TRANSCENDENTA FUNKTIONER: TYPER, DEFINITION, EGENSKAPER, EXEMPEL - MATTE - 2026

De elementära transcendentala funktionerna är de exponentiella, logaritmiska, trigonometriska, omvända trigonometriska funktionerna, hyperboliska och inversa hyperboliska funktionerna. Det vill säga de är de som inte kan uttryckas med hjälp av ett polynom, en kvotient av polynom eller rötter av polynom.

De icke-elementära transcendenta funktionerna kallas också specialfunktioner och bland dem kan felfunktionen namnges. De algebraiska funktionerna (polynomier, kvoter av polynomier och rötter av polynomier) tillsammans med elementära transcendentala funktioner utgör det som i matematik kallas elementära funktioner.

Transcendenta funktioner betraktas också som de som är resultatet av operationer mellan transcendenta funktioner eller mellan transcendenta och algebraiska funktioner. Dessa operationer är: summan och skillnaden mellan funktioner, produkt och kvot på funktioner, samt sammansättningen av två eller flera funktioner.

Definition och egenskaper

Exponentiell funktion

Det är en verklig funktion av verklig oberoende variabel av formen:

f (x) = a ^ x = a ^x

där a är ett fast positivt reellt tal (a> 0) som kallas basen. Circumflex eller superscript används för att beteckna den potentierande operationen.

Låt oss säga a = 2 då ser funktionen så ut:

f (x) = 2 ^ x = 2 ^x

Vilket kommer att utvärderas för flera värden för den oberoende variabeln x:

Nedan visas ett diagram där exponentiell funktion representeras för flera värden på basen, inklusive basen e (Neper nummer e ≃ 2,72). Basen e är så viktig att vi i allmänhet talar om en exponentiell funktion om e ^ x, som också betecknas exp (x).

Figur 1. Exponentiell funktion a ^ x, för olika värden på basen a. (Egen utarbetande)

Egenskaper för exponentiell funktion

Från figur 1 kan man observera att domänen för de exponentiella funktionerna är de verkliga siffrorna (Dom f = R ) och området eller banan är de positiva realerna (Ran f = R ⁺ ).

Å andra sidan, oberoende av värdet på basen, passerar alla exponentiella funktioner genom punkten (0, 1) och genom punkten (1, a).

När basen a> 1 ökar funktionen och när 0 <a <1 minskar funktionen.

Kurvorna för y = a ^ x och y = (1 / a) ^ x är symmetriska kring Y-axeln.

Med undantag för fallet a = 1 är den exponentiella funktionen injektiv, det vill säga att varje värde på bilden motsvarar ett och endast ett startvärde.

Logaritmisk funktion

Det är en verklig funktion av verklig oberoende variabel baserad på definitionen av logaritmen för ett nummer. Logaritmen baserad på ett tal x är det tal y till vilket basen måste höjas för att få argumentet x:

logga _a (x) = y ⇔ a ^ y = x

Det vill säga logaritmfunktionen baserad på är den omvända funktionen för den exponentiella funktionen baserad på.

Till exempel:

log ₂ 1 = 0, sedan 2 ^ 0 = 1

Ett annat fall, log ₂ 4 = 2, eftersom 2 ^ 2 = 4

Rotlogaritmen till 2 är log ₂ √2 = ½, eftersom 2 ^ ½ = √2

log ₂ ¼ = -2, sedan 2 ^ (- 2) = ¼

Nedan visas en graf över logaritmfunktionen i olika baser.

Figur 2. Exponentiell funktion för olika värden på basen. (Egen utarbetande)

Logaritmfunktionens egenskaper

Domänen för logaritmfunktionen y (x) = log a (x) är de positiva verkliga siffrorna R + . Den rörelseområdet eller är reella tal R .

Oavsett bas, passerar logaritmfunktionen alltid genom punkten (1,0) och punkten (a, 1) tillhör grafen för den funktionen.

I det fall basen är större än enhet (a> 1) ökar logaritmfunktionen. Men om (0 <a <1) är det en minskande funktion.

Sinus-, kosin- och tangentfunktioner

Sinusfunktionen tilldelar ett reellt tal och till varje x-värde, där x representerar måttet på en vinkel i radianer. För att erhålla värdet på Sen (x) för en vinkel representeras vinkeln i enhetscirkeln och projiceringen av nämnda vinkel på den vertikala axeln är den sinus som motsvarar den vinkeln.

Den trigonometriska cirkeln och sinus för olika vinkelvärden X1, X2, X3 och X4 visas nedan (i figur 3).

Bild 3. Trigonometrisk cirkel och sinus i olika vinklar. (Egen utarbetande)

Definierat på detta sätt är det maximala värdet som funktionen Sen (x) kan ha 1, vilket inträffar när x = π / 2 + 2π n, där n är ett heltal (0, ± 1, ± 2,). Det lägsta värde som funktionen Sen (x) kan ta inträffar när x = 3π / 2 + 2π n.

Kosinusfunktionen y = Cos (x) definieras på liknande sätt, men projiceringen av vinkelpositionerna P1, P2 etc. utförs på den horisontella axeln för den trigonometriska cirkeln.

Å andra sidan är funktionen y = Tan (x) kvoten mellan sinusfunktionen och kosinusfunktionen.

Nedan visas en graf över de transcendenta funktionerna Sen (x), Cos (x) och Tan (x)

Bild 4. Diagram över transcendenta funktioner, Sine, Cosine och Tangent. (Egen utarbetande)

Derivat och integraler

Derivat av den exponentiella funktionen

Derivatet y 'av den exponentiella funktionen y = a ^ x är funktionen a ^ x multiplicerad med den naturliga logaritmen för basen a:

y '= (a ^ x)' = a ^ x ln a

I det speciella fallet med bas e är derivatet av den exponentiella funktionen själva den exponentiella funktionen.

Integral av exponentiell funktion

Den obestämda integralen av a ^ x är själva funktionen dividerad med basens naturliga logaritm.

I det speciella fallet med bas e är integralen av den exponentiella funktionen själva den exponentiella funktionen.

Tabell över derivat och integraler av transcendenta funktioner

Nedan följer en sammanfattningstabell över de viktigaste transcendenta funktionerna, deras derivat och obestämda integraler (antiderivativ):

Tabell över derivat och obestämda integraler för vissa transcendenta funktioner. (Egen utarbetande)

exempel

Exempel 1

Hitta funktionen som är resultatet av sammansättningen av funktionen f (x) = x ^ 3 med funktionen g (x) = cos (x):

(dimma) (x) = f (g (x)) = cos ³ (x)

Dess derivat och dess obegränsade integral är:

Exempel 2

Hitta kompositionen för funktionen g med funktionen f, där g och f är funktionerna definierade i föregående exempel:

(gof) (x) = g (f (x)) = cos (x ³ )

Det bör noteras att sammansättningen av funktioner inte är en kommutativ operation.

Derivatet och den obestämda integralen för denna funktion är respektive:

Integralen lämnades för att det inte är möjligt att skriva resultatet som en kombination av elementära funktioner exakt.

referenser

1. Beräkning av en enda variabel. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10 nov 2008
2. The Implicit Function Theorem: History, Theory and Applications. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, 9 nov. 2012
3. Multivariabel analys. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13 dec. 2010
4. Systemdynamik: modellering, simulering och kontroll av mekatroniska system. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7 mar 2012
5. Calculus: Matematik och modellering. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1 jan 1999
6. wikipedia. Transcendent funktion. Återställd från: es.wikipedia.com