TRIANGEL OJÄMLIKHET: BEVIS, EXEMPEL, LÖSTA ÖVNINGAR - MATTE - 2026

Det kallas ojämlik triangelegenskap som uppfyller två reella tal som består av det absoluta värdet på deras summa är alltid mindre än eller lika med summan av deras absoluta värden. Den här egenskapen är också känd som Minkowskis ojämlikhet eller triangulära ojämlikhet.

Denna egenskap med siffror kallas triangulär ojämlikhet eftersom det i trianglar händer att längden på en sida alltid är mindre än eller lika med summan av de andra två, även om denna ojämlikhet inte alltid gäller i området för trianglar.

Figur 1. Det absoluta värdet för summan av två siffror är alltid mindre än eller lika med summan av deras absoluta värden. (Utarbetad av R. Pérez)

Det finns flera bevis på den triangulära ojämlikheten i verkliga siffror, men i detta fall kommer vi att välja en baserad på egenskaperna för det absoluta värdet och det binomiala kvadratet.

Sats: För varje par av siffrorna a och b som tillhör de verkliga siffrorna har vi:

- a + b - ≤ - a - + - b -

Demonstration

Vi börjar med att överväga den första medlemmen i ojämlikheten, som kommer att vara kvadratisk:

- a + b - ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 ab + b ^ 2 (ekv. 1)

I föregående steg använde vi egenskapen att valfritt kvadratnummer är lika med det absoluta värdet på nämnda kvadratiska nummer, det vill säga: -x- ^ 2 = x ^ 2. Den fyrkantiga binomiala expansionen har också använts.

Varje tal x är mindre än eller lika med dess absoluta värde. Om antalet är positivt är det lika, men om antalet är negativt kommer det alltid att vara mindre än ett positivt tal. I detta fall kan dess eget absoluta värde, det vill säga, anges att x ≤ - x -.

Produkten (ab) är ett nummer, därför gäller det att (ab) ≤ - ab -. När den här egenskapen tillämpas på (ekv. 1) har vi:

- a + b - ^ 2 = a ^ 2 + 2 (ab) + b ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - ab - + b ^ 2 (ekv. 2)

Med hänsyn till att - ab - = - a - b - la (ekv. 2) kan skrivas på följande sätt:

- a + b - ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - a - b - + b ^ 2 (ekv. 3)

Men eftersom vi tidigare sa att kvadratet för ett tal är lika med det absoluta värdet på det kvadratiska talet, kan ekvation 3 skrivas om på följande sätt:

- a + b - ^ 2 ≤ -a- ^ 2 + 2 -a- -b- + -b- ^ 2 (ekv. 4)

I den andra medlemmen i ojämlikheten erkänns en anmärkningsvärd produkt, som när den tillämpas leder till:

- a + b - ^ 2 ≤ (-a- + -b -) ^ 2 (ekv. 5)

I det föregående uttrycket bör det noteras att värdena som ska kvadrateras i båda medlemmarna av ojämlikheten är positiva, därför måste det också vara tillfredsställande att:

- a + b - ≤ (-a- + -b-) (ekv. 6)

Det föregående uttrycket är exakt vad du ville demonstrera.

exempel

Därefter kommer vi att kontrollera den triangulära ojämlikheten med flera exempel.

Exempel 1

Vi tar värdet a = 2 och värdet b = 5, det vill säga båda positiva siffror och vi kontrollerar om ojämlikheten är nöjd eller inte.

- 2 + 5 - ≤ -2- + -5-

- 7 - ≤ -2- + -5-

7 ≤ 2+ 5

Jämställdhet verifieras, därför har triangelns ojämlikhetsteorem uppfyllts.

Exempel 2

Följande värden väljs a = 2 och b = -5, det vill säga ett positivt tal och det andra negativt, vi kontrollerar om ojämlikheten är uppfylld eller inte.

- 2 - 5 - ≤ -2- + --5-

- -3 - ≤ -2- + --5-

3 ≤ 2 + 5

Ojämlikheten är nöjd, därför har den triangulära ojämlikhetssatsen verifierats.

Exempel 3

Vi tar värdet a = -2 och värdet b = 5, det vill säga ett negativt tal och det andra positivt, vi kontrollerar om ojämlikheten är uppfylld eller inte.

- -2 + 5 - ≤ --2- + -5-

- 3 - ≤ --2- + -5-

3 ≤ 2 + 5

Ojämlikheten verifieras, därför har setningen uppfyllts.

Exempel 4

Följande värden a = -2 och b = -5 väljs, det vill säga båda negativa siffror och vi kontrollerar om ojämlikheten är uppfylld eller inte.

- -2 - 5 - ≤ --2- + --5-

- -7 - ≤ --2- + --5-

7 ≤ 2+ 5

Jämställdhet bekräftas, därför har Minkowskijs ojämlikhetsteorem uppfyllts.

Exempel 5

Vi tar värdet a = 0 och värdet b = 5, det vill säga ett tal noll och det andra positivt, då kontrollerar vi om ojämlikheten är nöjd eller inte.

- 0 + 5 - ≤ -0- + -5-

- 5 - ≤ -0- + -5-

5 ≤ 0+ 5

Jämställdhet uppfylls, därför har triangelns ojämlikhetsteorem verifierats.

Exempel 6

Vi tar värdet a = 0 och värdet b = -7, det vill säga ett tal noll och det andra positivt, då kontrollerar vi om ojämlikheten är nöjd eller inte.

- 0 - 7 - ≤ -0- + --7-

- -7 - ≤ -0- + --7-

7 ≤ 0+ 7

Jämställdhet verifieras, därför har den triangulära ojämlikhetssatsen uppfyllts.

Lösta övningar

I följande övningar representerar du geometriskt triangelns ojämlikhet eller Minkowski ojämlikhet för siffrorna a och b.

Siffran a kommer att representeras som ett segment på X-axeln, dess ursprung O sammanfaller med X-axelns noll och den andra änden av segmentet (vid punkt P) kommer att vara i positiv riktning (till höger) på X-axeln om en > 0, men om a <0 är det mot X-axelns negativa riktning, så många enheter som dess absoluta värde indikerar.

På samma sätt kommer antalet b att representeras som ett segment vars ursprung är på punkt P. - enheter till vänster om P om b <0.

Övning 1

Grafer ojämlikheten i triangeln för a = 5 och b = 3 - a + b - ≤ - a - + - b -, där c = a + b.

Övning 2

Grafer den triangulära ojämlikheten för a = 5 och b = -3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, där c = a + b.

Övning 3

Visa grafiskt ojämlikheten i triangeln för a = -5 och b = 3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, där c = a + b.

Övning 4

Konstruera grafiskt den triangulära ojämlikheten för a = -5 och b = -3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, där c = a + b.

referenser

1. E. Whitesitt. (1980). Boolean Algebra och dess tillämpningar. Redaktionsföretag Continental CA
2. Mícheál O 'Searcoid. (2003) Elements of Abstract Analysis. . Institutionen för matematik. University college Dublin, Beldfield, Dublind.
3. J. Van Wyk. (2006) Matematik och teknik i datavetenskap. Institutet för datavetenskap och teknik. National Bureau of Standards. Washington DC 20234
4. Eric Lehman. Matematik för datavetenskap. Google Inc.
5. K Thomson Leighton (1980). Calculus. Institutionen för matematik och datavetenskap och AI-laboratorium, Massachussetts Institute of Technology.
6. Khan akademin. Triangel ojämlikhetsteorem. Återställd från: khanacademy.org
7. Wikipedia. Triangulär ojämlikhet. Återställd från: es. wikipedia.com