ANALYTISK GEOMETRI: VAD DEN STUDERAR, HISTORIA, APPLIKATIONER - MATTE - 2026

Den analytiska geometrien studerar linjer och geometriska former genom att tillämpa grundläggande algebra-tekniker och matematisk analys i ett givet koordinatsystem.

Följaktligen är analytisk geometri en gren av matematik som analyserar i detalj alla data från geometriska figurer, det vill säga volymen, vinklarna, området, skärningspunkten, deras avstånd, bland andra.

Den grundläggande kännetecknen för analytisk geometri är att den möjliggör representation av geometriska figurer genom formler.

Exempelvis representeras omkretserna av polynomekvationer i den andra graden medan linjerna uttrycks av polynomekvationer från den första graden.

Analytisk geometri uppstår på sjuttonhundratalet på grund av behovet av att ge svar på problem som hittills inte hade någon lösning. Dess topprepresentanter var René Descartes och Pierre de Fermat.

Idag pekar många författare på det som en revolutionerande skapelse i matematikens historia, eftersom den utgör början på modern matematik.

Historisk analysgeometri

Termen analytisk geometri uppstod i Frankrike på sjuttonhundratalet på grund av behovet av att ge svar på problem som inte kunde lösas med användning av algebra och geometri isolerat, men lösningen låg i den kombinerade användningen av båda.

Huvudrepresentanter för analytisk geometri

Under sjuttonhundratalet genomförde två franska människor av en slump i livet forskning som på ett eller annat sätt slutade i skapandet av analytisk geometri. Dessa människor var Pierre de Fermat och René Descartes.

För närvarande anses det att skaparen av analytisk geometri var René Descartes. Detta beror på att han publicerade sin bok före Fermats och också i djupgående med Descartes behandlar ämnet analytisk geometri.

Men både Fermat och Descartes upptäckte att linjer och geometriska figurer kunde uttryckas med ekvationer och ekvationer kunde uttryckas som linjer eller geometriska figurer.

Enligt de två upptäckterna kan man säga att båda är skaparna av analytisk geometri.

Pierre de Fermat

Pierre de Fermat var en fransk matematiker som föddes 1601 och dog 1665. Under sitt liv studerade han geometri av Euclid, Apollonius och Pappus för att lösa de mätproblem som fanns vid den tiden.

Senare utlöste dessa studier skapandet av geometri. De hamnade i sin bok "Introduktion till platta och fasta platser" (Ad Locos Planos et Solidos Isagoge), som publicerades 14 år efter hans död 1679.

Pierre de Fermat använde analytisk geometri på Apollonius teorier om geometriska platser 1623. Han var också den första som använde analytisk geometri på tredimensionellt rymd.

Rene Descartes

Även känd som Cartesius var han en matematiker, fysiker och filosof som föddes den 31 mars 1596 i Frankrike och dog 1650.

René Descartes publicerade 1637 sin bok "Diskurs om metoden för att bedriva förnuftet korrekt och söka sanningen i vetenskapen" bättre känd som "Metoden" och därifrån introducerades termen analytisk geometri till världen. En av bilagorna var "Geometri."

Grundläggande element i analytisk geometri

Analytisk geometri består av följande element:

Det kartesiska koordinatsystemet

Detta system är uppkallad efter René Descartes.

Det var inte han som namngav det, och inte heller den som slutförde det kartesiska koordinatsystemet, utan han var den som talade om koordinater med positiva siffror som gjorde det möjligt för framtida forskare att slutföra det.

Detta system består av det rektangulära koordinatsystemet och det polära koordinatsystemet.

Rektangulära koordinatsystem

Rektangulära koordinatsystem kallas planet som bildas genom spårning av två sifferlinjer vinkelrätt mot varandra, där avskärningspunkten sammanfaller med den gemensamma noll.

Då skulle detta system bestå av en horisontell linje och en vertikal linje.

Den horisontella linjen är X-axeln eller abscissaxeln. Den vertikala linjen skulle vara Y-axeln eller ordinataxeln.

Polärt koordinatsystem

Detta system ansvarar för att verifiera den relativa positionen för en punkt i förhållande till en fast linje och till en fast punkt på linjen.

Cartesianska ekvation av linjen

Denna ekvation erhålls från en linje när två punkter är kända genom vilka den passerar.

Rak linje

Det är en som inte avviker och därför har varken kurvor eller vinklar.

conics

Det är kurvorna som definieras av linjerna som passerar genom en fast punkt och av punkterna på en kurva.

Ellips, omkrets, parabola och hyperbola är koniska kurvor. Var och en av dem beskrivs nedan.

Omkrets

Omkrets kallas den stängda plankurvan som bildas av alla punkter i planet som är lika långt ifrån en inre punkt, det vill säga från omkretsens centrum.

Liknelse

Det är platsen för punkterna i planet som är lika långt ifrån en fast punkt (fokus) och en fast linje (directrix). Så riktningen och fokus är det som definierar parabolen.

Parabolen kan erhållas som en sektion av en konisk rotationsyta genom ett plan parallellt med en generatrix.

Ellips

Den stängda kurvan som beskriver en punkt när man rör sig i ett plan kallas ellips på ett sådant sätt att summan av dess avstånd till två (2) fasta punkter (kallas foci) är konstant.

Hyperbel

Hyperbola kallas kurvan definierad som platsen för punkterna i planet, för vilken skillnaden mellan avståndet mellan två fasta punkter (foci) är konstant.

Hyperbolen har en symmetriaxel som passerar genom fokuserna, kallad fokalaxeln. Den har också en annan, som är halvpartiet i segmentet som har de fasta punkterna i sina ändar.

tillämpningar

Det finns många tillämpningar av analytisk geometri inom olika områden i det dagliga livet. Till exempel kan vi hitta parabolen, en av de grundläggande elementen i analytisk geometri, i många av de verktyg som används dagligen. Några av dessa verktyg är följande:

Parabolantenn

Parabolantenner har en reflektor genererad som ett resultat av en parabola som roterar på antennens axel. Ytan som genereras till följd av denna åtgärd kallas en paraboloid.

Paraboloidens förmåga kallas den optiska egenskapen eller reflektionsegenskapen hos en parabola, och tack vare detta är det möjligt för paraboloiden att återspegla de elektromagnetiska vågorna den får från matningsmekanismen som utgör antennen.

Hängande broar

När ett rep uppbär en vikt som är homogen men samtidigt är betydligt större än själva repets vikt blir resultatet en parabola.

Denna princip är grundläggande för konstruktion av hängbroar, som vanligtvis stöds av breda stålkabelkonstruktioner.

Parabolens princip i hängbroar har använts i strukturer som Golden Gate Bridge, belägen i staden San Francisco, i USA eller Great Bridge of the Akashi Strait, som ligger i Japan och förbinder ön Awaji med Honshū, landets huvudön.

Astronomisk analys

Analytisk geometri har också haft mycket specifika och avgörande användningar inom astronomifältet. I det här fallet är det elementet i analytisk geometri som tar centrum: ellipsen; Johannes Keplers plan för rörelse av planeterna återspeglar detta.

Kepler, en tysk matematiker och astronom, bestämde att ellipsen var den kurva som bäst passade Mars: s rörelse; Han hade tidigare testat den cirkulära modellen som föreslogs av Copernicus, men mitt i sina experiment drog han slutsatsen att ellipsen tjänade till att rita en bana perfekt lik den planeten han studerade.

Tack vare ellipsen kunde Kepler bekräfta att planeterna rörde sig i elliptiska banor; detta övervägande var uttalandet om den så kallade andra lagen om Kepler.

Från denna upptäckt, som senare berikats av den engelska fysikern och matematikern Isaac Newton, var det möjligt att studera planets rörelsebana och öka kunskapen vi hade om universumet som vi är en del av.

Cassegrain-teleskop

Cassegrain-teleskopet är uppkallad efter dess uppfinnare, den franskfödda fysikern Laurent Cassegrain. I detta teleskop används principerna för analytisk geometri eftersom det huvudsakligen består av två speglar: den första är konkav och parabolisk, och den andra kännetecknas av att vara konvex och hyperbolisk.

Platserna och arten av dessa speglar tillåter att defekten som kallas sfärisk aberration inte äger rum; Denna defekt förhindrar att ljusstrålar reflekteras i fokus för en given lins.

Cassegrain-teleskopet är mycket användbart för planetobservationer och är ganska mångsidigt och lätt att använda.

referenser

1. Analytisk geometri. Hämtad 20 oktober 2017 från britannica.com
2. Analytisk geometri. Hämtad den 20 oktober 2017 från encyclopediafmath.org
3. Analytisk geometri. Hämtad 20 oktober 2017 från khancademy.org
4. Analytisk geometri. Hämtad 20 oktober 2017 från wikipedia.org
5. Analytisk geometri. Hämtad den 20 oktober 2017 från whitman.edu
6. Analytisk geometri. Hämtad 20 oktober 2017 från stewartcalculus.com
7. Plananalysgeometri Hämtad 20 oktober 2017