PARTIELLA DERIVAT: NOTATION, EXEMPEL OCH LÖSTA ÖVNINGAR - MATTE - 2026

De partiella derivat av en funktion av flera variabler är de som bestämmer hastigheten för förändring av funktionen när en av variablerna har en oändlig variation, medan de andra variablerna förblir oförändrade.

För att göra idén mer konkret, antar att fallet med en funktion av två variabler: z = f (x, y). Det partiella derivatet av funktionen f med avseende på variabeln x beräknas som det vanliga derivatet med avseende på x, men tar variabeln y som om den var konstant.

Figur 1. Funktion f (x, y) och dess partiella derivat ∂ _x f y ∂ _y f vid punkt P. (Förtyddad av R. Pérez med geogebra)

Partiell derivatnotation

Den partiella derivatoperationen av funktionen f (x, y) på variabeln x betecknas på något av följande sätt:

I partiella derivat används symbolen ∂ (en typ av avrundad bokstav d som också kallas Jacobis d), i motsats till det vanliga derivatet för envariabla funktioner där bokstaven d används för derivat.

I allmänna termer resulterar det partiella derivatet av en multivariat funktion, med avseende på en av dess variabler, i en ny funktion i samma variabler för den ursprungliga funktionen:

∂ _x f (x, y) = g (x, y)

∂ _y f (x, y) = h (x, y).

Beräkning och betydelse av det partiella derivatet

För att bestämma hastigheten för förändring eller lutning för funktionen för en specifik punkt (x = a, y = b) i riktningen parallellt med X-axeln:

1- Funktionen ∂ _x f (x, y) = g (x, y) beräknas med det vanliga derivatet i variabeln x och lämnar variabeln y fast eller konstant.

2- Därefter ersätts värdet för punkten x = a och y = b där vi vill veta hastigheten på funktionens förändring i x-riktningen:

{Lutning i x-riktningen vid punkten (a, b)} = ∂ _x f (a, b).

3- För att beräkna förändringshastigheten i y-riktningen vid koordinatpunkten (a, b), beräkna först ∂ _och f (x, y) = h (x, y).

4- Därefter ersätts punkten (x = a, y = b) i föregående resultat för att erhålla:

{Lutning i y-riktningen vid punkten (a, b)} = ∂ _y f (a, b)

Exempel på partiella derivat

Några exempel på partiella derivat är följande:

Exempel 1

Med tanke på funktionen:

f (x, y) = -x ^ 2 - y ^ 2 + 6

Hitta de partiella derivat av funktionen f med avseende på variabeln x och variabeln y.

Lösning:

∂ xf = -2x

∂ yf = -2y

Observera att för att beräkna det partiella derivatet av funktionen f med avseende på variabeln x genomfördes det vanliga derivatet med avseende på x, men variabeln y togs som om den var konstant. På samma sätt har vid beräkningen av det partiella derivatet av f med avseende på y, variabeln x tagits som om det var en konstant.

Funktionen f (x, y) är en yta som kallas en paraboloid som visas i figur 1 i ockerfärg.

Exempel 2

Hitta förändringshastigheten (eller lutningen) för funktionen f (x, y) från exempel 1, i riktningen för X-axeln och Y-axeln för punkten (x = 1, y = 2).

Lösning: För att hitta lutningarna i x- och y-riktningarna vid den givna punkten, ersätt helt enkelt värdena på punkten i funktionen ∂ _x f (x, y) och i funktionen ∂ _y f (x, y):

∂ _x f (1,2) = -2⋅ 1 = -2

∂ _och f (1,2) = -2⋅ 2 = -4

Figur 1 visar tangentlinjen (i röd färg) till kurvan bestämd genom skärningspunkten mellan funktionen f (x, y) med planet y = 2, lutningen för denna linje är -2. Figur 1 visar också tangenslinjen (i grönt) till kurvan som definierar skärningspunkten mellan funktionen f med planet x = 1; Denna linje har lutning -4.

övningar

Övning 1

Ett koniskt glas vid en viss tidpunkt innehåller vatten så att ytan på vattnet har radie r och djup h. Men glaset har ett litet hål i botten genom vilket vatten går förlorat med en hastighet av C kubikcentimeter per sekund. Bestäm nedstigningshastigheten från vattenytan i centimeter per sekund.

Lösning:

Först av allt är det nödvändigt att komma ihåg att vattenvolymen vid det givna ögonblicket är:

Volym är en funktion av två variabler, radie r och djup h: V (r, h).

När volymen ändras med en oändlig mängd dV, ändras även radien r för vattenytan och djupet h för vattnet enligt följande förhållande:

dV = ∂ _r V dr + ∂ _h V dh

Vi fortsätter med att beräkna partiella derivat av V med avseende på r respektive h:

∂ _r V = ∂ _r (⅓ π r ^ 2 h) = ⅔ π rh

∂ _h V = ∂ _h (⅓ π r ^ 2 h) = ⅓ π r ^ 2

Dessutom uppfyller radien r och djupet h följande förhållande:

Att dela båda medlemmarna med tidsskillnaden dt ger:

dV / dt = p r ^ 2 (dh / dt)

Men dV / dt är den volym vatten som går förlorad per tidsenhet som är känd för att vara C centimeter per sekund, medan dh / dt är nedstigningshastigheten för den fria ytan av vatten, som kommer att kallas v. Det vill säga, vattenytan vid det givna ögonblicket sjunker med en hastighet v (i cm / s) som ges av:

v = C / (r ^ ^).

Antag att som en numerisk applikation r = 3 cm, h = 4 cm och förlustgraden C är 3 cm ^ 3 / s. Då är ytans nedstigningshastighet i det ögonblicket:

v = 3 / (π 3 ^ 2) = 0,11 cm / s = 1,1 mm / s.

Övning 2

Clairaut-Schwarz-teoremet säger att om en funktion är kontinuerlig i dess oberoende variabler och dess partiella derivat med avseende på de oberoende variablerna också är kontinuerliga, så kan andra ordningens blandade derivat utbytas. Kontrollera denna sats för funktionen

f (x, y) = x ^ 2 y, det vill säga det måste vara sant att f _xy f = ∂ _yx f.

Lösning:

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f) medan ∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f)

∂ _x f = 2 xy; ∂ _y f = x ^ 2

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f) = 2x

∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f) = 2x

Schwarzs teorem har visat sig ha, eftersom funktionen f och dess partiella derivat är kontinuerliga för alla verkliga siffror.

referenser

1. Frank Ayres, J., & Mendelson, E. (2000). Beräkning 5ed. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). Beräkningen med analytisk geometri. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Beräkning. Mexiko: Pearson Education.
4. Saenz, J. (2005). Skillnadskalkyl. Hypotenusa.
5. Saenz, J. (2006). Integrerad kalkyl. Hypotenusa.
6. Wikipedia. Partiellt derivat. Återställd från: es.wikipedia.com