- multiplikation av ett reellt tal α av en vektor v : α v ger en annan vektor och som hör till V .

Konstnärlig vision av ett vektorrum. Källa: Pixabay

För att beteckna en vektor använder vi fetstil ( v är en vektor), och för skalor eller siffror grekiska bokstäver (α är ett tal).

Axiomer och egenskaper

För att ett vektorutrymme ska ges måste följande åtta axiomer hålla:

1-kommutabilitet: u + v = v + u

2-transitivitet: ( u + v ) + w = u + ( v + w )

3-existensen av nollvektorn 0 så att 0 + v = v

4-Existens av motsatsen: motsatsen till v är (- v ), eftersom v + (- v ) = 0

5-Distribution av produkten med avseende på vektorsumman: a ( u + v ) = α u + α v

6-Distribution av produkten med avseende på skalan: (α + ß) v = α v + β v

7-Associativitet av skalärprodukten: α (β v ) = (α β) v

8-Siffran 1 är det neutrala elementet sedan: 1 v = v

Exempel på vektorutrymmen

Exempel 1

Vektorer i (R²) -planet är ett exempel på ett vektorutrymme. En vektor i planet är ett geometriskt objekt som har storlek och riktning. Det representeras av ett orienterat segment som tillhör nämnda plan och med en storlek proportionell mot dess storlek.

Summan av två vektorer i planet kan definieras som den geometriska översättningsoperationen för den andra vektorn efter den första. Resultatet av summan är det orienterade segmentet som börjar från ursprunget till det första och når toppen av det andra.

I figuren kan man se att summan i R² är kommutativ.

Figur 2. Vektorer i planet bildar vektorutrymme. Källa: självgjord.

Produkten med ett antal a och en vektor definieras också. Om antalet är positivt, hålls riktningen för den ursprungliga vektorn och storleken är a gånger den ursprungliga vektorn. Om antalet är negativt är riktningen motsatt och storleken på den resulterande vektorn är det absoluta värdet på antalet.

Vektorn motsatt vilken vektor som helst v är - v = (- 1) v .

Nollvektorn är en punkt i R²-planet, och antalet noll gånger en vektor ger nollvektorn.

Allt som har sagts illustreras i figur 2.

Exempel 2

Uppsättningen P för alla polynomier med grad mindre än eller lika med två, inklusive grad noll, bildar en uppsättning som tillfredsställer alla axiomer i ett vektorrum.

Låt polynomet P (x) = a x² + bx + cy Q (x) = d x² + ex + f

Summan av två polynomer definieras: P (x) + Q (x) = (a + d) x² + (b + e) ​​x + (c + f)

Summan av polynomer som tillhör uppsättningen P är kommutativa och transitive.

Nollpolynomet som tillhör uppsättningen P är en som har alla dess koefficienter lika med noll:

0 (x) = 0 x² + 0 x + 0

Summan av en skalär a med ett polynom definieras som: α P (x) = α ∙ a x² + α ∙ bx + α ∙ c

Det motsatta polynomet hos P (x) är -P (x) = (-1) P (x).

Av alla ovanstående följer att uppsättningen P för alla polynomier med grad mindre än eller lika med två är ett vektorrum.

Exempel 3

Uppsättningen M för alla matriser av m rader xn-kolumner vars element är verkliga siffror bildar ett verkligt vektorutrymme, med avseende på operationerna för tillsats av matriser och produkt av ett nummer med en matris.

Exempel 4

Uppsättningen F för kontinuerliga funktioner med verklig variabel, bildar ett vektorutrymme, eftersom det är möjligt att definiera summan av två funktioner, multiplikationen av en skalär med en funktion, nollfunktionen och den symmetriska funktionen. De uppfyller också axiomerna som kännetecknar ett vektorrum.

Bas och dimension av ett vektorutrymme

Bas

Basen för ett vektorrum definieras som en uppsättning linjärt oberoende vektorer så att från en linjär kombination av dem kan vilken vektor av det vektorutrymmet som helst genereras.

Linjärt kombinera två eller flera vektorer består av att multiplicera vektorerna med en skala och sedan lägga till dem vektoriellt.

Till exempel, i vektorutrymmet för vektorer i tre dimensioner som bildas av R3, används den kanoniska basen som definieras av enhetsvektorerna (med storleken 1) i , j , k .

Där i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1). Dessa är de kartesiska eller kanoniska vektorerna.

Varje vektor V som tillhör R3 skrivs som V = a i + b j + c k , vilket är en linjär kombination av basvektorerna i , j , k . En skalär eller tal a, b, c är kända som kartesiska komponenter av V .

Det sägs också att basvektorerna i ett vektorrum bildar en generatoruppsättning av vektorrummet.

Dimensionera

Dimensionen för ett vektorrum är kardinalnumret på en vektorbasis för det utrymmet; det vill säga antalet vektorer som utgör basen.

Denna kardinal är det maximala antalet linjärt oberoende vektorer i det vektorutrymmet, och samtidigt det minsta antalet vektorer som bildar en generatoruppsättning av det utrymmet.

Baserna i ett vektorutrymme är inte unika, men alla baser i samma vektorutrymme har samma dimension.

Vector underrum

Ett vektorsundrum S i ett vektorutrymme V är en delmängd av V där samma operationer definieras som i V och uppfyller alla vektorutrymmesaxiomer. Därför kommer delområdet S också att vara ett vektorutrymme.

Exempel på vektorsundrum är vektorerna som tillhör XY-planet. Detta underutrymme är en delmängd av ett vektorutrymme med dimensionalitet större än uppsättningen vektorer som tillhör det tredimensionella utrymmet XYZ.

Ett annat exempel på ett vektordelsområde S1 i vektorrummet S bildat av alla 2 × 2 matriser med verkliga element definieras nedan:

Å andra sidan bildar S2 som definieras nedan, även om det är en delmängd av S, inte ett vektordelsområde:

Lösta övningar

-Övning 1

Låt vektorerna V1 = (1, 1, 0); V2 = (0, 2, 1) och V3 = (0, 0, 3) i R3.

a) Visa att de är linjärt oberoende.

b) Visa att de bildar en bas i R³, eftersom varje trippel (x, y, z) kan skrivas som en linjär kombination av V1, V2, V3.

c) Hitta komponenterna i trippeln V = (-3,5,4) i basen V1 , V2 , V3 .

Lösning

Kriteriet för att visa linjär oberoende består i att fastställa följande uppsättning ekvationer i α, β och γ

a (1, 1, 0) + p (0, 2, 1) + y (0, 0, 3) = (0, 0, 0)

Om den enda lösningen på detta system är α = β = γ = 0, är ​​vektorerna linjärt oberoende, annars är de inte det.

För att erhålla värdena för α, β och γ föreslår vi följande ekvationssystem:

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = 0

a ∙ 0 + ß ∙ 1 + ∙ 3 = 0

Den första leder till α = 0, den andra α = -2 ∙ β men sedan α = 0 då β = 0. Den tredje ekvationen innebär att γ = (- 1/3) β, men eftersom β = 0 då är y = 0.

Svara på

Det dras slutsatsen att det är en uppsättning linjärt oberoende vektorer i R³.

Svar b

Låt oss nu skriva trippeln (x, y, z) som en linjär kombination av V1, V2, V3.

(x, y, z) = a V1 + p V2 + y V3 = a (1, 1, 0) + p (0, 2, 1) + y (0, 0, 3)

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = x

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = y

a ∙ 0 + ß ∙ 1 + ∙ 3 = z

Var har du:

a = x

a + 2 p = y

p + 3 y = z

Den första indikerar a = x, den andra p = (yx) / 2 och den tredje y = (z- y / 2 + x / 2) / 3. På detta sätt har vi hittat generatorerna av α, β och γ från varje triplett av R3

Svar c

Låt oss gå vidare för att hitta komponenterna i trippel V = (-3,5,4) i basen V1 , V2 , V3 .

Vi ersätter motsvarande värden i de uttryck som hittas ovan för generatorerna.

I det här fallet har vi: α = -3; p = (5 - (- 3)) / 2 = 4; y = (4- 5/2 + (- 3) / 2) / 3 = 0

Det är:

(-3,5,4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)

Senast:

V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3

Vi drar slutsatsen att V1, V2, V3 utgör en bas i vektorutrymmet R³ i dimension 3.

-Övning 2

Uttryck polynomet P (t) = t² + 4t -3 som en linjär kombination av P1 (t) = t² -2t + 5, P2 (t) = 2t² -3t och P3 (t) = t + 3.

Lösning

P (t) = x Pl (t) + y P2 (t) + z P3 (t)

där siffrorna x, y, z ska bestämmas.

Genom att multiplicera och gruppera termer med samma grad i t, får vi:

t² + 4 t -3 = (x + 2y) t² + (-2x -3y + z) t + (5x + 3z)

Som leder oss till följande ekvationssystem:

x + 2y = 1

-2x -3y + z = 4

5x + 3z = -3

Lösningarna för detta ekvationssystem är:

x = -3, y = 2, z = 4.

Det är:

P (t) = -3 Pl (t) + 2 P2 (t) + 4 P3 (t)

-Övning 3

Visa att vektorerna v1 = (1, 0, -1, 2); v2 = (1, 1, 0, 1) och v3 = (2, 1, -1, 1) av R är linjärt oberoende.

Lösning

Vi kombinerar linjärt de tre vektorerna v1 , v2 , v3 och kräver att kombinationen lägger till nollelementet R⁴

a v1 + b v2 + c v3 = 0

Det vill säga,

a (1, 0, -1, 2) + b (1, 1, 0, 1) + c (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0)

Detta leder oss till följande ekvationssystem:

a + b + 2 c = 0

b + c = 0

-a - c = 0

2 a + b + c = 0

Att dra det första och det fjärde har vi: -a + c = 0 vilket innebär a = c.

Men om vi tittar på den tredje ekvationen, har vi den a = -c. Det enda sättet som a = c = (- c) rymmer är att c ska vara 0 och därför kommer en vilja också att vara 0.

a = c = 0

Om vi ​​ansluter detta resultat till den första ekvationen drar vi slutsatsen att b = 0.

Slutligen a = b = c = 0, så att man kan dra slutsatsen att vektorerna v1, v2 och v3 är linjärt oberoende.

referenser

1. Lipschutz, S. 1993. Linjär algebra. Andra upplagan. McGraw-Hill. 167-198.