BERÄKNING AV APPROXIMATIONER MED HJÄLP AV DIFFERENSEN - MATTE - 2026

En approximation i matematik är ett tal som inte är det exakta värdet på något, men är så nära det att det anses lika användbart som det exakta värdet.

När tillnärmningar görs i matematik beror det på att manuellt är det svårt (eller ibland omöjligt) att veta det exakta värdet på vad du vill.

Huvudverktyget när man arbetar med ungefär är skillnaden i en funktion.

Differensen för en funktion f, betecknad med Δf (x), är inget annat än derivatet av funktionen f multiplicerad med förändringen i den oberoende variabeln, det vill säga Δf (x) = f '(x) * Δx.

Ibland används df och dx istället för Δf och Δx.

Uppskattningar med hjälp av skillnaden

Formeln som används för att utföra en tillnärmning genom skillnaden uppstår exakt från definitionen av derivatet av en funktion som en gräns.

Denna formel ges av:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

Här förstås att Δx = x-x0, därför x = x0 + Δx. Med hjälp av denna formel kan skrivas om som

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

Det bör noteras att "x0" inte är ett godtyckligt värde, utan ett sådant värde att f (x0) är lätt känt; dessutom är "f (x)" bara det värde vi vill uppskatta.

Finns det bättre tillnärmningar?

Svaret är ja. Ovanstående är den enklaste av de approximationer som kallas "linjär approximation".

För bättre kvalitetskvalificeringar (felet är mindre) används polynomier med fler derivat som kallas "Taylor-polynomier", liksom andra numeriska metoder såsom Newton-Raphson-metoden.

Strategi

Strategin att följa är:

- Välj en lämplig funktion f för att utföra tillnärmningen och värdet «x» så att f (x) är det värde som ska approximeras.

- Välj ett värde "x0", nära "x", så att f (x0) är lätt att beräkna.

- Beräkna Δx = x-x0.

- Beräkna derivatet för funktionen y f '(x0).

- Ersätt data i formeln.

Löste approximationsövningar

I det som fortsätter finns det en serie övningar där tillnärmningar görs med hjälp av differensen.

Första övningen

Cirka √3.

Lösning

Efter strategin måste en lämplig funktion väljas. I det här fallet kan man se att funktionen som ska väljas måste vara f (x) = √x och värdet som ska approximeras är f (3) = √3.

Nu måste vi välja ett värde "x0" nära "3" så att f (x0) är lätt att beräkna. Om "x0 = 2" är vald är "x0" nära "3" men f (x0) = f (2) = √2 är inte lätt att beräkna.

Lämpligt värde för "x0" är "4", eftersom "4" är nära "3" och även f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Om "x = 3" och "x0 = 4", är Δx = 3-4 = -1. Nu fortsätter vi med att beräkna derivatet av f. Det vill säga f '(x) = 1/2 * √x, så f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Byt ut alla värden i formeln du får:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1,75.

Om du använder en kalkylator får du det √3≈1.73205 … Detta visar att det föregående resultatet är en bra tillnärmning av det verkliga värdet.

Andra övningen

Cirka √10.

Lösning

Som tidigare väljs f (x) = √xy som en funktion, i detta fall x = 10.

Värdet på x0 att välja den här tiden är "x0 = 9". Vi har då att Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 och f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

Vid utvärdering i formeln erhålls det

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666 …

Med hjälp av en kalkylator erhålls det att √10 ≈ 3.1622776… Här kan man också se att en god approximation erhölls tidigare.

Tredje övningen

Ungefärligt ³√10, där ³√ anger kubroten.

Lösning

Det är uppenbart att funktionen som ska användas i denna övning är f (x) = ³√x och värdet på "x" måste vara "10".

Ett värde nära "10" så att dess kubrot är känt är "x0 = 8". Då har vi Δx = 10-8 = 2 och f (x0) = f (8) = 2. Vi har också f '(x) = 1/3 * ³√x², och följaktligen f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Genom att ersätta data i formeln erhålls det att:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666….

Kalkylatorn säger att ³√10 ≈ 2.15443469… Därför är den uppskattade approximationen bra.

Fjärde övningen

Ungefärlig ln (1.3), där "ln" anger den naturliga logaritmfunktionen.

Lösning

Först väljer vi som funktion f (x) = ln (x) och värdet på "x" är 1,3. Nu när vi vet lite om logaritmfunktionen kan vi veta att ln (1) = 0 och dessutom "1" är nära "1.3". Därför väljs "x0 = 1" och därmed Δx = 1,3 - 1 = 0,3.

Å andra sidan f '(x) = 1 / x, så att f' (1) = 1. Vid utvärdering i den givna formeln har vi:

ln (1,3) = f (1,3) ≈ 0 + 1 * 0,3 = 0,3.

Med en kalkylator har vi den ln (1.3) ≈ 0.262364 … Så den ungefärliga beräkningen är bra.

referenser

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus matematik. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus matematik: ett problemlösningsmetod (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra och trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 red.). Cengage Learning.
5. Leal, JM, & Viloria, NG (2005). Plan analytisk geometri. Mérida - Venezuela: Redaktion Venezolana CA
6. Pérez, CD (2006). Förberäkning. Pearson Education.
7. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Calculus (nionde upplagan). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Differentialberäkning med tidiga transcendenta funktioner för Science and Engineering (andra upplagan). Hypotenusa.
9. Scott, CA (2009). Cartesian Plane Geometry, Del: Analytical Conics (1907) (omtryckt red.). Blixtkälla.
10. Sullivan, M. (1997). Förberäkning. Pearson Education.