OBJEKTIV FUNKTION: VAD DEN ÄR, VAD DEN ÄR FÖR OCH EXEMPEL - MATTE - 2026

En injektionsfunktion är vilken relation som helst av elementen i domänen med ett enda element i kodomänen. Även känd som en en-till-en- funktion ( 1 - 1 ), de ingår i klassificeringen av funktioner med avseende på hur deras element är relaterade.

Ett element i codomainen kan endast vara bilden av ett enda element i domänen, på detta sätt kan inte värdena på den beroende variabeln upprepas.

Källa: Författare.

Ett tydligt exempel skulle vara att gruppera män med jobb i grupp A och i grupp B alla cheferna. Funktion F är den som kopplar varje arbetare till sin chef. Om varje arbetare är associerad med en annan chef genom F , kommer F att vara en injektionsfunktion .

För att överväga ett injektionsfunktion måste följande uppfyllas:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁ ) ≠ F (x ₂ )

Detta är det algebraiska sättet att säga För varje x _{1 som} skiljer sig från x _{2 har} vi en F (x ₁ ) som skiljer sig från F (x ₂ ).

Vad är injektionsfunktioner för?

Injektivitet är en egenskap hos kontinuerliga funktioner, eftersom de säkerställer tilldelning av bilder för varje element i domänen, en väsentlig aspekt i kontinuiteten i en funktion.

När man ritar en linje som är parallell med X- axeln på diagrammet för en injektionsfunktion, bör grafen endast röras vid en enda punkt, oavsett i vilken höjd eller storlek Y är linjen ritad. Detta är det grafiska sättet att testa injektiviteten för en funktion.

Ett annat sätt att testa om en funktion är injektiv är genom att lösa den oberoende variabeln X i termer av den beroende variabeln Y. Då måste det verifieras om domänen för detta nya uttryck innehåller verkliga siffror, samtidigt som för varje värde på Y det finns ett enda värde på X.

Funktionerna eller ordningsrelationerna följer bland annat notationen F: D _f → C _f

Vad som läses F som går från _Df till _Cf

Där funktionen F hänför sig till set Domain och Codomain. Även känd som startuppsättning och efterbehandlingsset.

Domänen D _f innehåller de tillåtna värdena för den oberoende variabeln. Den Målmängd C _f består av alla värden som är tillgängliga för den beroende variabeln. Elementen i C _f relaterade till D _f är kända som Range av funktionen (R _f ).

Funktionskonditionering

Ibland kan en funktion som inte är injicerande utsättas för vissa villkor. Dessa nya förhållanden kan göra det till en injektionsfunktion. Alla typer av ändringar av funktionens domän och codomain är giltiga, där målet är att uppfylla injektivitetsegenskaperna i motsvarande förhållande.

Exempel på injektionsfunktioner med lösta övningar

Exempel 1

Låt funktionen F: R → R definieras av linjen F (x) = 2x - 3

A:

Källa: Författare.

Det observeras att för varje värde på domänen finns det en bild i codomain. Denna bild är unik vilket gör F till en injektionsfunktion. Detta gäller alla linjära funktioner (funktioner vars högsta grad av variabeln är en).

Källa: Författare.

Exempel 2

Låt funktionen F: R → R definieras av F (x) = x ² +1

Källa: Författare

När man drar en horisontell linje observeras att grafen hittas vid mer än ett tillfälle. På grund av detta är funktionen F inte injicerande så länge R → R är definierad

Vi fortsätter med att konditionera funktionens domän:

F: R ⁺ U {0} → R

Källa: Författare

Nu tar den oberoende variabeln inte negativa värden, på detta sätt undviks upprepande resultat och funktionen F: R ⁺ U {0} → R definierad av F (x) = x ² + 1 är injektiv .

En annan homolog lösning skulle vara att begränsa domänen till vänster, det vill säga att begränsa funktionen till att endast ta negativa och nollvärden.

Vi fortsätter med att konditionera funktionens domän

F: R ^- U {0} → R

Källa: Författare

Nu tar den oberoende variabeln inte negativa värden, på detta sätt undviks upprepande resultat och funktionen F: R ^- U {0} → R definierad av F (x) = x ² + 1 är injektiv .

Trigonometriska funktioner har vågliknande beteenden, där det är mycket vanligt att hitta upprepningar av värden i den beroende variabeln. Genom specifik konditionering, baserad på förkunskaper om dessa funktioner, kan vi begränsa domänen för att uppfylla injektivvillkoren.

Exempel 3

Låt funktionen F: → R definieras av F (x) = Cos (x)

I intervallet varierar kosinusfunktionen dess resultat mellan noll och ett.

Källa: Författare.

Som framgår av diagrammet. Det börjar från noll vid x = - π / 2 och når sedan maximalt vid noll. Det är efter x = 0 som värdena börjar upprepa, tills de återgår till noll vid x = π / 2. På detta sätt är det känt att F (x) = Cos (x) inte är injicerande under intervallet.

När man studerar grafen för funktionen F (x) = Cos (x) observeras intervall där kurvens beteende anpassar sig till injektivitetskriterierna. Såsom intervallet

Där funktionen varierar resultat från 1 till -1, utan att upprepa något värde i den beroende variabeln.

På detta sätt funktionsfunktionen F: → R definierad av F (x) = Cos (x). Det är injektionsmedel

Det finns icke-linjära funktioner där liknande fall uppstår. För uttryck av rationell typ, där nämnaren innehåller minst en variabel, finns det begränsningar som förhindrar relationens injektivitet.

Exempel 4

Låt funktionen F: R → R definieras av F (x) = 10 / x

Funktionen definieras för alla verkliga siffror förutom {0} som har en obestämdhet (den kan inte delas med noll) .

När den beroende variabeln närmar sig noll från vänster tar den mycket stora negativa värden, och omedelbart efter noll tar värdena på den beroende variabeln stora positiva siffror.

Denna störning gör att uttrycket F: R → R definieras av F (x) = 10 / x

Var inte injektionsvätska.

Som framgår av de tidigare exemplen tjänar uteslutningen av värden i domänen till "reparation" av dessa obestämda faktorer. Vi fortsätter att utesluta noll från domänen och lämnar start- och slutuppsättningarna definierade enligt följande:

R - {0} → R

Där R - {0} symboliserar realerna förutom en uppsättning vars enda element är noll.

På detta sätt är uttrycket F: R - {0} → R definierat av F (x) = 10 / x injektivt.

Exempel 5

Låt funktionen F: → R definieras av F (x) = Sen (x)

I intervallet varierar sinusfunktionen dess resultat mellan noll och ett.

Källa: Författare.

Som framgår av diagrammet. Det börjar från noll vid x = 0 och når sedan ett maximum vid x = π / 2. Det är efter x = π / 2 som värdena börjar upprepa, tills de återgår till noll vid x = π. På detta sätt är det känt att F (x) = Sen (x) inte är injicerande för intervallet.

När man studerar grafen för funktionen F (x) = Sen (x) observeras intervall där kurvens beteende anpassar sig till injektivitetskriterierna. Såsom intervallet

Där funktionen varierar resultat från 1 till -1, utan att upprepa något värde i den beroende variabeln.

På detta sätt funktionen F: → R definierad av F (x) = Sen (x). Det är injektionsmedel

Exempel 6

Kontrollera om funktionen F: → R definierad av F (x) = Tan (x)

F: → R definierad av F (x) = Cos (x + 1)

F: R → R definierad av linjen F (x) = 7x + 2

referenser

1. Introduktion till logik och kritiskt tänkande. Merrilee H. Salmon. University of Pittsburgh
2. Problem i matematisk analys. Piotr Biler, Alfred Witkowski. University of Wroclaw. Polen.
3. Element av abstrakt analys. Mícheál O'Searcoid PhD. Institutionen för matematik. University college Dublin, Beldfield, Dublind 4.
4. Introduktion till logik och metodiken för deduktiva vetenskaper. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University press.
5. Principer för matematisk analys. Enrique Linés Escardó. Redaktör Reverté S. A 1991. Barcelona Spanien.