PÅ VARANDRA FÖLJANDE DERIVAT (MED LÖSTA ÖVNINGAR) - MATTE - 2026

De på varandra följande derivat är de som härrör från en funktion efter det andra derivat. Processen för att beräkna de på varandra följande derivat är följande: vi har en funktion f, som vi kan härleda och därmed erhålla derivatfunktionen f '. Vi kan härleda detta derivat av f igen, erhålla (f ')'.

Denna nya funktion kallas det andra derivatet; alla derivat beräknade från den andra är successiva; Dessa, även kallad högre ordning, har fantastiska applikationer, såsom att ge information om kurvan för en funktionsdiagram, testet av det andra derivatet för relativa ytterligheter och bestämning av oändliga serier.

Definition

Med hjälp av Leibnizs notation har vi att derivatet av en funktion "y" med avseende på "x" är dy / dx. För att uttrycka det andra derivatet av "y" med hjälp av Leibnizs notation, skriver vi på följande sätt:

Generellt sett kan vi uttrycka successiva derivat enligt följande med Leibnizs notation, där n representerar derivatets ordning.

Andra notationer som används är följande:

Några exempel där vi kan se de olika notationerna är:

Exempel 1

Få alla derivat av funktionen f definierad av:

Genom att använda de vanliga härledningsteknikerna har vi att derivatet av f är:

Genom att upprepa processen kan vi erhålla det andra derivatet, det tredje derivatet och så vidare.

Observera att det fjärde derivatet är noll och derivatet av noll är noll, så vi har:

Exempel 2

Beräkna det fjärde derivatet med följande funktion:

Härleda den givna funktionen vi har som resultat:

Hastighet och acceleration

En av motivationerna som ledde till upptäckten av derivatet var sökandet efter definitionen av omedelbar hastighet. Den formella definitionen är följande:

Låt y = f (t) vara en funktion vars graf beskriver banan för en partikel vid tidpunkten t, då dess hastighet vid tiden t ges av:

När en partikelns hastighet har uppnåtts kan vi beräkna omedelbar acceleration, som definieras enligt följande:

Den momentana accelerationen av en partikel vars väg ges av y = f (t) är:

Exempel 1

En partikel rör sig längs en linje enligt positionsfunktionen:

Där "y" mäts i meter och "t" i sekunder.

- På vilket ögonblick är dess hastighet 0?

- På vilket ögonblick är dess acceleration 0?

Vid härledningen av positionsfunktionen «och» har vi att dess hastighet och acceleration ges respektive av:

För att besvara den första frågan räcker det för att bestämma när funktionen v blir noll; detta är:

Vi fortsätter med följande fråga på ett analogt sätt:

Exempel 2

En partikel rör sig längs en linje enligt följande rörelseekvation:

Bestäm "t, y" och "v" när a = 0.

Att veta att hastighet och acceleration ges av

Vi fortsätter att härleda och få:

Att göra a = 0 har vi:

Därifrån kan vi dra slutsatsen att värdet på t för a att vara lika med noll är t = 1.

Sedan har vi utvärderat positionsfunktionen och hastighetsfunktionen vid t = 1:

tillämpningar

Explicit härledning

Påföljande derivat kan också erhållas genom implicit derivat.

Exempel

Med tanke på följande ellips, hitta "y":

Vi härleder implicit med avseende på x, vi har:

Sedan implicit återigen härleda med avseende på x ger oss:

Slutligen har vi:

Relativa ytterligheter

En annan användning som vi kan ge till andra ordensderivat är vid beräkningen av relativa extremer av en funktion.

Kriteriet för det första derivatet för lokala extremer säger att om vi har en kontinuerlig funktion f på ett intervall (a, b) och det finns ett c som tillhör nämnda intervall så att f 'försvinner i c (det vill säga att c är en kritisk punkt), ett av tre fall kan uppstå:

- Om f´ (x)> 0 för alla x som tillhör (a, c) och f´ (x) <0 för x som tillhör (c, b), är f (c) ett lokalt maximum.

- Om f´ (x) <0 för alla x som tillhör (a, c) och f´ (x)> 0 för x som tillhör (c, b), är f (c) ett lokalt minimum.

- Om f´ (x) har samma inloggning (a, c) och i (c, b), innebär det att f (c) inte är ett lokalt extrema.

Med hjälp av kriteriet för det andra derivatet kan vi veta om ett kritiskt antal för en funktion är ett lokalt maximum eller ett minimum, utan att behöva se vad som är tecknet på funktionen i de nämnda intervall.

Det andra driftkriteriet säger att om f´ (c) = 0 och att f´´ (x) är kontinuerligt i (a, b), händer det att om f´´ (c)> 0 då f (c) är ett lokalt minimum och om f´´ (c) <0 är f (c) ett lokalt maximum.

Om f´´ (c) = 0, kan vi inte sluta något.

Exempel

Med tanke på funktionen f (x) = x ⁴ + (4/3) x ³ - 4x ² , hitta de relativa maxima och minima för f med hjälp av kriteriet för det andra derivatet.

Först beräknar vi f´ (x) och f´´ (x) och vi har:

f´ (x) = 4x ³ + 4x ² - 8x

f´´ (x) = 12x ² + 8x - 8

Nu, f´ (x) = 0 om, och bara om 4x (x + 2) (x - 1) = 0, och detta händer när x = 0, x = 1 eller x = - 2.

För att bestämma om de kritiska siffrorna som erhålls är relativa ytterligheter är det tillräckligt att utvärdera vid f´´ och därmed observera dess tecken.

f´´ (0) = - 8, så f (0) är ett lokalt maximum.

f´´ (1) = 12, så f (1) är ett lokalt minimum.

f´´ (- 2) = 24, så f (- 2) är ett lokalt minimum.

Taylor-serien

Låt f vara en funktion som definieras enligt följande:

Denna funktion har en konvergensradie R> 0 och har derivat av alla ordningar i (-R, R). Följande derivat av f ger oss:

Med x = 0 kan vi få värdena på c _n som en funktion av deras derivat enligt följande:

Om vi ​​tar an = 0 som funktionen f (det vill säga f ^ 0 = f), kan vi skriva om funktionen enligt följande:

Låt oss nu betrakta funktionen som en serie krafter vid x = a:

Om vi ​​gör en analys analog med den föregående, skulle vi behöva skriva funktionen f som:

Dessa serier är kända som Taylor-serie från f till a. När a = 0 har vi det specifika fallet som heter Maclaurin-serien. Denna typ av serier är av stor matematisk betydelse, särskilt i numerisk analys, eftersom vi tack vare dessa kan definiera funktioner i datorer som ^ex , sin (x) och cos (x).

Exempel

Skaffa Maclaurin-serien för e ^x .

Observera att om f (x) = e ^x , då f ⁽ⁿ⁾ (x) = e ^x och f ⁽ⁿ⁾ (0) = 1, så är dess Maclaurin-serie:

referenser

1. Frank Ayres, J., & Mendelson, E. (nd). Beräkning 5ed. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). Beräkningen med analytisk geometri. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Beräkning. Mexiko: Pearson Education.
4. Saenz, J. (2005). Skillnadskalkyl. Hypotenusa.
5. Saenz, J. (nd). Integrerad kalkyl. Hypotenusa.