ANTIDERIVATIV: FORMLER OCH EKVATIONER, EXEMPEL, ÖVNINGAR - MATTE

En antiderivativ F (x) för en funktion f (x) kallas också primitiv eller helt enkelt den obestämda integralen av nämnda funktion, om det i ett givet intervall I uppfylls att F´ (x) = f (x)

Låt oss till exempel ta följande funktion:

f (x) = 4x ³

Ett antiderivativ för denna funktion är F (x) = x ⁴ , eftersom vid differentiering av F (x) med härledningsregeln för krafter:

Vi får exakt f (x) = 4x ³ .

Detta är emellertid bara ett av de många antiderivaten av f (x), eftersom denna andra funktion: G (x) = x ⁴ + 2 också är, eftersom vid differentiering av G (x) med avseende på x, erhålls samma baksida f (x).

Låt oss kolla upp det:

Kom ihåg att derivatet av en konstant är 0. Därför kan vi lägga till valfri konstant till termen x ⁴ och dess derivat kommer att förbli 4x ³ .

Det dras slutsatsen att varje funktion av den allmänna formen F (x) = x ⁴ + C, där C är en verklig konstant, fungerar som ett antiderivativ för f (x).

Det illustrativa exemplet ovan kan uttryckas så här:

dF (x) = 4x ³ dx

Den antiderivativa eller obestämda integralen uttrycks med symbolen ∫, därför:

F (x) = ∫4x ³ dx = x ⁴ + C

Där funktionen f (x) = 4x ³ kallas integrand, och C är integrationskonstanten.

Exempel på antideriviva medel

Figur 1. Antiderivativet är inget annat än en obestämd integral. Källa: Pixabay.

Att hitta ett antiderivativ av en funktion är enkelt i vissa fall där derivat är välkända. Låt till exempel funktionen f (x) = sin x, ett antidivativ för den vara en annan funktion F (x), så att vid differentiering av den får vi f (x).

Denna funktion kan vara:

F (x) = - cos x

Låt oss kontrollera att det är sant:

F´ (x) = (- cos x) ´ = - (-sen x) = sin x

Därför kan vi skriva:

∫sen x dx = -cos x + C

Förutom att känna till derivaten finns det några grundläggande och enkla integrationsregler för att hitta den antiderivativa eller obestämda integralen.

Låt k vara en riktig konstant, då:

1.- ∫ kdx = k ∫dx = kx + C

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

Om en funktion h (x) kan uttryckas som tillägg eller subtraktion av två funktioner, är dess obestämda integral:

3.- ∫h (x) dx = ∫dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

Detta är linjäritetens egenskap.

Befogenheterna för integraler kan fastställas på detta sätt:

För n = -1 används följande regel:

5.- ∫ x ^-1 dx = ln x + C

Det är lätt att visa att derivatet av ln x är exakt x ^-1 .

Differentialekvationer

En differentiell ekvation är en där det okända finns som ett derivat.

Nu, från den tidigare analysen, är det lätt att inse att den omvända operationen till derivatet är den antiderivativa eller obestämda integralen.

Låt f (x) = y´ (x), det vill säga derivatet för en viss funktion. Vi kan använda följande notation för att indikera detta derivat:

Det följer omedelbart att:

Det okända för differensekvationen är funktionen y (x), den vars derivat är f (x). För att lösa det är det tidigare uttrycket integrerat på båda sidor, vilket motsvarar tillämpningen av antiderivativet:

Den vänstra integralen löses med integrationsregeln 1, med k = 1, vilket löser det önskade okända:

Och eftersom C är en verklig konstant, för att veta vilken som är lämplig i båda fallen, måste uttalandet innehålla tillräckligt med ytterligare information för att beräkna värdet på C. Detta kallas initialtillståndet.

Vi kommer att se exempel på tillämpning av allt detta i nästa avsnitt.

Antiderivativa övningar

- Övning 1

Tillämpa integrationsreglerna för att få följande antiderivativa eller obestämda integraler av de givna funktionerna, förenkla resultaten så mycket som möjligt. Det är bekvämt att verifiera resultatet genom härledning.

Figur 2. Övningar av antiderivativa medel eller bestämda integraler. Källa: Pixabay.

Lösning till

Vi tillämpar regel 3 först, eftersom integrand är summan av två termer:

∫ (x + 7) dx = ∫ xdx + ∫7dx

För den första integralen gäller maktregeln:

∫ dx = (x ^två / 2), + C ₁

I den andra integrationsregeln tillämpas 1, där k = 7:

∫7dx = 7∫dx = 7x + C ₂

Och nu läggs resultaten till. De två konstanterna är grupperade i en, generiskt kallad C:

∫ (x + 7) dx = (x ² /2), + 7x + C

Lösning b

Genom linearitet sönderdelas denna integral i tre enklare integraler, på vilka effektregeln kommer att tillämpas:

∫ (x ^3/2 + x ² + 6) dx = ∫x ^3/2 dx + ∫x ² dx + ∫6 dx =

Observera att en konstant av integration visas för varje integral, men de möts i ett enda samtal C.

Lösning c

I detta fall är det bekvämt att tillämpa multiplikationsfördelningens egenskap för att utveckla integranden. Sedan använder vi maktregeln för att hitta varje integral separat, som i föregående övning.

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫ (3x ² -2x + 3x-2) dx = ∫ (3x ² + x - 2) dx

Den noggranna läsaren kommer att notera att de två centrala termerna är liknande, därför reduceras de innan de integreras:

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫3x ² dx + ∫ x dx + ∫- 2 dx = x ³ + (1/2) x ² - 2x + C

Lösning e

Ett sätt att lösa integralen är att utveckla kraften, som gjordes i exempel d. Eftersom exponenten är högre skulle det dock vara lämpligt att ändra variabeln för att inte behöva göra en så lång utveckling.

Förändringen av variabeln är som följer:

u = x + 7

Hämta detta uttryck till båda sidor:

du = dx

Integralen omvandlas till en enklare med den nya variabeln, som löses med effektregeln:

∫ (x + 7) ⁵ dx = ∫ u ⁵ du = (1/6) u ⁶ + C

Slutligen returneras ändringen för att återgå till den ursprungliga variabeln:

∫ (x + 7) ⁵ dx = (1/6) (x + 7) ⁶ + C

- Övning 2

En partikel är initialt i vila och rör sig längs x-axeln. Dess acceleration för t> 0 ges av funktionen a (t) = cos t. Det är känt att vid t = 0 är positionen x = 3, alla i enheter i det internationella systemet. Det uppmanas att hitta hastigheten v (t) och positionen x (t) för partikeln.

Lösning

Eftersom acceleration är det första derivatet av hastighet med avseende på tid, har vi följande differentiella ekvation:

a (t) = v´ (t) = cos t

Det följer att:

v (t) = ∫ cos t dt = sin t + C ₁

Å andra sidan, vi vet att hastigheten i sin tur är derivat av positionen, därför integreras vi igen:

x (t) = ∫ v (t) dt = ∫ (sin t + C ₁ ) dt = ∫sen t dt + ∫C ₁ dt = - cos t + C ₁ t + C ₂

Integrationskonstanterna bestäms utifrån informationen i uttalandet. För det första står det att partikeln ursprungligen var i vila, därför är v (0) = 0:

v (0) = sin 0 + C ₁ = 0

C ₁ = 0

Då har vi x (0) = 3:

x (0) = - cos 0 + C ₁ 0 + C ₂ = - 1 + C ₂ = 3 → C ₂ = 3 + 1 = 4

Hastighets- och positionsfunktionerna är definitivt så här:

v (t) = sin t

x (t) = - cos t + 4

referenser

Engler, A. 2019. Integral Calculus. Litorals universitet.
Larson, R. 2010. Beräkning av en variabel. 9:e. Utgåva. McGraw Hill.
Matematik Gratis texter. Primitiva. Återställd från: math.liibretexts.org.
Wikipedia. Primitiv. Återställd från: en.wikipedia.org.
Wikipedia. Obestämd integration. Återställd från: es.wikipedia.org.

ANTIDERIVATIV: FORMLER OCH EKVATIONER, EXEMPEL, ÖVNINGAR - MATTE - 2026