POLYNOMEKVATIONER (MED LÖSTA ÖVNINGAR) - MATTE - 2026

De polynomekvationer är ett uttalande som höjer lika två uttryck eller medlemmar, där minst en av de termer som gör upp varje sida av könen är polynom P (x). Dessa ekvationer namnges enligt graden av deras variabler.

I allmänhet är en ekvation ett uttalande som fastställer jämställdheten mellan två uttryck, där i åtminstone en av dessa finns okända mängder, som kallas variabler eller okända. Även om det finns många typer av ekvationer, klassificeras de i allmänhet i två typer: algebraisk och transcendent.

Polynomekvationer innehåller bara algebraiska uttryck, som kan ha en eller flera okända involverade i ekvationen. Enligt den exponent (graden) de har kan de klassificeras i: första graden (linjär), andra graden (kvadratisk), tredje graden (kubik), fjärde graden (kvarts), grad större än eller lika med fem och irrationell.

egenskaper

Polynomekvationer är uttryck som bildas av en jämlikhet mellan två polynomier; det vill säga med de begränsade summorna av multiplikationer mellan värden som är okända (variabler) och fasta nummer (koefficienter), där variabler kan ha exponenter, och deras värde kan vara ett positivt heltal, inklusive noll.

Exponenterna bestämmer graden eller typen av ekvation. Termen i uttrycket med den högsta exponenten kommer att representera den absoluta graden av polynomet.

Polynomekvationer är också kända som algebraiska ekvationer, deras koefficienter kan vara verkliga eller komplexa siffror och variablerna är okända siffror representerade av en bokstav, till exempel: "x".

Om ett värde ersätts med variabeln "x" i P (x) är resultatet lika med noll (0), sägs det värdet tillfredsställa ekvationen (det är en lösning), och det kallas i allmänhet roten till polynomet.

När du utvecklar en polynomekvation vill du hitta alla rötter eller lösningar.

typer

Det finns flera typer av polynomekvationer, som är differentierade beroende på antalet variabler, och även beroende på graden av deras exponent.

Således kan polynomekvationerna - där dess första term är ett polynom som har en enda okänd med tanke på att dess grad kan vara vilket som helst naturligt tal (n) och den andra termen är noll-, uttryckas enligt följande:

a _{n *} x ⁿ + a _{n-1 *} x ^n-1 +… + a _{1 *} x ¹ + a _{0 *} x ₀ = 0

Var:

- a _n, a _n-1 och ₀ är verkliga koefficienter (siffror).

- a _n skiljer sig från noll.

- Exponenten n är ett positivt heltal som representerar graden av ekvationen.

- x är variabeln eller okänd som ska sökas.

Den absoluta eller större graden av en polynomekvation är exponenten med det högsta värdet bland alla de som bildar polynomet; följaktligen klassificeras ekvationerna som:

Första klass

Polynomekvationerna i den första graden, även känd som linjära ekvationer, är de där graden (den största exponenten) är lika med 1, polynomet har formen P (x) = 0; y består av en linjär term och en oberoende. Det är skrivet enligt följande:

ax + b = 0.

Var:

- a och b är verkliga siffror och a ≠ 0.

- yxa är den linjära termen.

- b är den oberoende termen.

Exempelvis är ekvationen 13x - 18 = 4x.

För att lösa linjära ekvationer måste alla termer som innehåller det okända x vidarebefordras till ena sidan av jämlikheten, och de som inte har de flyttar till den andra sidan, för att lösa det och få en lösning:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2.

Således har den givna ekvationen bara en lösning eller rot, som är x = 2.

Andra klass

Andra grads polynomekvationer, även kända som kvadratiska ekvationer, är de där graden (den största exponenten) är lika med 2, polynomet har formen P (x) = 0 och består av en kvadratisk term , en linjär och en oberoende. Det uttrycks på följande sätt:

ax ² + bx + c = 0.

Var:

- a, b och c är verkliga siffror och a ≠ 0.

- ax ² är den kvadratiska termen, och "a" är den kvadratiska termens koefficient.

- bx är den linjära termen, och "b" är koefficienten för den linjära termen.

- c är den oberoende termen.

Lösningsmedel

I allmänhet ges lösningen på denna typ av ekvationer genom att rensa x från ekvationen, och det är som följer, som kallas upplösning:

Där kallas (b ² - 4ac) diskriminanten för ekvationen och detta uttryck bestämmer antalet lösningar som ekvationen kan ha:

- Om (b ² - 4ac) = 0 kommer ekvationen att ha en enda lösning som är dubbel; det vill säga det kommer att ha två lika lösningar.

- Om (b ² - 4ac)> 0 kommer ekvationen att ha två olika verkliga lösningar.

- Om (b ² - 4ac) <0 har ekvationen ingen lösning (den kommer att ha två olika komplexa lösningar).

Till exempel har vi ekvationen 4x ² + 10x - 6 = 0, för att lösa den först identifiera termerna a, b och c och sedan ersätta den i formeln:

a = 4

b = 10

c = -6.

Det finns fall där polynomekvationerna i andra graden inte har alla tre termer, och det är därför de löses annorlunda:

- Om de kvadratiska ekvationerna inte har den linjära termen (det vill säga b = 0) kommer ekvationen att uttryckas som ax ² + c = 0. För att lösa den, lösa för x ² och applicera kvadratrötterna i varje element och kom ihåg att de två möjliga tecknen som det okända kan ha måste beaktas:

ax ² + c = 0.

x ² = - c ÷ a

Till exempel 5 x ² - 20 = 0.

5 x ² = 20

x ² = 20 ÷ 5

x = ± √4

x = ± 2

x ₁ = 2.

x ₂ = -2.

- När kvadratisk ekvation inte har en oberoende term (det vill säga c = 0) kommer ekvationen att uttryckas som ax ² + bx = 0. För att lösa den måste vi ta den gemensamma faktorn för det okända x i det första medlemmet; Eftersom ekvationen är lika med noll är det sant att minst en av faktorerna kommer att vara lika med 0:

ax ² + bx = 0.

x (ax + b) = 0.

Därför måste du:

x = 0.

x = -b ÷ a.

Till exempel: vi har ekvationen 5x ² + 30x = 0. Först faktorerar vi:

5x ² + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Två faktorer genereras som är xy (5x + 30). Det anses att en av dessa kommer att vara lika med noll och den andra är löst:

x ₁ = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

x ₂ = -6.

Högsta graden

Polynomekvationer av högre grad är de som går från tredje graden och framåt, som kan uttryckas eller lösas med den allmänna polynomekvationen för vilken grad som helst:

a _{n *} x ⁿ + a _{n-1 *} x ^n-1 +… + a _{1 *} x ¹ + a _{0 *} x ₀ = 0

Detta används eftersom en ekvation med en grad som är större än två är resultatet av att man faktorerar ett polynom. det vill säga det uttrycks som multiplikation av polynomer i grad en eller högre, men utan riktiga rötter.

Lösningen för dessa typer av ekvationer är direkt, eftersom multiplikationen av två faktorer kommer att vara lika med noll om någon av faktorerna är noll (0); därför måste var och en av de hittade polynomekvationerna lösas, varvid alla deras faktorer är lika med noll.

Till exempel har vi den tredje graden ekvationen (kubik) x ³ + x ² + 4x + 4 = 0. För att lösa det måste följande steg följas:

- Villkoren är grupperade:

x ³ + x ² + 4x + 4 = 0

(x ³ + x ² ) + (4x + 4) = 0.

- Medlemmarna sönderdelas för att få den gemensamma faktorn för det okända:

x ² (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x ² + 4) _* (x + 1) = 0.

- På detta sätt erhålls två faktorer som måste vara lika med noll:

(x ² + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- Det kan ses att faktorn (x ² + 4) = 0 inte kommer att ha en riktig lösning, medan faktorn (x + 1) = 0 gör det. Så lösningen är:

(x + 1) = 0

x = -1.

Lösta övningar

Lös följande ekvationer:

Första övningen

(2x ² + 5) _* (x - 3) _* (1 + x) = 0.

Lösning

I detta fall uttrycks ekvationen som multiplikationen av polynomier; det är, det är faktorerad. För att lösa det måste varje faktor ställas in lika med noll:

- 2x ² + 5 = 0, det har ingen lösning.

- x - 3 = 0

- x = 3.

- 1 + x = 0

- x = - 1.

Således har den givna ekvationen två lösningar: x = 3 och x = -1.

Andra övningen

x ⁴ - 36 = 0.

Lösning

Ett polynom gavs, som kan skrivas om som en skillnad i rutor för att komma fram till en snabbare lösning. Således är ekvationen:

(x ² + 6) _* (x ² - 6) = 0.

För att hitta lösningarna på ekvationerna ställs båda faktorerna lika med noll:

(x ² + 6) = 0, det har ingen lösning.

(x ² - 6) = 0

x ² = 6

x = ± √6.

Således har den initiala ekvationen två lösningar:

x = √6.

x = - √6.

referenser

1. Andres, T. (2010). Matematisk Olympiad Tresure. Springer. New York.
2. Angel, AR (2007). Elementär algebra. Pearson Education,.
3. Baer, ​​R. (2012). Linjär algebra och projektiv geometri. Courier Corporation.
4. Baldor, A. (1941). Algebra. Havanna: Kultur.
5. Castaño, HF (2005). Matematik före beräkning. University of Medellin.
6. Cristóbal Sánchez, MR (2000). Olympic Preparation Matematics Manual. Jaume I. universitet
7. Kreemly Pérez, ML (1984). Högre algebra I.
8. Massara, NC-L. (nittonhundranittiofem). Matematik 3.