SYNTETISK UPPDELNING: METOD OCH LÖSTA ÖVNINGAR - MATTE - 2026

Den syntetiska uppdelningen är ett enkelt sätt att dela upp ett polynomialt P (x) vilken som helst av formen d (x) = x - c. Till exempel, polynomet P (x) = (x ⁵ + 3x ⁴ -7x ³ + 2x ² -8X + 1) kan representeras som multiplikation av de två enklaste polynomen (x + 1) och (x ⁴ + 2x ³ ).

Det är ett mycket användbart verktyg eftersom det, förutom att vi kan dela polynom, också ger oss möjlighet att utvärdera ett polynom P (x) vid valfritt nummer c, vilket i sin tur säger oss exakt om nämnda nummer är en noll på polynomet eller inte.

Tack vare delningsalgoritmen vet vi att om vi har två icke-konstanta polynomer P (x) och d (x) finns det unika polynomier q (x) och r (x) så att det är sant att P (x) = q (x) d (x) + r (x), där r (x) är noll eller mindre än q (x). Dessa polynomier är kända som kvotient respektive resten eller resten.

Vid de tillfällen då polynomet d (x) har formen x- c, ger syntetisk uppdelning oss ett kort sätt att hitta vem q (x) och r (x) är.

Metod för syntetisk uppdelning

Låt P (x) = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + … + a ₁ x + a ₀ det polynom som vi vill dela upp och d (x) = xc delaren. För att dela med den syntetiska delningsmetoden fortsätter vi enligt följande:

1- Vi skriver koefficienterna för P (x) i den första raden. Om någon effekt av X inte visas, sätter vi noll som dess koefficient.

2- I den andra raden, till vänster om a _n placerar vi c, och vi ritar delningsrader som visas i följande figur:

3- Vi sänker den ledande koefficienten till den tredje raden.

I detta uttryck b _n-1 = a _n

4- Vi multiplicerar c med den ledande koefficienten b _n-1 och vi skriver resultatet i den andra raden, men en kolumn till höger.

5- Vi lägger till kolumnen där vi skriver föregående resultat och placerar resultatet under den summan; det vill säga i samma kolumn, tredje raden.

När vi lägger till har vi som ett resultat _n-1 + c * b _n-1 , som för enkelhets skull kommer vi att kalla b _n-2

6- Vi multiplicerar c med föregående resultat och skriver resultatet till höger i den andra raden.

7- Vi upprepar steg 5 och 6 tills vi når koefficienten vid ₀ .

8- Vi skriver svaret; det vill säga kvoten och resten. Eftersom vi delar ett polynom av grad n med ett polynom av grad 1, har vi att kvoten skulle vara av grad n-1.

Koefficienterna för kvotpolynomet är siffrorna i den tredje raden utom den sista, som kommer att vara restpolynomet eller återstoden av uppdelningen.

Lösta övningar

- Exempel 1

Utför följande uppdelning med den syntetiska uppdelningsmetoden:

(x ⁵ + 3x ⁴ -7x ³ + 2x ² -8X + 1): (x + 1).

Lösning

Vi skriver först koefficienterna för utdelningen enligt följande:

Sedan skriver vi c på vänster sida, i den andra raden, tillsammans med delningslinjerna. I detta exempel c = -1.

Vi sänker den ledande koefficienten (i detta fall b _n-1 = 1) och multiplicerar den med -1:

Vi skriver resultatet till höger i den andra raden, som visas nedan:

Vi lägger till siffrorna i den andra kolumnen:

Vi multiplicerar 2 med -1 och skriver resultatet i den tredje kolumnen, andra raden:

Vi lägger till i den tredje kolumnen:

Vi fortsätter på samma sätt tills vi når den sista kolumnen:

Således har vi att det sista erhållna antalet är resten av uppdelningen, och de återstående siffrorna är koefficienterna för kvotpolynomet. Detta skrivs på följande sätt:

Om vi ​​vill verifiera att resultatet är korrekt räcker det för att verifiera att följande ekvation är sann:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

Så vi kan kontrollera att det erhållna resultatet är korrekt.

- Exempel 2

Utför följande uppdelning av polynomer med den syntetiska uppdelningsmetoden

(7x ³ -x + 2): (x + 2)

Lösning

I det här fallet har vi att termen x ² inte visas, så vi kommer att skriva 0 som dess koefficient. Således skulle polynomet vara 7x ³ + 0x ² -x + 2.

Vi skriver deras koefficienter i rad, det här är:

Vi skriver värdet på C = -2 på vänster sida av den andra raden och drar delningslinjerna.

Vi sänker den ledande koefficienten b _n-1 = 7 och multiplicerar den med -2 ​​och skriver resultatet i den andra raden till höger.

Vi lägger till och fortsätter som tidigare förklarats, tills vi når den sista termen:

I detta fall är återstoden r (x) = - 52 och kvoten erhållen är q (x) = 7x ² -14x + 27.

- Exempel 3

Ett annat sätt att använda syntetisk uppdelning är följande: anta att vi har en polynom P (x) av grad n och vi vill veta vad värdet är genom att utvärdera det vid x = c.

Genom delningsalgoritmen kan vi skriva polynomet P (x) på följande sätt:

I detta uttryck är q (x) och r (x) kvoten respektive resten. Nu, om d (x) = x- c, vid utvärdering vid c i polynomet får vi följande:

Därför återstår det bara att hitta ar (x), och vi kan göra detta tack vare den syntetiska uppdelningen.

Vi har till exempel polynomet P (x) = x ⁷ -9x ⁶ + 19x ⁵ + 12x ⁴ -3x ³ + 19x ² -37x-37 och vi vill veta vad dess värde är genom att utvärdera det på x = 5. För att göra detta utför vi uppdelning mellan P (x) och d (x) = x -5 med den syntetiska delningsmetoden:

När operationerna är klar vet vi att vi kan skriva P (x) på följande sätt:

P (x) = (x ⁶ -4x ⁵ –x ⁴ + 7x ³ + 32x ² + 179x + 858) * (x-5) + 4253

Därför måste vi:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Som vi ser är det möjligt att använda syntetisk uppdelning för att hitta värdet på ett polynom genom att utvärdera det vid c snarare än att helt enkelt ersätta c för x.

Om vi ​​försökte utvärdera P (5) på traditionellt sätt skulle vi tvingas göra några beräkningar som ofta blir tråkiga.

- Exempel 4

Uppdelningsalgoritmen för polynom är också sant för polynom med komplexa koefficienter och som en konsekvens av detta har vi att den syntetiska delningsmetoden också fungerar för sådana polynom. Vi kommer att se ett exempel nedan.

Vi kommer att använda den syntetiska uppdelningsmetoden för att visa att z = 1+ 2i är en noll av polynomet P (x) = x ³ + (1 + i) x ² - (1 + 2i) x + (15 + 5i); det vill säga resten av divisionen P (x) med d (x) = x - z är lika med noll.

Vi fortsätter som tidigare: i den första raden skriver vi koefficienterna för P (x), sedan i den andra skriver vi z och drar delningsraderna.

Vi utför divisionen som tidigare; detta är:

Vi kan observera att återstoden är noll; därför drar vi slutsatsen att z = 1+ 2i är en noll på P (x).

referenser

1. Baldor Aurelio. Algebra Grupo Redaktionella Patria.
2. Demana, Waits, Foley & Kennedy. Precalculus: Grafisk, numerisk, algebraisk 7. ed. Pearson utbildning.
3. Flemming W & Varserg D. Algebra och Trigonometry med analytisk geometri. Prentice hall
4. Michael Sullivan. Precalculus 4: e upplagan Pearson Education.
5. Röd. Armando O. Algebra 1 6: e upplagan. Atenumet.