett stort inflytande inom detta matematikområde.

Den väsentliga tanken bakom analytisk geometri är att en relation mellan två variabler, så att den ena är en funktion av den andra, definierar en kurva.

Denna idé utvecklades först av Pierre de Fermat. Tack vare detta väsentliga ramverk kunde Isaac Newton och Gottfried Leibniz utveckla kalkylen.

Den franska filosofen Descartes upptäckte också en algebraisk inställning till geometri, tydligen på egen hand. Descartes arbete med geometri visas i hans berömda bok Discourse on Method.

Denna bok påpekar att kompass och geometriska konstruktioner med raka kanter involverar tillägg, subtraktion, multiplikation och fyrkantiga rötter.

Analytisk geometri representerar föreningen mellan två viktiga traditioner i matematik: geometri som studie av form, och aritmetik och algebra, som har att göra med kvantitet eller antal. Därför är analytisk geometri studien av geometriområdet med hjälp av koordinatsystem.

Historia

Bakgrund för analytisk geometri

Förhållandet mellan geometri och algebra har utvecklats genom matematikens historia, även om geometri nådde ett tidigare stadium av mognad.

Till exempel kunde den grekiska matematikern Euclid organisera många resultat i sin klassiska bok The Elements.

Men det var den antika grekiska Apollonius av Perga som förutspådde utvecklingen av analytisk geometri i sin bok Conics. Han definierade en konisk som skärningspunkten mellan en kon och ett plan.

Genom att använda Euclids resultat på liknande trianglar och sekvenser i cirklar fann han ett förhållande som givits av avståndet från vilken punkt som helst "P" på en konisk till två vinkelräta linjer, en konisk huvudaxel och tangenten vid axelns slutpunkt. Apollonius använde detta förhållande för att härleda grundläggande egenskaper hos konerna.

Den efterföljande utvecklingen av koordinatsystem i matematik kom först efter att algebra hade mognat tack vare islamiska och indiska matematiker.

Fram till renässansen användes geometri för att motivera lösningar på algebraiska problem, men det fanns inte mycket som algebra kunde bidra till geometri.

Denna situation skulle förändras med antagandet av en bekväm notation för algebraiska relationer och utvecklingen av begreppet matematisk funktion, som nu var möjligt.

Århundradet XVI

I slutet av 1500-talet introducerade den franska matematikern François Viète den första systematiska algebraiska notationen, med bokstäver för att representera numeriska mängder, både kända och okända.

Han utvecklade också kraftfulla allmänna metoder för att arbeta algebraiska uttryck och lösa algebraiska ekvationer.

Tack vare detta var matematiker inte helt beroende av geometriska figurer och geometrisk intuition för att lösa problem.

Till och med vissa matematiker började överge det geometriska standardtanken, enligt vilka linjära variabler av längder och kvadrater motsvarar områden, medan kubiska variabler motsvarar volymer.

De första som tog detta steg var filosofen och matematikern René Descartes och advokaten och matematikern Pierre de Fermat.

Grund för analytisk geometri

Descartes och Fermat grundade oberoende analytisk geometri under 1630-talet och antog Viètes algebra för studiet av locus.

Dessa matematiker insåg att algebra var ett kraftfullt verktyg inom geometri och uppfann det som i dag kallas analytisk geometri.

Ett genombrott de gjorde var att överträffa Viète genom att använda bokstäver för att representera avstånd som är variabla snarare än fixerade.

Descartes använde ekvationer för att studera geometriskt definierade kurvor och betonade behovet av att ta hänsyn till allmänna algebraisk-grafiska kurvor för polynomekvationer i grader "x" och "y".

För hans del betonade Fermat att varje förhållande mellan koordinaterna "x" och "y" bestämmer en kurva.

Med hjälp av dessa idéer omstrukturerade han Apollonius uttalanden om algebraiska termer och återställde några av sina förlorade arbeten.

Fermat indikerade att varje kvadratisk ekvation i "x" och "y" kan placeras i standardformen av en av de koniska sektionerna. Trots detta publicerade Fermat aldrig sitt arbete om ämnet.

Tack vare deras framsteg, vad Archimedes bara kunde lösa med stora svårigheter och för isolerade fall, Fermat och Descartes kunde lösa snabbt och för ett stort antal kurvor (nu känd som algebraiska kurvor).

Men hans idéer fick bara allmän acceptans genom ansträngningar från andra matematiker under senare hälften av 1600-talet.

Matematiker Frans van Schooten, Florimond de Beaune och Johan de Witt hjälpte till att utöka Decartes arbete och lägg till viktigt ytterligare material.

Inflytande

I England populariserade John Wallis analytisk geometri. Han använde ekvationer för att definiera de koniska och härleda deras egenskaper. Även om han använde negativa koordinater fritt, var det Isaac Newton som använde två sneda axlar för att dela planet i fyra kvadranter.

Newton och tyska Gottfried Leibniz revolutionerade matematiken i slutet av 1600-talet genom att oberoende demonstrera kraften i kalkylen.

Newton demonstrerade vikten av analysmetoder i geometri och deras roll i kalkylen när han hävdade att någon kub (eller någon tredje grads algebraisk kurva) har tre eller fyra standardekvationer för lämpliga koordinataxlar. Med hjälp av Newton själv bevisade den skotska matematikern John Stirling det 1717.

Analytisk geometri med tre och fler dimensioner

Även om både Descartes och Fermat föreslog att använda tre koordinater för att studera kurvor och ytor i rymden, utvecklades tredimensionell analytisk geometri långsamt fram till 1730.

Matematikerna Euler, Hermann och Clairaut producerade allmänna ekvationer för cylindrar, kottar och revolutionens ytor.

Till exempel använde Euler ekvationer för översättningar i rymden för att transformera den allmänna kvadratiska ytan så att dess huvudaxlar sammanfaller med dess koordinataxlar.

Euler, Joseph-Louis Lagrange och Gaspard Monge gjorde analytisk geometri oberoende av syntetisk (icke-analytisk) geometri.

referenser

1. Utvecklingen av analytisk geometri (2001). Återställs från encyclopedia.com
2. Historisk analysgeometri (2015). Återställd från maa.org
3. Analys (matematik). Återställs från britannica.com
4. Analytisk geometri. Återställs från britannica.com
5. Descartes och födelsen av analytisk geometri. Återställs från sciencedirect.com