DISKRETA SANNOLIKHETSFÖRDELNINGAR: EGENSKAPER, ÖVNINGAR - MATTE - 2026

De diskreta sannolikhetsfördelningarna är en funktion som tilldelar varje element i X (S) = {x1, x2, …, xi, …}, där X är en diskret slumpvariabel som ges och S är provutrymmet, sannolikheten för att nämnda händelse inträffar. Denna funktion f av X (S) definierad som f (xi) = P (X = xi) kallas ibland sannolikhetsmassfunktionen.

Denna massa av sannolikheter representeras generellt i tabellform. Eftersom X är en diskret slumpmässig variabel har X (S) ett begränsat antal händelser eller räknbar oändlighet. Bland de vanligaste diskreta sannolikhetsfördelningarna har vi den enhetliga fördelningen, binomialfördelningen och Poisson-fördelningen.

egenskaper

Funktionen för sannolikhetsfördelning måste uppfylla följande villkor:

Dessutom, om X endast tar ett begränsat antal värden (till exempel x1, x2, …, xn), så blir p (xi) = 0 om i> ny, därför blir den oändliga serien av villkor b en finite serien.

Denna funktion uppfyller också följande egenskaper:

Låt B vara en händelse associerad med den slumpmässiga variabeln X. Detta betyder att B finns i X (S). Antag specifikt att B = {xi1, xi2, …}. Således:

Med andra ord är sannolikheten för en händelse B lika med summan av sannolikheterna för de individuella utfallen förknippade med B.

Av detta kan vi dra slutsatsen att om a <b, händelserna (X ≤ a) och (a <X ≤ b) är ömsesidigt exklusiva och dessutom är deras förening händelsen (X ≤ b), så vi har:

typer

Enhetlig fördelning över n punkter

Det sägs att en slumpmässig variabel X följer en fördelning kännetecknad av att vara enhetlig vid n punkter om varje värde tilldelas samma sannolikhet. Dess sannolikhetsmassfunktion är:

Anta att vi har ett experiment som har två möjliga resultat, det kan vara kastet av ett mynt vars möjliga resultat är huvud eller svansar, eller valet av ett heltal vars resultat kan vara ett jämnt tal eller ett udda; denna typ av experiment kallas Bernoulli-test.

I allmänhet kallas de två möjliga resultaten framgång och misslyckande, där p är sannolikheten för framgång och 1-p är sannolikheten för misslyckande. Vi kan bestämma sannolikheten för x-framgångar i n Bernoulli-test som är oberoende av varandra med följande distribution.

Binomial distribution

Det är funktionen som representerar sannolikheten för att få x framgångar i n oberoende Bernoulli-test, vars sannolikhet för framgång är p. Dess sannolikhetsmassfunktion är:

Följande graf representerar sannolikhetsmassfunktionen för olika värden på parametrarna för binomialfördelningen.

Följande distribution har sitt namn till den franska matematikern Simeon Poisson (1781-1840), som erhöll den som gränsen för binomialfördelningen.

Poisson distribution

En slumpmässig variabel X sägs ha en Poisson-fördelning av parametern λ när den kan ta de positiva heltalvärdena 0,1,2,3, … med följande sannolikhet:

I detta uttryck är λ det genomsnittliga antalet som motsvarar händelserna för händelsen för varje tidsenhet, och x är antalet gånger händelsen inträffar.

Dess sannolikhetsmassfunktion är:

Här är en graf som representerar sannolikhetsmassfunktionen för olika värden på parametrarna för Poisson-fördelningen.

Observera att så länge antalet framgångar är lågt och antalet n tester som utförs på en binomialfördelning är hög, kan vi alltid ungefärliga dessa fördelningar, eftersom Poisson-fördelningen är gränsen för binomialfördelningen.

Huvudskillnaden mellan dessa två fördelningar är att medan binomialet beror på två parametrar, nämligen n och p, beror Poisson endast på λ, som ibland kallas distributionsintensiteten.

Hittills har vi bara talat om sannolikhetsfördelningar för fall där de olika experimenten är oberoende av varandra; det vill säga när resultatet av en inte påverkas av något annat resultat.

När det inträffar med experiment som inte är oberoende är den hypergeometriska fördelningen mycket användbar.

Hypergeometrisk fördelning

Låt N vara det totala antalet objekt i en ändlig uppsättning, av vilka vi kan identifiera k av dessa på något sätt och därmed bilda en delmängd K, vars komplement bildas av de återstående Nk-elementen.

Om vi ​​slumpmässigt väljer n-objekt har den slumpmässiga variabeln X som representerar antalet objekt som tillhör K i nämnda val en hypergeometrisk fördelning av parametrarna N, n och k. Dess sannolikhetsmassfunktion är:

Följande graf representerar sannolikhetsmassfunktionen för olika värden på parametrarna för den hypergeometriska fördelningen.

Lösta övningar

Första övningen

Anta att sannolikheten för att ett radiorör (placerat i en viss typ av utrustning) kommer att fungera i mer än 500 timmar är 0,2. Om 20 rör testas, vad är troligen att exakt k av dessa kommer att köras i mer än 500 timmar, k = 0, 1,2, …, 20?

Lösning

Om X är antalet rör som arbetar mer än 500 timmar antar vi att X har en binomialfördelning. Så

Och så:

För k≥11 är sannolikheterna mindre än 0,001

Således kan vi se hur sannolikheten för att k av dessa arbetar i mer än 500 timmar ökar, tills den når sitt maximala värde (med k = 4) och sedan börjar minska.

Andra övningen

Ett mynt kastas 6 gånger. När resultatet är dyrt, säger vi att det är en framgång. Vad är sannolikheten för att två huvuden kommer upp exakt?

Lösning

För detta fall har vi att n = 6 och både sannolikheten för framgång och misslyckande är p = q = 1/2

Därför är sannolikheten för att två huvuden ges (det vill säga k = 2)

Tredje övningen

Vad är sannolikheten för att hitta minst fyra huvuden?

Lösning

För detta fall har vi att k = 4, 5 eller 6

Tredje övningen

Anta att 2% av artiklarna som produceras på en fabrik är defekta. Hitta sannolikheten P att det finns tre defekta objekt i ett prov på 100 objekt.

Lösning

För detta fall kan vi tillämpa binomialfördelningen för n = 100 och p = 0,02 som erhålls som resultat:

Men eftersom p är liten, använder vi Poisson-approximationen med λ = np = 2. Så,

referenser

1. Kai Lai Chung. Elementarförmågansteori med stokastiska processer. Springer-Verlag New York Inc
2. Kenneth.H. Rosen, diskret matematik och dess tillämpningar. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Sannolikhet och statistiska tillämpningar. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 löste problem med diskret matematik. McGraw-Hill.
5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teori- och sannolikhetsproblem. McGraw-Hill.