FACTORING: METODER OCH EXEMPEL - MATTE - 2026

Den faktorisering är en metod genom vilken ett polynom uttrycks som multiplikationsfaktorer, som kan vara siffror eller bokstäver eller båda. För att faktorera grupperas de faktorer som är gemensamma för termerna och på detta sätt sönderdelas polynomet till flera polynomer.

Således, när faktorerna multipliceras tillsammans, är resultatet det ursprungliga polynomet. Factoring är en mycket användbar metod när du har algebraiska uttryck, eftersom det kan konverteras till multiplikation av flera enkla termer; till exempel: 2a ² + 2ab = 2a _* (a + b).

Det finns fall där ett polynom inte kan tas upp eftersom det inte finns någon gemensam faktor mellan dess villkor; således är dessa algebraiska uttryck delbara endast av sig själva och med 1. Till exempel: x + y + z.

I ett algebraiskt uttryck är den gemensamma faktorn den största gemensamma delaren av termer som komponerar den.

Factoring metoder

Det finns flera factoringmetoder som tillämpas beroende på fall. Några av dessa är följande:

Factoring efter gemensam faktor

I denna metod identifieras de faktorer som är vanliga; det vill säga de som upprepas i termerna av uttrycket. Sedan tillämpas distribueringsegenskapen, den största gemensamma delaren tas och factoring är klar.

Med andra ord identifieras den gemensamma faktorn för uttrycket och varje term delas av det; De resulterande termerna multipliceras med den största gemensamma delaren för att uttrycka faktoriseringen.

Exempel 1

Faktor (b ² x) + (b ² y).

Lösning

Först hittar du den gemensamma faktorn för varje term, som i detta fall är b ² , och delar sedan termerna med den gemensamma faktorn enligt följande:

(b ² x) / b ² = x

(b ² y) / b ² = y.

Faktoriseringen uttrycks och multiplicerar den gemensamma faktorn med de resulterande termerna:

(b ² x) + (b ² y) = b ² (x + y).

Exempel 2

Faktor (2a ² b ³ ) + (3ab ² ).

Lösning

I det här fallet har vi två faktorer som upprepas i varje term som är "a" och "b" och som höjs till en makt. För att faktorera dem, bryts de två termerna först i sin långa form:

2 _* a _* a _* b _* b _* b + 3a _* b _* b

Det kan ses att faktor "a" upprepas endast en gång under den andra termen, och faktor "b" upprepas två gånger i detta; så i den första termen återstår bara 2, en faktor "a" och en faktor "b"; medan det under den andra terminen bara är 3 kvar.

Därför skrivs och multipliceras de tider som "a" och "b" skrivs och multipliceras med de faktorer som finns kvar från varje term, som visas på bilden:

Gruppera factoring

Eftersom inte i alla fall den största gemensamma delaren av ett polynom uttrycks tydligt, är det nödvändigt att göra andra steg för att kunna skriva om polynomet och därmed faktor.

Ett av dessa steg är att gruppera termerna för polynomet i flera grupper och sedan använda den vanliga faktormetoden.

Exempel 1

Faktor ac + bc + annons + bd.

Lösning

Det finns fyra faktorer där två är vanliga: i den första termen är det «c» och i den andra är det «d». På detta sätt grupperas och separeras de två termerna:

(ac + bc) + (ad + bd).

Nu är det möjligt att tillämpa den vanliga faktormetoden genom att dela varje term med dess gemensamma faktor och sedan multiplicera den gemensamma faktorn med de resulterande termerna, så här:

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Nu får vi en binomial som är vanlig för båda termerna. För att faktorera det multipliceras det med de återstående faktorerna; på det sättet måste du:

ac + bc + ad + bd = (c + d) _* (a + b).

Inspektion factoring

Denna metod används för att faktor kvadratiska polynomer, även kallad trinomialer; det vill säga de som är strukturerade som ax ² ± bx + c, där värdet på "a" skiljer sig från 1. Denna metod används också när trinomialet har formen x ² ± bx + c och värdet på "a" = 1.

Exempel 1

Faktor x ² + 5x + 6.

Lösning

Vi har en kvadratisk trinomial med formen x ² ± bx + c. För att faktorera det måste du först hitta två siffror som, när de multipliceras, ger resultatet ett värde av «c» (det vill säga 6) och att deras summa är lika med koefficienten «b», som är 5. Dessa siffror är 2 och 3 :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

På detta sätt förenklas uttrycket så här:

(x ² + 2x) + (3x + 6)

Varje term är beräknad:

- För (x ² + 2x) tas den vanliga termen: x (x + 2)

- För (3x + 6) = 3 (x + 2)

Således är uttrycket:

x (x +2) + 3 (x +2).

Eftersom vi har en binomial gemensamt, för att minska uttrycket multiplicerar vi detta med de återstående termerna och vi måste:

x ² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

Exempel 2

Faktor 4a ² + 12a + 9 = 0.

Lösning

Vi har en kvadratisk trinomial av formen ax ² ± bx + cy för att faktor det, multiplicera hela uttrycket med koefficienten x ² ; i detta fall, 4.

4a ² + 12a +9 = 0

4a ² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a ² + 12a (4) + 36 = 0

4 ² a ² + 12a (4) + 36 = 0

Nu måste vi hitta två siffror som, multiplicerat med varandra, ger resultatet ett värde av "c" (som är 36) och som när de läggs samman ger resultatet koefficienten för "a", som är 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

På detta sätt skrivs uttrycket om med hänsyn till att 4 ² a ² = 4a _* 4a. Därför gäller den distribuerande egenskapen för varje term:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Slutligen är uttrycket dividerat med koefficienten för en ² ; det vill säga 4:

(4: e + 6) _* (4: e + 6) / 4 = ((4: e + 6) / 2) _* ((4: e + 6) / 2).

Uttrycket är som följer:

4a ² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Factoring med anmärkningsvärda produkter

Det finns fall där, för att fullt ut faktorisera polynomen med ovanstående metoder, blir det en mycket lång process.

Det är därför ett uttryck kan utvecklas med formlerna för de anmärkningsvärda produkterna och processen blir därmed enklare. Bland de mest använda noterbara produkterna är:

- Skillnad mellan två rutor: (a ² - b ² ) = (a - b) _* (a + b)

- Perfekt kvadrat av summan: a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

- Perfekt kvadrat av skillnaden: a ² - 2ab + b ² = (a - b) ²

- Skillnad mellan två kuber: a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ² )

- Summan av två kuber: a ³ - b ³ = (a + b) _* (a ² - ab + b ² )

Exempel 1

Faktor (5 ² - x ² )

Lösning

I det här fallet är det en skillnad på två rutor; därför gäller den anmärkningsvärda produktformeln:

(a ² - b ² ) = (a - b) _* (a + b)

(5 ² - x ² ) = (5 - x) _* (5 + x)

Exempel 2

Faktor 16x ² + 40x + 25 ²

Lösning

I det här fallet har du en perfekt kvadrat av en summa, eftersom du kan identifiera två termer kvadratiska, och termen som återstår är resultatet av att multiplicera två med kvadratroten för den första termen, med kvadratroten för den andra termen.

en ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

För att bara beräkna kvadratrötterna för det första och det tredje uttrycket:

√ (16x ² ) = 4x

√ (25 ² ) = 5.

Sedan uttrycks de två resulterande termerna separerade av operationens tecken, och hela polynomet kvadreras:

16x ² + 40x + 25 ² = (4x + 5) ² .

Exempel 3

Faktor 27a ³ - b ³

Lösning

Uttrycket representerar en subtraktion där två faktorer är kuberade. För att faktorera dem tillämpas formeln för den anmärkningsvärda produkten med skillnaden mellan kuber, som är:

a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ² )

Följaktligen tas kubroten för varje term i binomialet och multipliceras med kvadratet för den första termen, plus produkten från den första med den andra termen, plus den andra termen i kvadrat.

27a ³ - b ³

³√ (27a ³ ) = 3a

³√ (-b ³ ) = -b

27a ³ - b ³ = (3a - b) _*

27a ³ - b ³ = (3ab) _* (9a ² + 3ab + b ² )

Factoring med Ruffinis regel

Den här metoden används när du har en polynom av grad mer än två för att förenkla uttrycket till flera polynom av mindre grad.

Exempel 1

Faktor Q (x) = x ⁴ - 9x ² + 4x + 12

Lösning

Först letar vi efter siffrorna som är delare av 12, vilket är den oberoende termen; Dessa är ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 och ± 12.

Därefter ersätts x av dessa värden, från lägsta till högsta, och därmed bestäms med vilka av värdena divisionen kommer att vara exakt; det vill säga återstoden måste vara 0:

x = -1

Q (-1) = (-1) ⁴ - 9 (-1) ² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1 ⁴ - 9 (1) ² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 2 ⁴ - 9 (2) ² + 4 (2) + 12 = 0.

Och så vidare för varje delare. I detta fall är de faktorer som hittas för x = -1 och x = 2.

Nu används Ruffini-metoden, enligt vilken koefficienterna för uttrycket kommer att delas med de faktorer som hittas så att uppdelningen är exakt. Polynomtermerna ordnas från högsta till lägsta exponent; i det fall att en term med nästa grad saknas i sekvensen placeras en 0 på sin plats.

Koefficienterna är belägna i ett schema som visas i följande bild.

Den första koefficienten sänks och multipliceras med delaren. I detta fall är den första delaren -1 och resultatet placeras i nästa kolumn. Därefter adderas värdet på koefficienten med det resultat som erhölls vertikalt och resultatet placeras under. På detta sätt upprepas processen till den sista kolumnen.

Sedan upprepas samma procedur igen, men med den andra delaren (som är 2) eftersom uttrycket fortfarande kan förenklas.

För varje erhållen rot kommer således polynomet att ha en term (x - a), där "a" är värdet på roten:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

Å andra sidan måste dessa termer multipliceras med resten av Ruffinis regel 1: 1 och -6, vilket är faktorer som representerar en grad. På detta sätt är uttrycket som bildas: (x ² + x - 6).

Att få resultatet av faktoriseringen av polynomet genom Ruffini-metoden är:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x ² + x - 6)

Slutligen kan polynomet för grad 2 som visas i det föregående uttrycket skrivas om som (x + 3) (x-2). Därför är den slutliga faktoriseringen:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x + 3) _* (x-2).

referenser

1. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra och trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
2. J, V. (2014). Hur man undervisar barnen om att faktorisera ett polynom.
3. Manuel Morillo, AS (sf). Grundläggande matematik med applikationer.
4. Roelse, PL (1997). Linjära metoder för polynomfaktorisering över ändliga fält: teori och implementeringar. Universität Essen.
5. Sharpe, D. (1987). Ringar och faktorisering.