KONGRUENS: KONGRUENTA SIFFROR, KRITERIER, EXEMPEL, ÖVNINGAR - MATTE - 2026

Den kongruens i geometri säger att om två plana figurer har det samma form och dimensioner, dessa är kongruenta. Till exempel är två segment kongruenta när deras längder är lika. På samma sätt har kongruenta vinklar samma mått, även om de inte är orienterade på samma sätt i planet.

Uttrycket "kongruens" kommer från det latinska kongruentia, vars betydelse är korrespondens. Således motsvarar två kongruenta figurer exakt varandra.

Figur 1. Fyrsidorna ABCD och A'B'C'D 'i figuren är kongruenta: deras sidor har samma mått, liksom deras inre vinklar. Källa: F. Zapata.

Om vi ​​till exempel överlagrar de två fyrkantiga sidorna i bilden kommer vi att upptäcka att de är kongruenta, eftersom deras sidor är identiska och de mäter samma.

Genom att placera fyrkantiga ABCD och A'B'C'D 'ovanpå varandra kommer siffrorna att matcha exakt. De sammanfallande sidorna kallas homologa eller motsvarande sidor och symbolen ≡ används för att uttrycka kongruens. Så vi kan säga att ABCD ≡ A'B'C'D '.

Kongruens kriterier

Följande egenskaper är vanliga för kongruenta polygoner:

- Samma form och storlek.

-Identiska mätningar av deras vinklar.

- Samma mått på varje sida.

I det fall två polygoner i fråga är regelbundna, det vill säga att alla sidor och inre vinklar mäter samma, säkerställs kongruens när någon av följande villkor uppfylls:

-Sidorna är kongruenta

- Apotema har samma mått

-Radien för varje polygon mäter samma

Avståndet till en vanlig polygon är avståndet mellan mitten och en av sidorna, medan radien motsvarar avståndet mellan mitten och ett toppunkt eller ett hörn av figuren.

Congruenkriterier används ofta eftersom så många delar och delar av alla slag är massproducerade och måste ha samma form och mätningar. På detta sätt kan de lätt bytas ut vid behov, till exempel muttrar, bultar, lakor eller beläggningsstenar på marken på gatan.

Figur 2. Gatans stenläggning är kongruenta figurer, eftersom deras form och dimensioner är exakt desamma, även om deras orientering på golvet kan förändras. Källa: Pixabay.

Congruence, identitet och likhet

Det finns geometriska begrepp relaterade till kongruens, till exempel identiska figurer och liknande figurer, som inte nödvändigtvis innebär att figurerna är kongruenta.

Observera att de kongruenta figurerna är identiska, men de fyrkantiga sidorna i figur 1 kan vara orienterade på olika sätt på planet och fortfarande förbli kongruenta, eftersom den olika orienteringen inte ändrar storleken på deras sidor eller deras vinklar. I så fall skulle de inte längre vara identiska.

Det andra konceptet är att likheten mellan figurer: två plana figurer är lika om de har samma form och deras inre vinklar mäter samma, även om storleken på figurerna kan vara annorlunda. Om så är fallet är siffrorna inte överensstämmande.

Exempel på kongruens

- Kongruens av vinklar

Som vi indikerade i början har kongruenta vinklar samma mått. Det finns flera sätt att få kongruenta vinklar:

Exempel 1

Två rader med en gemensam punkt definierar två vinklar, kallade motsatta vinklar på grund av toppunkten. Dessa vinklar har samma mått, därför är de kongruenta.

Bild 3. Motsatta vinklar vid toppunkten. Källa: Wikimedia Commons.

Exempel 2

Det finns två parallella linjer plus en linje t som korsar båda. Som i föregående exempel, när denna linje korsar parallellerna genererar den kongruenta vinklar, en på varje linje på höger sida och ytterligare två på vänster sida. Figuren visar α och α ₁ till höger om linjen t, som är kongruenta.

Figur 4. Vinklarna som visas i figuren är kongruenta. Källa: Wikimedia Commons. Lfahlberg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Exempel 3

I ett parallellogram finns fyra inre vinklar, som är kongruenta två till två. Det är de mellan motsatta vertikaler, som visas i följande figur, där de två gröna vinklarna är kongruenta, liksom de två vinklarna i rött.

Figur 5. Parallellogramets inre vinklar är kongruenta två för två. Källa: Wikimedia Commons.

- Kongruens av trianglar

Två trianglar av samma form och storlek är kongruenta. För att verifiera detta finns det tre kriterier som kan undersökas för att söka kongruens:

- LLL-kriterium : trianglarnas tre sidor har samma mått, därför L ₁ = L ' ₁ ; L ₂ = L ' ₂ och L ₃ = L' _3.

Figur 6. Exempel på kongruenta trianglar, vars sidor mäter samma. Källa: F. Zapata.

- ALA- och AAL-kriterier : trianglar har två lika inre vinklar och sidan mellan dessa vinklar har samma mått.

Figur 7. ALA- och AAL-kriterier för triangelkongruens. Källa: Wikimedia Commons.

- LAL-kriterium : två av sidorna är identiska (motsvarande) och det finns samma vinkel mellan dem.

Bild 8. LAL-kriterium för kongruens av trianglar. Källa: Wikimedia Commons.

Lösta övningar

- Övning 1

Två trianglar visas i följande figur: ΔABC och ΔECF. Det är känt att AC = EF, att AB = 6 och att CF = 10. Vidare är vinklarna ACBAC och ∡FEC kongruenta och vinklarna ∡ACB och ∡FCB är också kongruenta.

Bild 9. Trianglar för det bearbetade exemplet 1. Källa: F. Zapata.

Då är segmentets BE-längd lika med:

(i) 5

(ii) 3

(iii) 4

(iv) 2

(v) 6

Lösning

Eftersom de två trianglarna har en sida med samma längd AC = EF mellan lika vinklarna ACBAC = ∡CEF och ∡BCA = ∡CFE, kan det sägas att de två trianglarna är kongruenta av ALA-kriteriet.

Det vill säga ΔBAC ≡ ΔCEF, så vi måste:

BA = CE = AB = 6

BC = CF = 10

AC = EF

Men det segment som ska beräknas är BE = BC - EC = 10 - 6 = 4.

Så det rätta svaret är (iii).

- Övning 2

Tre trianglar visas i figuren nedan. Det är också känt att de två angivna vinklarna mäter 80 ° vardera och att segmenten AB = PD och AP = CD. Hitta värdet på vinkeln X som anges i figuren.

Bild 10. Trianglar för det lösta exemplet 2. Källa: F. Zapata.

Lösning

Du måste tillämpa egenskaperna för trianglarna, som är detaljerade steg för steg.

Steg 1

Från och med LAL-triangel-kongruenskriteriet kan det sägas att BAP- och PDC-trianglarna är kongruenta:

ΔBAP ≡ ΔPDC

Steg 2

Ovanstående leder till att bekräfta att BP = PC, därför är triangeln ΔBPC isosceles och ∡PCB = ∡PBC = X.

Steg 3

Om vi ​​kallar vinkeln BPC γ följer det att:

2x + y = 180º

Steg 4

Och om vi kallar vinklarna APB och DCP β och α vinklarna ABP och DPC, har vi:

α + β + γ = 180º (eftersom APB är en plan vinkel).

Steg 5

Vidare α + β + 80º = 180º med summan av de inre vinklarna i triangeln APB.

Steg 6

Kombinera alla dessa uttryck vi har:

a + p = 100 °

Steg 7

Och därför:

y = 80º.

Steg 8

Slutligen följer det att:

2X + 80º = 180º

Med X = 50º.

referenser

1. Baldor, A. 1973. Plane and Space Geometry. Centralamerikanska kulturella.
2. CK-12 Foundation. Congruent polygoner. Återställd från: ck 12.org.
3. Njut av matte. Definitioner: Radius (polygon). Återställd från: enjoylasmatematicas.com.
4. Matematisk öppen referens. Testa polygoner för kongruens. Återställd från: mathopenref.com.
5. Wikipedia. Congruence (geometri). Återställd från: es.wikipedia.org.
6. Zapata, F. Trianglar, historia, element, klassificering, egenskaper. Återställd från: lifeder.com.